2013-2014學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊-第十一章-11.2-與三角形有關(guān)的角例題與講解-新人教版(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上11.2與三角形有關(guān)的角1三角形內(nèi)角和定理(1)定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.(2)證明方法：證法多樣，主要是運用平行線知識把三個角轉(zhuǎn)移成一個平角，從而得到內(nèi)角和是180°.如圖所示，過C作CMAB，將求ABACB轉(zhuǎn)化為求12ACB，或過A點作DEBC，把求BACBC轉(zhuǎn)化為求BACDABEAC.(3)理解與延伸：因為三角形內(nèi)角和為180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定關(guān)系如：一個三角形中最多只有一個鈍角或直角；一個三角形中最少有一個角不小于60°；直角三角形兩銳角互余；等邊三角形每個角都是60°等(4)作用

2、：已知兩角求第三角或已知三角關(guān)系求角的度數(shù)談重點 三角形內(nèi)角和定理的理解三角形內(nèi)角和定理是最重要的定理之一，是求角的度數(shù)問題中最基礎(chǔ)的定理，應(yīng)用非常廣泛【例1】 填空：(1)在ABC中，若A80°，C20°，則B_°；(2)若A80°，BC，則C_°；(3)已知ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)之比ABC235，則B_°，C_°.解析：(1)三角形內(nèi)角和為180°，已知兩角求第三角；(2)可設(shè)Cx°，那么xx80180，求出x50.所以C50°；(3)設(shè)每一份為x，得2x3x5x180，求得x18，所以B5

3、4°，C90°.答案：(1)80(2)50(3)54902直角三角形的性質(zhì)與判定(1)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余如圖所示，在RtABC中，如果C90°，那么AB90°.【例21】 將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果43°，則的度數(shù)是()A43° B47° C30° D60°解析：如圖所示，由平行線的性質(zhì)可知，CEF43°，所以BDCCEF43°，DBC，在RtDBC中，DBCBDC90°，所以43°90°，所以90°43&#

4、176;47°.答案：B(2)直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形如圖所示，在ABC中，如果A+B=90°，那么C=90°，即ABC是直角三角形提示：由三角形的內(nèi)角和定理可知，三角形的三個內(nèi)角之和為180°，如果有兩個角的和為90°，那么第三個角自然是直角由直角三角形定義可知，該三角形為直角三角形【例22】 如圖所示，ABCD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，BEF的平分線與DFE的平分線相交于點P，求證：EPF是直角三角形證明：ABCD，BEFDFE180°.EP，F(xiàn)P分別平分BEF，DFE，PEFBEF，PFED

5、FE，PEFPFE(BEFDFE)×180°90°，EPF是直角三角形3三角形的外角(1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角如圖，ACD就是ABC其中的一個外角(2)特點：三角形的一個外角和與它同頂點的內(nèi)角互為鄰補角，這是內(nèi)、外角聯(lián)系的紐帶一個三角形有6個外角，其中兩兩互為對頂角，如圖所示破疑點 三角形外角的理解外角是相對于內(nèi)角而言的，也是三角形中重要的角，一個角對一個三角形來說是外角，而對于另一個三角形來說可能是內(nèi)角；三角形的角是指的三角形的內(nèi)角，這點要注意【例3】 在ABC中，A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個外角等于B的兩倍，那么

6、A_，B_，C_.解析：A和與它相鄰的外角互為鄰補角，A又等于和它相鄰的外角的四分之一，所以A36°，A的外角為144°，所以B72°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以求得C72°.答案：36°72°72°4.三角形外角性質(zhì)(1)性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和如圖所示：1BC(或B1C，C1B)注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個頂點處取一個外角，是一半數(shù)目外角的和.(2)作用：求角的度數(shù)，在外角、不相鄰的兩內(nèi)角中知道兩角能求第三角，也能求出相鄰內(nèi)角的度數(shù)；證明角相等，一般是把外角作為中間關(guān)

7、系式證明角相等析規(guī)律 三角形外角的性質(zhì)的理解三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，是由三角形內(nèi)角和是180°和鄰補角關(guān)系推導(dǎo)出來的，是它們應(yīng)用的延伸，所以用這個性質(zhì)能得出的結(jié)論，用三角形內(nèi)角和也能推出，但走了彎路因為三角形外角是通過圖表現(xiàn)出來的，具有隱蔽性，所以應(yīng)用時要注意觀察圖形【例4】 如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則12_.解析：由三角形外角性質(zhì)定理可知，190°AED，290°ADE，所以1290°AED90°ADE.因為90°AEDADE180°，所以12180°90°

8、;270°.答案：270°5三角形外角和(1)定義(規(guī)定)：如圖所示，在每一個頂點上取一個外角，如1，2，3，它們的和叫做三角形的外角和(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個頂點處取一個外角，是一半數(shù)目外角的和【例5】 如圖所示用兩種方法說明123360°.分析：方法一：根據(jù)同頂點的外角與內(nèi)角互為鄰補角和三角形內(nèi)角和定理證明；方法二：根據(jù)一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和及三角形內(nèi)角和定理證明解：方法一：因為1BAC180°，2ABC180°，3ACB180°，所以

9、1BAC2ABC3ACB540°.又BACABCACB180°，所以123180°540°.所以123360°.方法二：因為1ABCACB，2BACACB，3ABCBAC，所以123ABCACBBACACBABCBAC2(ABCACBBAC)2×180°360°.點評：同一頂點上的內(nèi)、外角互為鄰補角是內(nèi)、外角關(guān)系轉(zhuǎn)換的最基礎(chǔ)的依據(jù)6.三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中關(guān)于角度計算的基礎(chǔ)，也是其他多邊形求角度數(shù)問題必備的基礎(chǔ)知識，目前它的應(yīng)用方式主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已

10、知兩角求第三角這是內(nèi)角和定理最簡單、直接的應(yīng)用，一般是直接或間接給出三個內(nèi)角中的兩角，求第三角，比較簡單，直接用180°減去兩角度數(shù)得出，往往與考查角的單位換算相聯(lián)系(2)已知三角的比例關(guān)系求各角這類題目一般給出三個角的比例關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)列方程的方法求解，一般是設(shè)每一份為x度，用含未知數(shù)的式子分別表示出每一個角的度數(shù)，根據(jù)它們的和是180°列方程求解，然后再求出每一個角的度數(shù)有時是通過求角的度數(shù)判斷三角形的形狀，但熟練后從比例關(guān)系中可以直接確定三角形的形狀(3)已知三角之間相互關(guān)系求未知角這類題目一般是已知各角之間的和、差、倍、分等的數(shù)量關(guān)系，通過等式變形，用一共同的角

11、表示其他兩角，然后根據(jù)內(nèi)角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根據(jù)它們之間的數(shù)量關(guān)系分別求出另兩角，有時也可以列方程(組)求角的度數(shù)解技巧 利用三角形內(nèi)角和求三角形的內(nèi)角運用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)題目形式多樣，方法也不同，要根據(jù)實際靈活運用7三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用外角性質(zhì)應(yīng)用：三角形外角性質(zhì)是三角形角度計算中的重要定理，也是求角度運算中常用的定理如圖所示，1是ABC的一個外角，在1，B，C三個角中，知道任意兩個角就可以求出第三個角1BC；B1C；C1B.破疑點 利用三角形外角的性質(zhì)求一個角的方法因三角形外角的性質(zhì)是由三角形內(nèi)角和與鄰補角定義推出的，所以用外角性質(zhì)能進行的運算，

12、用三角形內(nèi)角和也能進行運算，但有外角時，應(yīng)用外角性質(zhì)更簡便，所以要改變原來習(xí)慣用三角形內(nèi)角和定理的思維定式，學(xué)會運用外角性質(zhì)定理解決問題8三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)綜合運用三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)定理都反映了角之間的數(shù)量關(guān)系，在求角度數(shù)問題中占有重要地位同樣平行線中也蘊含了大量的角之間的關(guān)系(兩直線平行，內(nèi)錯角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補)，因此它們常常結(jié)合在一起，綜合應(yīng)用，通過角的等量轉(zhuǎn)化，以求角的度數(shù)或證明角相等解技巧 三角形內(nèi)角和、外角性質(zhì)的綜合運用因為三角形的內(nèi)角、外角以及形成的鄰補角、對頂角等都是通過圖形反映出來的，在已知中不提及，因此運用時要注意觀察圖形，善于發(fā)現(xiàn)各

13、角之間的位置關(guān)系，進而確定它們的大小關(guān)系【例61】 在ABC中，A80°，B60°，則C_°.解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，直接減去A，B的度數(shù)即可得出C的度數(shù)答案：40【例62】 已知在ABC中，A40°，BC40°，則B_，C_.解析：由BC40°得B40°C.根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，列出等式ABCA40°CC180°，把A40°代入，求得C50°，進而求得B90°.答案：90°50°【例63】 在ABC中，ABC532，那

14、么ABC是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形 D任意三角形解析：根據(jù)比例關(guān)系和三角形內(nèi)角和，設(shè)每一份為x °，那么A5x°，B3x°，C2x°，所以5x3x2x180，解得x18，直接得出A90°，所以ABC為直角三角形熟練后大家可以根據(jù)A所占的比例是整個比例中的一半，直接得出A90°，所以ABC是直角三角形答案：B【例64】 銳角三角形的三個內(nèi)角是A，B，C.如果AB，BC，CA，那么，這三個角中()A沒有銳角 B有1個銳角C有2個銳角 D有3個銳角解析：因為三角形為銳角三角形，所以三角形中不存在鈍角和直角根據(jù)三角形內(nèi)角和是1

15、80°可知，180°減任何一個角都大于90°，因此任意兩個角的和都是鈍角，因為，都等于三角形兩內(nèi)角的和，所以它們都是鈍角，只有A正確，故選A.答案：A【例7】 填空：(1)如圖(1)，P為ABC中BC邊的延長線上一點，A50°，B70°，則ACP_°.(2)如圖(2)所示，已知ABE142°，C72°，則A_°，ABC_°.(3)如圖(3)，3120°，則12_°.解析：(1)由三角形外角性質(zhì)可知ACPAB50°70°120°.(2)由三角形外角

16、性質(zhì)可知AABEC142°72°70°；ABC與ABE互補，所以ABC38°.(3)觀察圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可知，1是三角形外角，124，4與3互為鄰補角，所以4180°3180°120°60°，即1260°.答案：(1)120(2)7038(3)60【例81】 如圖(1)，將一等邊三角形剪去一個角后，12等于()A120° B240° C300° D360°解析：如圖(2)，由三角形外角性質(zhì)定理可知，135，234，所以123534.因為三角形為等邊三角形，所

17、以360°，由三角形內(nèi)角和定理可知345180°，所以1260°180°240°，故選B.答案：B【例82】 如圖，ab，則下列式子中值為180°的是()A BC D9.運用三角形內(nèi)角和定理判斷三角形形狀判斷三角形形狀是三角形問題中經(jīng)常遇到的題目，而判定三角形形狀方法多樣，其中運用三角形內(nèi)角和定理求角，進而判斷三角形形狀是最常用的方法因為三角形按角分類可以分為三類：鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形，此外根據(jù)角的度數(shù)還能判定等腰三角形、等邊三角形，因此根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出三角形某些角的度數(shù)，不僅可以按角分類判斷三角形的形狀，還可以

18、按邊分類判斷三角形的形狀，進而了解邊的大小關(guān)系解技巧 利用三角形內(nèi)角和確定三角形的形狀運用三角形內(nèi)角和定理求角判斷三角形形狀問題比求角度問題多一步判斷，但不同點是：判斷形狀不是求出所有角，而是根據(jù)所給三角形各內(nèi)角關(guān)系，求某些關(guān)鍵的角，一般是最大角，然后進行判斷解析：如圖，因為ab，所以2，1.由圖可知12180°，得180°，所以A正確，故選A.答案：A【例91】 一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為237，這個三角形一定是()A直角三角形 B等腰三角形C銳角三角形 D鈍角三角形解析：設(shè)三個內(nèi)角度數(shù)分別為2k°，3k°，7k°，由三角形內(nèi)角和定理，得

19、2k3k7k180，解得k15，所以2k30，3k45,7k105.所以這個三角形是鈍角三角形，故選D.答案：D【例92】 在ABC中，若A2B3C，試判斷這個三角形的形狀分析：根據(jù)A2B3C，可設(shè)Ax°，那么Bx°，Cx°，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列方程求出x，再求出最大角的大小，即可判斷出三角形的形狀解：設(shè)Ax°，則Bx°，Cx°，于是有xxx180，解得x98.2，即最大角A98.2°.所以可知ABC是鈍角三角形10角平分線的夾角與三角形內(nèi)角關(guān)系的探究根據(jù)三角形的內(nèi)角和，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及角平分線的意

20、義，可以探究有關(guān)角平分線的夾角問題(1)三角形的兩內(nèi)角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在ABC中，ABC的平分線與ACB的平分線交于點O，求BOC與A之間的關(guān)系結(jié)論：三角形兩內(nèi)角的平分線所夾的鈍角等于90°加上第三角的一半，即BOC90°A.(2)三角形兩外角的平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在ABC中，BP，CP分別是ABC的外角DBC和ECB的平分線，試探究BPC與A的關(guān)系結(jié)論：三角形的兩個外角的平分線所夾的銳角等于90°減去第三個角的一半，即BPC90°A.(3)一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在ABC中，CE平分ACB，BE是A

21、BC的外角ABD的平分線，試探究BEC與A的關(guān)系結(jié)論：三角形的一個內(nèi)角平分線與外角平分線相交成的銳角等于第三個內(nèi)角的一半，即BECA.【例101】 如圖，已知ABC，ABC的平分線與ACB的平分線交于點O，求BOC與A之間的關(guān)系分析：根據(jù)角平分線意義和三角形內(nèi)角和定理，采用整體代入方法，由BOC180°(OBCOCB)，經(jīng)過代換得，BOC180°ABCACB180°(ABCACB)180°(180°A)，化簡得出結(jié)論解：因為BO，CO分別是ABC，ACB的平分線，所以O(shè)BCABC，OCBACB.因為BOC180°(OBCOCB)，所以

22、BOC180°ABCACB180°(ABCACB)180°(180°A)90°A.【例102】 如圖，BO，CO分別是ABC，ACB的兩條平分線，A100°，則BOC的度數(shù)是()A80°B90°C120°D140°解析：根據(jù)以上結(jié)論可以直接得出BOC90°A90°×100°140°，故選D.答案：D【例103】 如圖所示，ABC的平分線和ABC的外角ACE的平分線交于點D，D30°，A的度數(shù)是_；當(dāng)D_時，A的度數(shù)是90°.解

23、析：(1)題目符合“一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系”，所以DA，因此A2D2×30°60°；(2)同樣當(dāng)A90°時，DA，所以D應(yīng)為45°.答案：60°45°11.與三角形有關(guān)的角的問題的一題多解由于用三角形外角性質(zhì)得到的結(jié)論都能用三角形內(nèi)角和定理和鄰補角定義推出，以及外角的多樣性和求角度的方法多樣性，因此這部分內(nèi)容中的題目解法多樣，很多題目解法都不唯一，例如：如圖(1)是由平面上五個點A，B，C，D，E連接而成，求ABCDE的度數(shù)是多少？由于每個角的度數(shù)都不知道，所以需要將五個角轉(zhuǎn)化到同一個三角形中解決，解決此問題有多種方法，如圖(2)，連接