安元杰-第12節(jié)解析幾何-圓錐曲線

1、西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心學(xué)員輔導(dǎo)教案學(xué)生姓名：安元杰授課時(shí)間 2016 年 4 月 1 日 （星期五）科目：數(shù)學(xué)圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（ 1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 、 F2 的距離的和等于常數(shù)2 a （大于 | F1 F2 | ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c 叫橢圓的焦距。若M 為橢圓上任意一點(diǎn)，則有 | MF1 | MF2 | 2a 。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y21（ ay2x 21（ ab 0 ）（焦點(diǎn)在a2b2b 0 ）（焦點(diǎn)在 x 軸上）或b 2a 2y 軸上）。注：以上方程中a, b 的大小 a b0 ，其中 b2a2c2

2、；在 x2y2 1和 y2x21兩個(gè)方程中都有ab0 的條件， 要分清焦點(diǎn)的位置， 只要看 x2 和 y2a2b2a2b2的分母的大小。例如橢圓x2y21 （ m0， n0， mn ）當(dāng) m n 時(shí)表示焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓；當(dāng)mnm n 時(shí)表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓。（ 2）橢圓的性質(zhì)x2y 21知 | x | a ， | y | b ，說(shuō)明橢圓位于直線 xa ， yb 所圍成的矩范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程b2a2形里；對(duì)稱性：在曲線方程里，若以y 代替 y 方程不變，所以若點(diǎn) (x, y) 在曲線上時(shí)，點(diǎn) (x,y) 也在曲線上，所以曲線關(guān)于 x 軸對(duì)稱， 同理，以x 代替 x 方程不變， 則曲線關(guān)于

3、 y 軸對(duì)稱。 若同時(shí)以x 代替 x ， y代替 y 方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于x 軸、 y 軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱1西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)： 確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x 軸、 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令 x0 ，得 yb ，則 B1(0,b) ， B2 (0,b) 是橢圓與y 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令y0 得 xa ，即A1 ( a,0) ， A2 ( a,0) 是橢圓與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段

4、A1 A2 、 B1 B2 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a 和 2b ， a 和 b 分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ；在 RtOB2 F2 中， |OB2 |b ， |OF2 |c ，| B2 F2 | a ，且 | OF2 |2 | B2 F2 |2|OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；c叫橢圓的離心率 。ac 0 ，0e 1，且 e 越接近1， c離心率： 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比 ea就越接近 a ，從而 b 就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于0 ，從而 b 越接近于 a ，這時(shí)橢圓越接近于圓

5、。當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)， c0 ，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2y2a2 。2雙曲線（ 1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（| PF1 | PF2 |2a ）。注意：式中是差的絕對(duì)值，在02a | F1F2 |條件下； | PF1 | | PF2 |2a 時(shí)為雙曲線的一支；|PF2| |PF1|2a 時(shí)為雙曲線的另一支（含F(xiàn)1 的一支）；當(dāng) 2a| F1F2 | 時(shí)， | PF1 | PF2 |2a 表示兩條射線；當(dāng)2a | F1 F2 | 時(shí)， | PF1| | PF2 | 2a 不表示任何圖形；兩定點(diǎn)F1 , F2 叫做雙曲線的焦點(diǎn)，| F1F2 |

6、叫做焦距。（ 2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程x2y 21，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線xa 的外側(cè)。a2b22西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心即 x 2a 2 ， xa 即雙曲線在兩條直線 xa 的外側(cè)。對(duì)稱性：雙曲線x2y 2a1 關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，2b 2原點(diǎn)是雙曲線 x2y21 的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。a2b 2頂點(diǎn)： 雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線 x2y21的方程里， 對(duì)稱軸是 x, y 軸，a2b2所以令 y 0 得 xa ，因此雙曲線和 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) A ( a,0) A

7、2 (a,0)x 2y 21的頂，他們是雙曲線b2a 2點(diǎn)。令 x0 ，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和y 軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段 A A2 叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a, a 叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段 B B2 叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于2b,b 叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。漸近線： 注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線， 這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線x 2y 21的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。a 2b2等軸雙曲線：1）定義： 實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線

8、叫做等軸雙曲線。定義式： a b ；2）等軸雙曲線的性質(zhì)： （1）漸近線方程為： yx ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3ab ，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2y2(0)，當(dāng)0 時(shí)交點(diǎn)）注意到等軸雙曲線的特征在 x 軸，當(dāng)0 時(shí)焦點(diǎn)在 y 軸上。注意 x2y 21 與 y 2x21 的區(qū)別：三個(gè)量a, b, c 中 a,b 不同（互換） c 相同，還有焦點(diǎn)所在的169916坐標(biāo)軸也變了。3西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心3拋物線（ 1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F 和一條定直線l 的距離相等

9、的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn) F 不在定直線l 上 )。定點(diǎn) F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程 y 22 pxp0 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x 軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（ p ,0 ），它的準(zhǔn)線方程是xp ；22（ 2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y 22 px ， x 22 py ， x 22 py .這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程y 22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)l

10、 yy圖形yFlloxoFxF ox焦點(diǎn)坐標(biāo)( p ,0)(p ,0)(0, p)(0,p )2222準(zhǔn)線方程xpxpypyp2222范圍x0x0y0y0對(duì)稱性x 軸x 軸y 軸y 軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e1e1e1e1說(shuō)明：（1）通徑： 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑；（ 2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心，沒(méi)有漸近線；（ 3）注意強(qiáng)調(diào) p 的幾何意義：是焦4西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。四、橢圓、雙曲線、拋物線橢圓雙曲線拋物線1到兩定點(diǎn) F ,F2的距離之11到兩定點(diǎn) F ,F

11、的距離之差的和為定值 2a(2a>|F 1F2|)12的點(diǎn)的軌跡絕對(duì)值為定值 2a(0<2a<|F 1F2|)與定點(diǎn)和直線的距離相等的的點(diǎn)的軌跡定義點(diǎn)的軌跡 .2與定點(diǎn)和直線的距離之2與定點(diǎn)和直線的距離之比為比為定值 e 的點(diǎn)的軌跡 .定值 e 的點(diǎn)的軌跡 . （ e>1）（ 0<e<1）點(diǎn)集： (M MF+ MF點(diǎn)集： M MF - MF .點(diǎn)集 M MF =點(diǎn) M到直軌跡條件1212F 2a.=± 2a, F F 2a.線 l 的距離 .=2a, F1222圖形方標(biāo)準(zhǔn)2222xy1( a b >0)xy1(a>0,b>0)y2

12、2 px程方程a 2b2a 2b2參數(shù)xacosxa secx2方程ybsinyb tan2 pt(t 為參數(shù) )(參數(shù) 為離心角）(參數(shù) 為離心角）y2 pt范圍 a x a， b y b|x|a ，yRx0中心原點(diǎn) O（ 0，0）原點(diǎn) O（ 0， 0）頂點(diǎn)(a,0), (a,0),(a,0), ( a,0)(0,0)(0,b) , (0, b)對(duì)稱軸x 軸， y 軸；x 軸， y 軸 ;x 軸長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a, 短軸長(zhǎng) 2b實(shí)軸長(zhǎng) 2a,虛軸長(zhǎng) 2b.焦點(diǎn)1212F (p ,0)F (c,0), F( c,0)F (c,0), F( c,0)25西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心2x=

13、± a2x=± ax=-p準(zhǔn)線c準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外 .焦距2c （ c=a 2b2）離心率ec (0e1)a（ 4）中心或頂點(diǎn)在 (h,k) 的圓錐曲線方程見(jiàn)下表：方程(x - h) 2+ (y - k) 2=1a 2b2橢圓(x - h) 2+ (y - k) 2=1b 2a 2(x - h) 2- (y - k) 2=1a 2b2雙曲線(y - k) 2- (x - h) 2=1a 2b 2(y-k)2=2p(x-h)2(y-k)=-2p(x-h)拋物線(x-h) 2=2p(y-k)(x-h) 2=-2p(y-k)c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸， 且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè) .2c（c

14、=a2b2 ）ec (e 1)a焦點(diǎn)焦線( ± c+h,k)x=± a 2+hc(h, ± c+k)y=± a 2+kc( ± c+h,k)x=± a 2+kc(h, ± c+h)y=± a 2+kc( p +h,k)x=-p +h22(-p +h,k)x= p +h22(h,py=-p+k)+k22(h,-p +k)y= p +k222準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等 .e=1對(duì)稱軸x=hy=kx=hy=kx=hy=kx=hy=ky=ky=kx=hx=h6西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心圓錐曲線

15、的性質(zhì)對(duì)比圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 a>b>0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a>0,b>0y2=2px p>0范圍x-a,ay-b,bx(- ,- a a,+ )yRx0,+ ) y 對(duì)稱性關(guān)于 x 軸,y軸 , 原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于 x 軸 ,y 軸 , 原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于 x 軸對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(diǎn)(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0)(p/2,0)【其中 c2=a2-b2】【其中 c2=a2+b2 】準(zhǔn)線x=±(a2)/cx=&#

16、177;(a2)/cx=-p/2漸近線y=±(b/a)x離心率e=c/a,e (0,1)e=c/a,e (1,+ )e=1焦半徑PF1=a+ex PF2=a-exPF1=ex+a PF2=ex -aPF=x+p/2焦準(zhǔn)距p=(b2)/cp=(b2)/cp通徑(2b2)/a(2b2)/a2p參數(shù)方程x=a·cos y=b·sin ， 為參x=a·sec x=2pt2 y=2pt,7西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心數(shù)y=b·tan , 為參數(shù)為參數(shù)過(guò)圓錐曲(x0 ·x/a2)+(y0 ·y/b2)=1(x0x/a2)-

17、(y0 ·y/b2)=1y0·y=p(x+x0)線上一點(diǎn)(x0,y0) 的切線 方程斜率為 ky=kx± (a2) ·(k2)+b2y=kx± (a2) ·(k2)-b2y=kx+p/2k的切線方程圓錐曲線測(cè)試題一、選擇題：（每題 4 分，共40 分）1 c 0 是方程ax 2y 2c表示橢圓或雙曲線的（）A 充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D 不充分不必要條件2如果拋物線 y 2=ax 的準(zhǔn)線是直線x=-1 ，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A（1, 0）B （2, 0）C（3, 0）D （ 1, 0）3直線 y = x +1 被橢圓

18、 x 2+2y 2=4 所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）12B(-2111)11)A( ,-),)C.( ,-D (-,333323324一拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m 時(shí)，水面寬4m，若水面下降1m，則水面寬為（）A 6 mB 26 mC 4.5mD 9m5. 已知橢圓 x 2y 21上的一點(diǎn) P 到左焦點(diǎn)的距離是4 ，那么點(diǎn) P 到橢圓的右準(zhǔn)線的距離是（）953A 2B 6C 7D 1432222y6曲線 x y =1 與曲線x=1(k 9）的（）25925k9kA. 長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等227已知橢圓 x y1 的離心率 e=10,則 m 的值為（）5m5A 3

19、B.25或 3C.5D.5 15或1533B 為橢圓短軸的端點(diǎn)，8已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)F ，右焦點(diǎn) F 均在 x 軸上， A 為橢圓的右頂點(diǎn)，12P 是橢圓上一點(diǎn)，且PF1 x 軸， PF2 AB，則此橢圓的離心率等于（）A 1B2C 1D 522359方程 mxny 20 與 mx2ny 21( mn0) 的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖應(yīng)是（）8西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心ABCD2210.橢圓 x y =1 上一點(diǎn) M 到左焦點(diǎn)的距離為2，N是M的中點(diǎn)，則 2 ON259F 1F 1等于 （）A. 3B . 4C. 8D.16二填空題(每題 4分，共 16 分)x2

20、y 2t 的取值范圍是11.1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)4 t t112雙曲線4 x2 y2 64 0上一點(diǎn)P 到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1 ，則點(diǎn)P 到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.13斜率為 1 的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A,B 兩點(diǎn)，則 AB等于.14. 設(shè) x,yR, 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)， a （ x,y+2 ） , b = (x,y 2)，且 a b 8，則點(diǎn) M （ x , y ）的軌跡方程是.三解答題x2y21共焦點(diǎn)，且以 y4(10 分)15已知雙曲線與橢圓24x為漸近線，求雙曲線方程49316橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為2 2，相應(yīng)于焦點(diǎn)（ ，）（ c 0 ）的準(zhǔn)F

21、c 0線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) A ， |OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn) A 的直線與橢圓相交于P、Q 兩點(diǎn) .（）求橢圓的方程及離心率；（）若 OP OQ0 ，求直線 PQ 的方程；（12 分）9西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心17已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y = x +1 與該橢圓相交于P 和 Q，且 OP OQ ，|PQ|=10 ，求橢圓的方程 （12 分）218一炮彈在 A 處的東偏北 60°的某處爆炸，在 A 處測(cè)到爆炸信號(hào)的時(shí)間比在 B 處早 4 秒，已知 A 在 B 的正東方、相距 6 千米， P 為爆炸地點(diǎn)，（該信號(hào)的傳播速度為每秒 1 千米）求

22、 A 、P 兩地的距離 (10分 )10西安遠(yuǎn)東仁民補(bǔ)習(xí)學(xué)校一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)中心參考答案一選擇題（本大題共10小題，每小題4 分，共 40分）題號(hào)12345678910答案BABBCDBDAC二填空題（本大題共4 小題，每小題4分，16分）11 t>4 或 t<112. 1713. 814. x2 x 2 11216三解答體15 (10 分 )解析 ：由橢圓 x2y 21c54924設(shè)雙曲線方程為x2y 2b4a29故所求雙曲線方程為x2y21a2b2 1，則a3b216916a 2b 22516（ 12 分） 解析 ：（1）由已知由題意，可設(shè)橢圓的方程為x2y21( a2) .由

23、已知得a2c222,解得a 22ac2(c).ca6 , c2 所以橢圓的方程為x 2y26.（）解：由（1）可得 A （ 3， 0） .設(shè)直線61，離心率 e32x2y 21, 得(321)218227260 依題意PQ的方程為由方程組kxk xky k (x 3) .62y k ( x 3)12(23k 2 )0 ，得6k6 .設(shè) P( x1 , y1 ), Q( x2 ,y2 ) ，則 x1x218k 2， 27 k 2333k 216 .由直線 PQ 的方程得 yk( x13),y2k( x23) .于是x1 x22113ky1 y2k 2 ( x13)( x23) k 2 x1 x2 3(x1x2 ) 9.x1 x2y1 y20 . . 由得 5k 21，yk5(6,6) .Q533所 以 直 線 PQ 的 方 程 為 x5y 30