大型渡槽抗震分析中流體的位移有限元模式

1、    大型渡槽抗震分析中流體的位移有限元模式            作者：李遇春1，樓夢(mèng)麟1，時(shí)間：2007-11-25 12:10:00                     摘要：利用彈性體與流體位移運(yùn)動(dòng)方程的相似性，將彈性體有限元

2、模式直接用于流體有限元計(jì)算，使得整個(gè)渡槽流固耦合系統(tǒng)具有統(tǒng)一的有限元計(jì)算模式。數(shù)值計(jì)算表明，這種流體有限元模式計(jì)算簡便，易于工程應(yīng)用，具有較好的計(jì)算精度，滿足工程計(jì)算的要求。 關(guān)鍵詞：大型渡槽 抗震分析 流體 位移有限元     我國目前在建的廣東省東江深圳供水改造工程建有3座大型渡槽，其設(shè)計(jì)流量為90m3/s，是目前國內(nèi)在建的流量最大的渡槽，已經(jīng)開工的南水北調(diào)工程將有更多的、流量更大的大型渡槽，這些大型渡槽都面臨著同一個(gè)問題結(jié)構(gòu)抗震，如何評(píng)估地震對(duì)渡槽結(jié)構(gòu)的作用與影響，是渡槽結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要問題。    大型渡槽中水量大，流體重量與

3、結(jié)構(gòu)重量相當(dāng)或甚至超過結(jié)構(gòu)重量，在地震及脈動(dòng)風(fēng)作用下，槽內(nèi)水體的大質(zhì)量運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)渡槽結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性及地震、脈動(dòng)風(fēng)反應(yīng)產(chǎn)生重要影響，因此流體的作用是不可回避且必須加以考慮的問題。渡槽體系振動(dòng)時(shí)，流體會(huì)伴隨著結(jié)構(gòu)的振動(dòng)而產(chǎn)生晃動(dòng)，反過來流體的晃動(dòng)又將對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)產(chǎn)生影響，這是一個(gè)較為復(fù)雜的流體結(jié)構(gòu)相互作用問題。在渡槽抗震計(jì)算中，采用的有限元法有兩類計(jì)算格式：一種以流體壓力(或流體速度勢)為待求未知量1，利用流體運(yùn)動(dòng)方程與結(jié)構(gòu)彈性體運(yùn)動(dòng)方程的相似性2，可得到與結(jié)構(gòu)有限元格式相一致的流體有限元計(jì)算模式，但由于結(jié)構(gòu)通常采用位移模式，使得結(jié)構(gòu)流體交接面上位移與壓力協(xié)調(diào)關(guān)系不易處理；另一種有限元模式3以流體位

4、移為待求未知量，流體與結(jié)構(gòu)均為位移計(jì)算格式，流固交接邊界易于處理，容易應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的有限元程序，適用面廣，適合于復(fù)雜渡槽結(jié)構(gòu)流體的相互作用問題，但位移模式待求未知量的個(gè)數(shù)多于壓力模式，占用的計(jì)算機(jī)內(nèi)存較多，且容易產(chǎn)生偽模態(tài)，當(dāng)然目前的微型機(jī)內(nèi)存可配得足夠的大，可滿足絕大多數(shù)的工程計(jì)算問題，至于偽模態(tài)可通過數(shù)值處理方法加以克服3。渡槽抗震計(jì)算一般情況要計(jì)算兩個(gè)水平方向(橫向和縱向)及一個(gè)豎直方向的地震作用，在橫向與豎向，槽身結(jié)構(gòu)與流體在正法向發(fā)生相互作用，這種法向相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)與流體的運(yùn)動(dòng)具有很大的影響，而在縱向，槽身與流體僅在切向發(fā)生相互作用，如果水體假設(shè)為理想流體(無粘性)，則槽身與水體之間并不

5、傳遞剪力，無相互作用，事實(shí)上，水體的粘性很小，槽身與流體在交接面(邊界層)的切向相互作用可忽略不計(jì)。只有橫向水平地震、豎向地震作用下，才有必要考慮流體與結(jié)構(gòu)的相互作用。    本文就大型渡槽抗震分析中流體的位移有限元模式作一討論，說明這種有限元模式在渡槽流固耦合體系整體抗震計(jì)算中的適用性，通過數(shù)值算例說明這種流體有限元模式在渡槽抗震計(jì)算中的有效性。1  無粘性流體運(yùn)動(dòng)的位移控制方程    渡槽內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)為一內(nèi)流問題，一般可設(shè)渡槽中水體為可壓縮、無粘性、無旋的流體，水體在小幅運(yùn)動(dòng)下，流體運(yùn)動(dòng)Euler方程為(1)式中：p為流

6、體壓力，“，i”表示對(duì)坐標(biāo)xi的導(dǎo)數(shù)；L為流體質(zhì)量密度；vi為流體速度分量；“·”表示對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)。    流體物理方程為(2)式中：為流體中聲波的速度，其中K為體積壓縮模量。    式(2)中隱含了Einstein求和約定。小幅運(yùn)動(dòng)下，流體運(yùn)動(dòng)速度可表為(3)式中：ui為流體位移分量。    由式(1)、式(2)可得(4)    將式(3)代入式(2)，對(duì)時(shí)間t積分得(5)    對(duì)式(5)求關(guān)于xi的偏導(dǎo)數(shù)，然后代入式(1)，得流

7、體運(yùn)動(dòng)的位移方程為(6)    流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件：流體自由表面s上，有p=0，即(7)    在流體結(jié)構(gòu)交接面上有法向位移協(xié)調(diào)條件(8)    及法向壓力協(xié)調(diào)條件(9)    式(8)、式(9)兩式中：wi、ij分別為交接面上結(jié)構(gòu)的位移及應(yīng)力。2  流體與結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的相似性    結(jié)構(gòu)彈性體的動(dòng)力學(xué)方程可表為4 (10)式中：wi為彈性體的位移分量；Xi為體力分量；Ks、G、和s分別為彈性體體積彈性模量、剪切模量、泊松比及質(zhì)量密度。&#

8、160;   在式(10)中，若命：Xi=0及G=0，則式(10)變?yōu)?11)比較式(6)、式(11)兩式，兩個(gè)方程形式完全相同，依據(jù)這種相似性，只需將彈性體參數(shù)調(diào)整為流體參數(shù)c2，則流體的位移運(yùn)動(dòng)方程可直接通過彈性體運(yùn)動(dòng)方程加以描述。3  流體位移有限元模式    應(yīng)用上述結(jié)構(gòu)與流體運(yùn)動(dòng)方程的相似性，流體有限元方程可直接由結(jié)構(gòu)彈性體有限元5構(gòu)造得到，因此現(xiàn)有結(jié)構(gòu)彈性體標(biāo)準(zhǔn)有限元計(jì)算程序可直接用于計(jì)算流體。這樣整個(gè)流固耦合系統(tǒng)具有統(tǒng)一的有限元計(jì)算格式，流體與結(jié)構(gòu)交接面上的協(xié)調(diào)關(guān)系將變得易于處理。應(yīng)用上述運(yùn)動(dòng)方程的相似性，對(duì)渡槽中流體作

9、有限元分析時(shí)，有以下幾個(gè)問題需要說明：    (1)將上述式(10)化為式(11)的過程中，用到條件G=0，即流體的剪切模量為零，表明流體單元之間，以及流體單元與彈性體單元之間并不傳遞剪力，僅僅只傳遞法向壓力，這一點(diǎn)符合理想流體(無粘性)的力學(xué)特征，這樣流體結(jié)構(gòu)交接面上的法向壓力協(xié)調(diào)條件式(9)將自動(dòng)滿足。實(shí)際計(jì)算中為了保證計(jì)算的穩(wěn)定性，剪切模量G不能為零，只需取一個(gè)非常小的正數(shù)，保證計(jì)算過程不溢出即可。    (2)用于形成流體剛度矩陣的物理方程為(12)式(12)中第一個(gè)方程與式(2)等價(jià)，其中bulk為流體的體應(yīng)變，對(duì)于水體，其

10、體積壓縮模量可近似地取為K=2.067×109Pa；、分別表示流體的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變，剪切模量可取為一個(gè)小的正數(shù)，可取G=K×10-9，流體的泊松比可近似取為=0.5。    (3)渡槽中流體晃動(dòng)時(shí)，自由表面在重力的作用下，總是趨向于其平衡位置，為了模擬流體自由表面恢復(fù)力效應(yīng)，可在自由表面上加彈簧，彈簧剛度系數(shù)的計(jì)算參見文獻(xiàn)3。    (4)流體質(zhì)量矩陣可采用集中質(zhì)量法形成。    (5)流體運(yùn)動(dòng)方程是針對(duì)無粘性的理想流體得到的，對(duì)于水體而言，其粘性很小，可按無粘性的流體考慮，此時(shí)流體的

11、阻尼矩陣為零，抗震計(jì)算偏于安全。若計(jì)算中需要考慮水體的阻尼作用時(shí)，即要考慮水體的粘性效應(yīng)時(shí)，可按以下的物理方程建立流體單元的阻尼矩陣：(13)式中：表示應(yīng)變對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；為流體的粘性系數(shù)；對(duì)于水體可取=0.001135kg·m-1·s。    (6)流固耦合交界面的處理：交界面上同一位置，一般應(yīng)設(shè)置兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)用于流體、另一個(gè)用于結(jié)構(gòu)彈性體，交界面兩個(gè)節(jié)點(diǎn)法向處的位移強(qiáng)制保持協(xié)調(diào)一致，即滿足式(8)，而兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的切向位移不作約束，允許相對(duì)滑動(dòng)，即為可滑動(dòng)邊界條件。4  數(shù)值算例4.1  矩形槽身  以文獻(xiàn)6中的

12、算例為例，取矩形槽內(nèi)靜止水截面寬度為8.0m，高度為6.0m，槽身長度為12.0m，流體質(zhì)量密度為L=1000kg/m3，采用邊界元法6，將水體假設(shè)為不可壓縮的流體，得到槽內(nèi)水體橫向第一階晃動(dòng)頻率為0.3087Hz。采用位移格式的有限元法，在縱向僅取2.0m長度的水體(圖1)，流體的粘性系數(shù)取為零，流體體積壓縮模量按實(shí)際取為K=2.067×109Pa，水體的邊界采用滑動(dòng)邊界，計(jì)算得到的槽內(nèi)水體橫向第一階晃動(dòng)模態(tài)見圖1，晃動(dòng)頻率為0.3041Hz，有限元與邊界元的結(jié)果，相對(duì)誤差僅為1.5%，兩者結(jié)果非常接近，注意到流體的晃動(dòng)頻率與其體積壓縮模量的大小無關(guān)，僅與重力加速度及橫截面的尺寸有

13、關(guān)。    圖2表示了流體在EL Centro(N-S)地震波作用下(峰值加速度為3.417m/s2)對(duì)槽身(按槽身長度為12.0m計(jì)算)水平剪力的時(shí)間歷程，圖中分別采用了兩種計(jì)算方法，可以看出，有限元法與邊界元法兩個(gè)結(jié)果在總的時(shí)間域上相當(dāng)一致，其最大反應(yīng)值亦極為接近，邊界元解為|Fl|max=1298.0kN，有限元解為|Fl|max=1311.7kN。4.2  U形槽身  以廣東省東    江深圳供水改造工程中的U型渡槽為例7，圖3為流體在槽內(nèi)的一階橫向晃動(dòng)模態(tài)，流體結(jié)構(gòu)邊界采用滑動(dòng)邊界，有限元計(jì)算槽

14、內(nèi)水體晃動(dòng)首階頻率為f=0.3224Hz，邊界元計(jì)算結(jié)果為f=0.3413Hz，兩者相當(dāng)接近，相對(duì)誤差為5.5%。    槽身長度取為12m，圖4為場地人工地震波橫向作用下，有限元及邊界元兩種方法計(jì)算得到的流體對(duì)槽身的水平地震作用時(shí)程曲線，由圖4可看出，兩個(gè)時(shí)程曲線相當(dāng)接近，邊界元法得到的最小、最大水平剪力分別為-109.22kN及119.95kN；有限元法得到的最小、最大水平剪力分別為-115.25kN及126.01kN，反應(yīng)的峰值結(jié)果也相當(dāng)接近。 圖3 U形槽內(nèi)水體有限元模型及橫向第一階晃動(dòng)模型圖4 流體對(duì)U形槽身的水平地震作用時(shí)程曲線  

15、  以上計(jì)算誤差的來源，除了計(jì)算模式不同導(dǎo)致的誤差外，另一個(gè)來源是邊界元法將水體假設(shè)為不可壓縮，而有限元一般考慮水體為可壓縮，更接近于實(shí)際情況。流體U形槽身的計(jì)算誤差要大于矩形槽身的，原因是：(1)U形槽身水體單元?jiǎng)澐值幂^粗；(2)U形槽身曲線滑動(dòng)邊界處理有一定的近似性。    以上的計(jì)算表明，采用位移格式的有限元計(jì)算結(jié)果是可信的，滿足工程抗震分析要求。作為實(shí)際應(yīng)用，作者采用上述的流體有限元模型，分析了東江深圳供水改造工程中3種不同形式渡槽的地震反應(yīng)，詳見文獻(xiàn)7。5  結(jié) 論    利用彈性體與流體位移運(yùn)動(dòng)方程的相

16、似性，將彈性體有限元模式直接用于流體有限元計(jì)算，使得整個(gè)流固耦合系統(tǒng)具有統(tǒng)一的有限元計(jì)算模式，抗震計(jì)算簡便，易于工程應(yīng)用，具有較好的計(jì)算精度，滿足工程計(jì)算的要求。   參 考 文 獻(xiàn)：1 Evertine G C.Finite element formulations of structural acoustics problemsJ.Computer & Structures,1997,65(3):307-321.2 Evertine G C.Structural analogies for scalar field problemJ.Int.J.Numer.Meth.Engng.1981,(17):4