二階非齊次線性微分方程的解法

1、目 錄待定系數(shù)法常數(shù)變異法幕級(jí)數(shù)法特征根法升階法降階法關(guān)鍵詞：微分方程，特解，通解，二階齊次線性微分方程常系數(shù)微分方程待定系數(shù)法,1 d 2x dx解決常系數(shù)齊次線性微分方程L儀1 二/.ai面.a2X = 0,這里a也是常數(shù).2特征方程 F(')='a!a2 = 0(1.1)(1)特征根是單根的情形設(shè)，1,七,，兒是特征方程的(1.1)的2個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)的方程(1)有如下2個(gè)解：e1t,e't(1.2)如果，。:1,2)均為實(shí)數(shù)，則(1.2)是方程(1)的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)值解，而方程(1)的通解可表示為x =Ge 力 +c2e，.t如果方程有復(fù)根，則因方程的

2、系數(shù)是實(shí)系數(shù)，復(fù)根將成對(duì)共腕出現(xiàn)。設(shè)九=a+Pi是一特征根，則九一生也是特征根，因而與這對(duì)共腕復(fù)根對(duì)應(yīng)，方程(1)有兩 個(gè)復(fù)信解e("島=e"(cosP t + isin Pt),責(zé)一" 二e（cos ： ti sin t）.它們的實(shí)部和虛部也是方程的解。這樣一來(lái)，對(duì)應(yīng)于特征方程的一對(duì)共腕復(fù)根 九=口±陰，我們可求得方程（1）的兩個(gè)實(shí)值解e t cos ：t,e tsin -t.（2）特征根有重跟的情形kJo2若入=0特征方程的k重零根，對(duì)應(yīng)于萬(wàn)程（1）的卜個(gè)線性無(wú)關(guān)的解ztt ,t若這個(gè)k重零根及0，設(shè)特征根為加人，5，其重?cái)?shù)為ki,k2；：km（ki

3、+k2+km=2）。方程（1）的解為a 41tK,a'Ka12t2tk2 J a2t - -a'mtmtkm J amt -e , i e , e ； e , i e , e ； ； e , i e , e ；對(duì)于特征方程有復(fù)重根的情況，譬如假設(shè) 九=口 + i B是卜重特征根，則人=a i B也是k重特征根，可以得到方程（1）的2k個(gè)實(shí)值解e t cos t,te t cos 1t,t2et cos : t, fe' cos : t, e t sin t,te t sin ：t,t2etsin t, fetsin t.d2x2 - x = 0例1求方程出的通解。解特征

4、方程九2-1=0的根為-=V2=-1有兩個(gè)實(shí)根，均是單根，故方程的通解為t4x = GeC2e ,這里。儲(chǔ)2是任意常數(shù)。d 2x-2 x = 0例2求解方程dt 的通解。解特征方程+1=0的根為#'2 = T有兩個(gè)復(fù)根，均是單根，故方程的通解x 二g sint c cost,這里C1，C2是任意常數(shù)某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法(一)化為常系數(shù)1 .在自變量變換下，可化為常系數(shù)的方程 一類典型的方程是歐拉方程,2.2 d ydy-Q)x -2- a1xa2y = 0dxdx這里a1,a2為常數(shù)，它的特點(diǎn)是y白k階導(dǎo)數(shù)(k=0,1,2,規(guī)定y(0)=y)的系數(shù)是x的k 次方乘以常數(shù).我

5、們想找一個(gè)變換，使方程(2)的線性及齊次性保持不變，且把變系數(shù)化為常系數(shù)。根據(jù)方程x本身的特點(diǎn)，我們選取自變量的變換x = %，并取中=8,即 變換x =S(t = ln x) (2.1)就可以達(dá)到上述目的(這里設(shè)x>°,當(dāng)*<0時(shí)，取* = -e，以后為確定起見， 認(rèn)為x >0)。事實(shí)上，因?yàn)閐y dy dt-t dyedx dt dx dt,22d y d xdy dt 2 d y-T=(e ) =e (2 dx dt dt dx dx代入方程，則原方程變?yōu)榭?a1 -1)當(dāng) a2y =o (2.2) 出dt_(2.2)一 八、/(2.1)方程常系數(shù)二階線性微分

6、方程，由上可求得方程的通解。再變換代回原來(lái)的變量，就得到原方程(2)的通解。解此方程為歐拉方程，令x=e，則由(2.2)知，原方程化為d2ydy2 4- 4y =o (2.3)出2 出其特征方程為2 4 4 0特征根為兀=， = -2 ,故方程Q.3)的通解為y =(c1 c2t)e 2換回原自變量x，則原方程的通解為2y = (G c2 ln x) x2.在未知函數(shù)的線性齊次變換下，可化為常系數(shù)的方程現(xiàn)在考慮二階變異系數(shù)線性方程d2ydyyy + P(x)d+P2(x)y =0(2.4)dxdx的系數(shù)函數(shù)Pl(x)，P2(x)滿足什么條件時(shí)， 可經(jīng)適當(dāng)?shù)木€性齊次變換y =a(x)z (2.5

7、)化為常系數(shù)方程。這里a(x)是待定函數(shù)。為此，把5)代入方程4),可得到a(x)z +2ax + P(x)a(x)z +a (x)+P1(x)a (x)+p2(x)a(x)z = 0 (2.6)欲使6)為常系數(shù)線性齊次方程，必須選取a(x)使得z、z及z的系數(shù)均為常 '數(shù)。特別地，令z的系數(shù)為零，即2a P1(x)a = 0可求得-P1(x)dxa(x); e 2再代入(2.6),整理之，得到(2.7)1-21z+P2(x) P(x) P (x)z=0 42由此可見，方程(2.4)可經(jīng)線性齊次變換1，、,P1(x)dxy =e：z (2.8)化為關(guān)于z的不含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性齊次方程(

8、2.7),且當(dāng)z的系數(shù)121,I(x) =P2(x) -二 Pi (x)-(x) 42為常數(shù)時(shí)，方程7)為常系數(shù)方程。因方程4)在形如8)的變換下，函數(shù)I(x)的值不會(huì)改變，故稱I(x)為方程4)的不變式。因此，當(dāng)不變式I(x)為常數(shù)時(shí)，方程(2.4)可經(jīng)變換(2.8)化為常 系數(shù)線性齊次方程。2 ,1,/ 21、-例求方程x y xy (x -)y=0口不力住4 的通解11、心)=,*=1-/ 解這里 x4x ,因3)=1 xI(x)=1-(1)2 -1(4x 4 x 2故令f1 dxzy =e 2 x z = .x就可把原方程化為常系數(shù)方程可求得其通解為z = g cosx c2sin x

9、代回原變量y,則得原來(lái)方程的通解為cosx sin xy =G C2- x - x(二)降階的方法處理一般高階微分方程的基本原則是降階，即利用適當(dāng)?shù)淖儞Q把高階方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較低階方程的求解問(wèn)題。具體參考常微分方程的思想與方法，這里只討論二階的。一，d 2xdx已知一2- p(t) q(t)x = 0x = 0出dt的一個(gè)特解 ，試求該方程的通解 解 作變換'二'1"：則原方程可化為一階線性微分方程X 字2x； p x, y =0,dx -求解，得1 一 p(t)dty c-e所以原方程的通解為x = x1 c2 cl1. (P(t)dt2 e xi法二設(shè)x2是方

10、程的任一解，則有劉維爾公式得一 p(t)dt二 cex1x2''xix2c#0,亦即其中常數(shù)''一 p(t)dtx1x2 x, x2 ; ce1以積分因子丁Xi乘上式兩端，就可推出d x2 c - p(t)dt(一)=1edtx1x1積分上式可得到x = xi c2 q1- p(t)dt-e dt . x,例求方程xy' xy+y = 0的通解解 由觀察知方程有一特解y1(x) = x,令y = xz貝U y =z+xz,y =2z +xz 代入方程，得22、x z (2x -x )z = 0再令z = u ,得一階線性齊次方程2 'x u (2

11、 -x)xu = 0從而可得ee ,u = c1 了，z = c12dx c2取G =1。=0,使得原方程的另一解xe .y2 =x dxx顯然 解yi，y2線性無(wú)關(guān)，故方程的通解為e* y =c1x c2x 2dx x幕級(jí)數(shù)法d2y. .2考慮二階線性微分方程dx+喈+0(1)、及初/士 y(x°) = y° 及值僅y(xo)=yo的情況可設(shè)一般性，可設(shè)%二0,否則，我們引進(jìn)新變量t=x-x0,經(jīng)此變換，方程的x0 二 0且收斂區(qū)間為x < R的特解，也以x <R為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.定理 若方程(1)中的系數(shù)p(x)和q(x)都能展成x的幕級(jí)數(shù),且收斂區(qū)間為x

12、< R則方程(1)有形如oO ' ny 二、anxn 0的特解，也以x <R為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.形式不變，但這時(shí)對(duì)應(yīng)于x = X。的就是to = 0 了.因此總認(rèn)為定理若方程(1)中的系數(shù)p(x)和q(x)都能展成x的幕級(jí)數(shù), 則方程有形如00-ny anxn 0成x的幕級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為X <R,若ao。0,則方程(1)有形如qOy =x : anxn (1.1)n=0的特解,a是一個(gè)待定的常數(shù).級(jí)數(shù)。也以為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.(y(0)=0及y=1的解例求方程y'' -2xy _4y = 0的滿足初值條件解設(shè)y =a0 ax a2x ,、定理 若方程(1

13、)中的系數(shù)p(x)和q(x)具有這樣的性質(zhì)，即xp(x)和xq(x)都能展 - - anxn為方程的解.利用初值條件，可以得到a0 = 0, a1 = 1,因而y = x a2x2 -anxn'2n 1y =1 2a2x 3a3x -nanxn 2y = 2a2 3：2a3x n(n-1)anx'''將y,y,y的表達(dá)式代入原方程，合并x的同次號(hào)的項(xiàng)，并令各項(xiàng)系數(shù)等于零，得到a2 =0,a3 =1,a4 = 0, an因而一 1111a5 1 - , a6 - 0, a7 - 一 , a8 - 0, a9 -2!6 3!4!最后得1_1_(k -1)! 一 k!

14、=0,r r皿.s k成立.對(duì)一切正整數(shù)將ai(i=0,1,2,)的值代回(1.2)就得到、十一 k!2k) k!5y = x x3 2!4二 x(1 x2 2!x2=xe ,這就是方程滿足所給初值條件的解例用幕級(jí)數(shù)解法求解萬(wàn)程y + xy + y = 0解因?yàn)镻o(x) =1,Pi(X) =x, P2(x) =1 ,所以在Xo =o的鄰域內(nèi)有形如Q0工nyo = anX n衛(wèi) 的'''yo,y。，y0代入原方程得事級(jí)數(shù)解.將代人以力不王，付00(2a2 ao)- 二n(n-1)an (n-1)an/xnN=0.n 3x的同次幕的系數(shù)，得 比較2a2 ao = 0,6a

15、3 2a1 = 0,n(n-1)an n(n-1)an =0 (n _4).aoa1n 1a2 - - _ ,a3 - - _ , a2n - ( -1)_n 1a0,232 n!a(-1)匕2n 1 13 (2n 1)所以，原方程的通解為x2y=a0e 2 即丫一*3 aL2hx2n1a/丫x2n1nzo1 3： ：(2n 1)方程組的消元法 在某些情形下，類似于代數(shù)方程組的消元，我們可以把多個(gè)未知函數(shù)的線性方程組化為某一個(gè)未知函數(shù)的高階微分方程來(lái)求解例求解線性微分方程組dx: dydx=x -5y,=2x - y.解從第一個(gè)方程可得1 dyy=g(r(1.2)把它代入第二個(gè)方程，就得到關(guān)于

16、 =tk(B°tm - B1tm4 -Bmt - Bm)e't勺二階方程式d2x2- 9x = 0.dt2不難求出它的一個(gè)基本解組為Xi =cos3t,X2 =sin3t,把xi和x2分別代入(1.2)式，得出y的兩個(gè)相應(yīng)的解為11 ,y1 = (cos3t 3sin 3t), y2 = (sin 3t -3cos31).55由此得到原來(lái)微分方程組的通解為=ci5cos3tcos3t +3sin3t ,c25sin 3tsin3t -3cos3t ,c1和c2為任意常數(shù) 其中二階非齊次線性微分方程待定系數(shù)法2,. d x dx常用于解決常系數(shù)非齊次線性微分方程Llx=dF a

17、1 d? a2x = f (t),(2)這里ai, a2是常數(shù)，f (t )為連續(xù)函數(shù)類型一設(shè)f (t )=(bbtm +b1tm. + bm=t +bm)e/其中人及bi(i =0,1J m)為實(shí)常數(shù), 那么方程(1位形如的特解，其中k為特征方程F （九尸0的根兒的重?cái)?shù)（單根相當(dāng)于k = 1;當(dāng)人不是特征根時(shí)，取k=0）,而Bo,Bi,Bm是待定常數(shù)，可以通過(guò)比較系數(shù)來(lái)確定 .類型二設(shè)f （t ）=A（t pos P t+ B （t ）sin P t eat其中 a, P是常數(shù),而 A（t B （t）是帶實(shí)系數(shù)的 t 的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為m,而另一個(gè)的次數(shù)不超過(guò) m,那么我們有如下結(jié)論

18、：方程（2）有形如x =tk |P t cos ： t Q t sin ： t eat的特解，其中k為特征方程F（九）=0的根a+iP的重?cái)?shù)，而P（t），Q（t）均為待定 的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于m的t的多項(xiàng)式，可以通過(guò)比較系數(shù)來(lái)確定.求方程之.2dx_3x=3t 1出 出 的通解解先求對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程d2xdx2 - 2 3x = 0 dtdt22 2九3 = 0有兩個(gè)上1 = 3,入2 = 1的通解.這里特征方程._ 3t因此，通解為 = A + Bt,其中A，B待定常數(shù).為了確定A,B/等x=A+Bt代入原方程，得到-2B -3A-3Bt =3t +1比較系數(shù)得 = c1ec2e ,

19、其中G,Q為任意常數(shù).再求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解.這里f «）= 3t +1，九=0,又因?yàn)榫哦?不是特征根，故可取特解形如-3B =3,-2B -3A =1,-1： 1 ,B - -1,A, x= - -t,由此得3從而 3 因此，原方程的通解為： 3t_t1x = CieC2 e -1 -.3求方程的 dx 4 -dx 4x = cos 2t出 出通解.2解特征方程和4=0有重根匕:,-2=一2,因此，對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為x = (c1 c2t)e z,其中。，c2為任意常數(shù).現(xiàn)求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解.因?yàn)?#177;2i不是特征根，我們求形如x=Acos

20、2t + Bsin 2t的特解，將它代入原方程并化簡(jiǎn)得到8Bcos2t -8Asin2t = cos2t,1: 1比較同類項(xiàng)系數(shù)得A = 0, B = ， x = _sin 2t,8從而 8因此原方程的通解為2t 1x = (c1 c2t) e sin 2t.8方法二由方法一知對(duì)應(yīng)的齊次線性的通解為X = (c1 + Qt)e 2 .為求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，我們先求方程d2xdx ， 2it2+4+4x=e2i不是特征根，故可設(shè)特解為出 dt的特解.這是屬于類型一，而： i 2it i _1 .一; ; 1x =e =-cos2 t sin 2t,Re ,x，= sin 2t,888

21、 分出它的實(shí)部8于是原方程的通解為_2t 1x =(c1 c2t) e sin 2t8注：對(duì)于d2xdx2- +& - +a2x = f (t )+g，可分斛為dt2dt2 . 2.d x . dx ,+ 8+映=f(t)d2dt，并且f(t),d xdx2 ala2x = g t (4)dtdtg(t用滿足類型一或者類型二.若(3),(4)的特解分別為斗？2,則原方程的特解為x = x1 x2.這是因d 2x1dx1-2- a1a2x( = f tdt2dtd 2x2dx2 標(biāo) a?x2 = g 2d x d x2- ai a? x ;dt dt - a2")d2 x1=a

22、1=f t g(t),d x1dt+ a2 x1) + (d2 x2 Ma,d x2dt+ a2 x2)t 2t ,求 x -4x+4x=e +e +1 的通解.對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為22 -4 4-0,即得特征根為1 = 2 =2.'''tt對(duì)應(yīng)方程x 4x +4x=e ,設(shè)其特解為x = Ae,代入方程則的A =1,'''. tt即方程x -4x-4x=e的一個(gè)特解為x-e.'''2t2 2t對(duì)應(yīng)方程x -4x +4x=e ,設(shè)其特解為x = Bt e ,代入方程則的B:'''. 2t1 ,

23、 2 2t即方程x -4x +4x=e有一個(gè)特解為x=-t e .'''對(duì)應(yīng)方程x -4x +4x=1 ,設(shè)其特解為x=C，代入方程則的 c4'' 2t1即方程x 4x +4x=e有一個(gè)特解為x = %.所以原方程的通解為2t ,、 t 1 2 2tx =e (c1c2t)e t e2這里5,5是任意常數(shù).升階的方法升階是常微分方程很少提到的一種方法，這是因?yàn)殡S著階數(shù)的升高，一般會(huì)使得 求解更為繁瑣，但適當(dāng)運(yùn)用這種方法，在有些情況下也可以受到事半功倍的效果.升階法往往用于求常系數(shù)非齊次線性微分方程，具體分析見參考文獻(xiàn)【9】 '''

24、例 用升階法求方程x -2x _3x = _3t+1的一個(gè)特解解兩邊同時(shí)逐次求導(dǎo)，直到右邊為常數(shù)，得”一 “一' 一x - 2x - 3x - -3,''' '"令x =-1 ,貝Ux =x =0代回原方程，得-2-3x = -3t+1,解之，有x=t1 ,該表達(dá)式幾位方程的一個(gè)特解. ''' Lt例 用升階法求方程x -2x +5x = e sin 2t的一個(gè)特解解 先求解方程 y''-2y'+5y=e(1i)t ,令y=Ue(.，代入方程，得u',+4iu'=1,-'1

25、1-1”W u = 一 =iu =一一it4i4 ,進(jìn)一步取4 ,則1 . (1 2)t1ty = 一-ite = 一一ite (cos 2t isin 21)4411t1t= te sin 2t 一一 ite cos2t,44其虛部函數(shù)為原方程的一個(gè)特解，即可求得原方程的一個(gè)特解為i . tX = -te Gos2t.4常數(shù)變易法定理如果ai,a2,an,f是區(qū)間aq«b上的連續(xù)函數(shù)，Xi,X2,4 是區(qū)間a-t Wb上齊次線性微分方程X(n)+ai (t) X(n,)+ an (t) X = 0的基本解組，那么，非齊次線性微分方程Xn ai(t)XnJan(t)X = f(t)的

26、滿足初值條件(t0)=0, '(t0)=0, (n,)(t0)=0,t。 a,b的解有下面公式給出“1n/ WkXi(s),X2(s),Xn(s)=，Xk (t)f(s)ds,= t0 WXi(s), X2(s),，Xn(s)WXi(s),X2(s),， (s)是 Xi(s),X2(s),，Xn(s)的朗斯基行列式， 這里 叫Xi(s),X2(s),，Xn(s)是在 WXi(s),X2(s),，Xn(s)中的第 k 列代以(0,0，0,。后得到的行列式，而且非齊次方程的任一解 u都具有形式u(t) =GX(t)C2X2。)GnXn(t)(t),這里G，G2,，G是適當(dāng)選取的常數(shù).

27、9;''t(t) =Xi(t)t0特別地，當(dāng)n=2時(shí)X X+ +anX = 0的特解為WiXi，X2f(s)ds X2(t)t W2Xi，X2f (s)ds. WXi(s),X2(s)t0 WXi(s),X2(s)W1Xi(s),X2(s)= 其中X2(s)(X2 (s)二-X2(s),W>xi(s),X2(s)='Xi(s)Xi (s)= Xi(s),當(dāng)n=2時(shí)，常數(shù)變易公式變?yōu)?因此，(t)t X2(t)Xi(s) Xi(t)X2(S)t：Wx1(s),X2(s)()而通解就是x =GX1(t)c2X2(t)(t).法二設(shè)X1,X2，Xn是方程xS+a,x")十十a(chǎn)nX = °的基本解組，當(dāng)滿足以下條 件時(shí)，X=G(t)Xi(t)+C2(t)x2(t)l +Cn(t)Xn(t)是方程 xC)+a1( x(f,)x = f (的曲解)(t )r. .' . 一一 ' 一一一一 ' 一一 .Xi(t)c1 (t) +X2(t)C2 (t) +Xn(t)Cn (t) =0Xi (t)Ci (t) +X2 (t)C2(t) + +Xn (t)Cn(t) =0T Xi(n9(t)Ci'(t) +X2(