第2章(軸向拉伸與壓縮).

1、材料為學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系§ 2-1 概述二軸向拉伸或壓縮受力特點(diǎn)亠桿件受到的外力或其合力的作用線沿桿件軸線。 ；軸向拉伸或壓縮變形特點(diǎn)：桿件沿軸線方向發(fā)生伸長或縮短。Central South University§ 2-2拉壓桿的內(nèi)力一. 軸力工耳=0： fn-f=ofn=f軸力正負(fù)規(guī)定Central South University臨殛g拉力為正（方向背離桿件截面）；壓力為負(fù)（方 向指向桿件截面）。二. 軸力圖表示軸力沿軸線方向變化情況的圖形，橫坐標(biāo)表 示橫截面的位置，縱坐標(biāo)表示軸力的大小和方向。例：一等直桿受力情況如圖所示。試作桿的軸力圖。Central S

2、outh University解：（1）求約束力截面法計(jì)算各段軸力IX =山心-仏=0解得：FN1 =10kNBC段:L=0:入2 一仏一 4« = 0解得：FN2 = 50kNCD段:20kNZFx=0- FN3+25-20 = 0解得：F“ = -kNDE段:Z=0: 解得：FN4 = 20kN繪制軸力圖耳4一20 = 050nnnffniidlffi單位:kN2-3 拉壓桿的應(yīng)力一.拉壓桿橫截面上的應(yīng)力縱向線伸長相等，橫向線保持與縱線垂直。平面假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。兩橫截面間所有縱向纖維變形相同，則受力相同， 說明內(nèi)力均布，且橫截面上各

3、點(diǎn)只有相同的正應(yīng)力而無切應(yīng)力。橫截面上有正 應(yīng)力無切應(yīng)力。材料的均勻連續(xù) 性假設(shè)，可知所有縱 向纖維的力學(xué)性能相 同。軸向拉壓時， 橫截面上只有正應(yīng) 力，且均勻分布Central South University二.拉壓桿斜截面上的應(yīng)力6C斜截面上總應(yīng)力mmA/cosa=oleosaa斜截面正應(yīng)力，cra= pa cosa = cri cos2 aa斜截面切應(yīng)力bTa = pa sina = sin 2aa斜截面正應(yīng)力aa =q cos2 aa斜截面切應(yīng)力a0:橫截面上的正應(yīng)力；a :橫截面外法線轉(zhuǎn)到斜截 面外法線所轉(zhuǎn)的角度，逆時針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。sin 2a1. 特殊截面應(yīng)力的特點(diǎn)(1)

4、a = 45°,丐=號，ra=- = rmax低碳鋼由于抗剪能力比抗拉能力差，拉伸過程中出現(xiàn)45?；凭€, 就是最大切應(yīng)力引起的.(2) a = 0°, ba =5 = %，僉=°鑄鐵拉伸的斷裂面為橫截面，就是拉應(yīng)力引起的.(3) a = 90°, <ra=ft ra=02. 兩個互相垂直截面的切應(yīng)力關(guān)系r = sin 2a a 2j廠守曲2(a +剜)=-號sin 2a切應(yīng)力互等定律過受力物體內(nèi)任一點(diǎn)互相垂直的兩個截面上的 切應(yīng)力等值反向。例：圖所示軸向受壓等截面桿件，橫截面面積A = 400mm2 , 載荷F = 50kN ,試求橫截面及斜截面

5、/ w上的應(yīng)力。解：由題可得Fn = 一50kNa = 50°橫截面上的正應(yīng)力 (礙=仝=二 5°x 電 =一 i.25x 10"Pa = 一 125MPa A 400x10"斜截面上的正應(yīng)力b的、=% cos試驗(yàn)試件拉伸試件 壓縮試件 a = 125 x cos2 50° = 51.6MPa斜裁面11的切應(yīng)力一.材料的力學(xué)性能概述1. 材料的力學(xué)性能材料從受力開始到破壞過程中所表現(xiàn)出的在變形 和破壞等方面的特性。拉伸試驗(yàn)試件壓縮試驗(yàn)試件拉伸試件圓形截面試件矩形截面試件/ = 1(W l = 5d/ = 11.37a I = 5.65>f

6、A圓形截面試件h = (lQ3)d壓縮試件方形截面試件3.受力與變形曲線F-M曲線消除試件尺寸的影響b_£曲線A7bpVbSbe, <7與£不成正比關(guān)系。2 .屈服階段(1) 屈服(流動)現(xiàn)象應(yīng)力基本不變，應(yīng)變顯著增 加的現(xiàn)象。(2) 塑性變形載荷卸除后不能恢復(fù)的變形。込：屈服極限 試件表面磨光，屈服階段試件表面出現(xiàn)45。的滑移線。3. 強(qiáng)化階段(1)強(qiáng)化經(jīng)過屈月艮階段后，材料恢復(fù)抵抗 變形的能力，應(yīng)力增大應(yīng)變增大。強(qiáng)度極限 64 頸縮階段(1)頸縮現(xiàn)象過強(qiáng)化階段最高點(diǎn)后，試件某一 局部范圍內(nèi)橫向尺寸急劇縮小。試件斷口呈杯口顆粒狀。5 材料的塑性指標(biāo)延伸率<5

7、= -xlOO%I4 4截面收縮率0 =仝一"00% Y A延伸率和截面收縮率越大表明材料的塑性越好, 一般認(rèn)為3>5%為塑性材料，8 <冬曇為脆，陛材料玉山6.卸載定律及冷作硬化(1)卸載定律在卸載過程中，應(yīng)力和應(yīng) 變按直線規(guī)律變化。名義屈服極限 b° 2Central South University三.其他塑性材料 拉伸時的力學(xué)性能冷作硬化材料塑性變形后卸載，重新加載，材料的比例 極限提高，塑性變形和伸長率降低的現(xiàn)象。對于沒有明顯屈服點(diǎn) 的塑性材料，將產(chǎn)生0.2% (0.002 )塑性應(yīng)變時的應(yīng) 力作為屈服點(diǎn)(名義屈服 極限)。務(wù)蛙：=-L-；JF .務(wù)蛙

8、：=-L-；JF .四.脆性材料拉伸時的力學(xué)性能1 從加載至拉斷，變形很小 ,幾乎無塑性變形，斷口為試件 橫截面，呈顆粒狀，面積變化 不大，為脆性斷裂，以強(qiáng)度極限 作為材料的強(qiáng)度指標(biāo)。2.鑄鐵的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲 線是微彎曲線，無直線階段， 一般取曲線的割線代替曲線的 開始部分，以割線的斜率作為 材料的彈性模量。五.材料在壓縮時的力學(xué)性能1 低碳鋼在壓縮時的力學(xué)性能務(wù)蛙：=-L-；JF .務(wù)蛙：=-L-；JF .務(wù)蛙：=-L-；JF .務(wù)蛙：=-L-；JF .(1) 在屈服階段以前，壓縮曲線與拉伸曲線基本重合。進(jìn)入強(qiáng)化階段后試件壓縮時應(yīng)力的增長率隨應(yīng)變的增 加而越來越大，不存在抗壓強(qiáng)度極限。務(wù)蛙

9、：=-L-；JF .Central South University2.鑄鐵在壓縮時的力學(xué)性能/101.0400(1)鑄鐵的壓縮曲線與拉伸曲線相似，線性關(guān)系不 明顯，但是抗壓強(qiáng)度比抗拉強(qiáng)度高45倍。 鑄鐵試件壓縮破壞時，斷面的法線與軸線大致成45。6()。的傾角，呈片狀。Control South Univor»ity一零丫薩-，件喰紹；：幽二二摩-許用應(yīng)力及安全因素1. 失效：構(gòu)件不能妥全正常工作。強(qiáng)度不足 構(gòu)件失效的原因 剛度不足I穩(wěn)定性不足J工作環(huán)境、加載方式不當(dāng)?shù)葮O限應(yīng)力：構(gòu)件失效前所能承受的最大應(yīng)力。塑性材料 b°=q脆性材料er° = crb3.許用應(yīng)

10、力：對于一定材料制成的 構(gòu)件，其工作應(yīng)力的最大容許值。L6為構(gòu)件的 安全因素Central South University二、拉壓桿的強(qiáng)度條件截面上的軸力max許用應(yīng)力截面面積強(qiáng)度校核截面設(shè)計(jì)例：圖示變截面由兩種材料制成，AE段為銅質(zhì)，EC段為鋼質(zhì) 。鋼的許用應(yīng)力ai= 160MPa,銅的許用應(yīng)力a2= 120MPa , AB 段橫截面面積1000mm2, AB段橫截面面積是C段的兩倍，。外力F =60kN ,作用線沿桿方向，試對此桿進(jìn)行強(qiáng)度校核。1005 1500C4K解：（1）求桿的軸力，作軸力圖AD段：罟屮駕Z=0: Fni+2F=0解得：FN1 =-2F=-120kNDB段：Z=0:

11、 FN2+2F-F=0解得：FN2 =_F = -60kNCentral South UniversityBC段：解得：FN3=F=6()kN確定危險截面經(jīng)分析危險截面在BCAD段強(qiáng)度校核所以桿件強(qiáng)度滿足要求。maxCentral South Universityja桿Bc 一何刃'to x 120 >d0 6jA s c :二二:也jdJFt妙吉乂 二蘭一266 >10 _例：圖示吊環(huán)由斜桿與橫梁 C組成，已知久 =20w,吊環(huán)承受的最大吊重為F = 500kN ,許用應(yīng)力0= 120MPa。試求斜桿的直徑。解：以節(jié)點(diǎn)A為研究對象，受力圖及 坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程=

12、0:F 2Fncos a =4)解得： .Fn = = 500 - = 266kN2 cos a 2 x cos 20b_Fz _ 4你八A 一勿2如例：圖示桁架，已知兩桿的橫截面面積均為A = 100mm2,許 用拉應(yīng)力at=200MPa ,許用壓應(yīng)力ac=150MPa .試求載荷的最 大許用值。解：求1、2桿的軸力以節(jié)點(diǎn)B為研究對象，受力圖和坐標(biāo)系如 圖。建立平衡方程L=0: -FN2-FNIcos4S =0解得：Fni=V2F （拉） Fg=_F （壓）Fni=V2F （拉） FN2=-F （壓）=0:/1sin45°-F=0確定載荷的最大許用值1桿強(qiáng)度條件= 14.14kNA

13、bJ lOOxlOxlOOxlO6 F M r= =rryJ2V22桿強(qiáng)度條件 FAo;=l（X）xl0xl50xl06=15.0kN所以載荷F的最大許用值為14.14kN.Central South University§2-6拉壓桿的變形一.拉壓桿的軸向變形與胡克定律1軸向（縱向）變形：4 =厶一2軸向（縱向）線應(yīng)變：£ =牛軸向（縱向）線應(yīng)變:2.胡克定律AI£當(dāng)bVbp時，b與£成正比關(guān)系。FnAla = Ee<r = 6 rAI/ =空EA胡克定律的另一表達(dá)形式Central South University臨繪蚩一i EA(x)Q1為桿

14、件的拉壓剛度:曲忌二、拉壓桿的橫向變形與泊松比1 橫向變形橫向線應(yīng)變Ab =bt b =b2.泊松比£V =E：比聶ir-w-Le解：螺栓的軸向正應(yīng)變“理= 29 = 7.41x10 /54x10-3螺栓橫截面上的正應(yīng)力b = Ew = 200 xl09x 7.41 xlO-4 = 148.2MPa螺栓的橫向正應(yīng)變£ = -vs = -0.3x7.41 x 10-4 = -2.22 xlO-4螺栓的橫向變形A/ =也=-2.22x KF4 x 15.3x 10斗一34x 10m .r7cUniversity例：圖示圓截面桿，已知F = 4kN, h = 12 = 100mm

15、 , E = 200GPa .為保證構(gòu)件正常工作，妥求其總伸長不超過42= 0.10mm o試確定桿的直徑d。Central South UniversityQ陀甬一例：圖示鋼螺栓，內(nèi)徑d- 153mm ,被連接部分的總長 度/ = 54mm,擰緊時螺栓ABM的伸長/ = 0.04mm,鋼的彈性 模量£： = 200GPa,泊松比u=03。試計(jì)算螺栓橫截面上的正 應(yīng)力及螺栓的橫向變形。解：AB段的軸力BFn 產(chǎn) 2FBC段的軸力 你耳叫+ 4F/2_呦桿件總長度改變量“ EA EA End End End川罟12“EkAI=12x4x103x100x10200xl09 x-xCent

16、ral South University例：求圖示圓錐桿總伸長.設(shè)桿長為/,最小直徑為，最大 直徑為£>,拉力為解：以桿件左端為X軸原點(diǎn)，距原點(diǎn)距離為X的橫截面直徑d（x） = d+距原點(diǎn)距離為兀的橫截面面積 心）哥距原點(diǎn)距離為X微小桿段伸長量d(J/) =FdxEA(x)例：圖示桁架，在節(jié)點(diǎn)A處作用鉛垂載荷F = 10kN ,已知1 桿用鋼制成，彈性模量Ei = 200GPa ,橫截面面積4i= 100mm2, 桿長/i=lm, 2桿用硬鋁制成，彈性模量2=70GPa ,橫截面面總伸長量為fi4F2Al = d(Al) = -J。nEDd$L42= 250mm2,桿-Z2 =

17、 0.707m .試求節(jié)點(diǎn)A的位移。解：以節(jié)點(diǎn)A為研究對象，建立平衡方程=0: -qcosQ 卡=0=0:FN1 sin45°-F=0解得：Fni = 41F = 14.14kN （拉）Fn2=F=10RN（壓）Central South University低）1Central South University§2-7簡單拉壓靜不定問題Fni = y2F = 14.14kN (拉) FN2 =-F = -lOkN計(jì)算桿1、2的變形量=拄= 少斧 -7.07X10%1 EfAf 200x1()9x100x10"4 = jfWl =1°冗°*0：

18、?07= 4.04xl0m2 E2A2 70x109x250x10"節(jié)點(diǎn)A的水平位移4V =丸=如=4.04 x lOm節(jié)點(diǎn)A的垂直位移打A. = AA. +=1 = 1.404xl03m244 " sin 45° tan 45°靜定問題未知力數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，未知力可由平衡 方程全部求出。靜不定問嗪知力數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，未知力不能全 部由平衡方程全部求出。一.靜不定問題的解法.幾何關(guān)系法變形協(xié)調(diào)方程（變形幾何關(guān)系）（三關(guān)系法）I物理方程（物理關(guān)系）靜力平衡方程（靜力關(guān)系）Central South University2、3的內(nèi)力。解：

19、以節(jié)點(diǎn)A為研究對象，建立平衡方程yFr = 0:tin <z (z-0zz =0:cos a+Zcos a+盡 -F =0由變形幾何關(guān)系可得變形協(xié)調(diào)方程4 =Al3 cosa由胡克定律可得/.7' = j cus aEA ea由解得：尸“=他=2cos 2a + E3A/ 召 4例：圖示結(jié)構(gòu)，已知桿1、2的拉壓剛度為EiAi,長度為 Zi, 3桿的拉壓剛度為EvU試求桿1、Control South University例：圖示結(jié)構(gòu)，桿2的彈性模量為橫截面面積均為A,梁為剛體，載荷F = 50kN ,許用拉應(yīng)力at = 160MPa,許 用壓應(yīng)力叭=120MPa ,試確定各桿的橫截面面積。以梁為研究對象，建立平衡方程&A/b(F) = O:邑Fni 845* ./4-FN2 2/-F 2/=0 (1) Bc L Jt由變形幾何關(guān)系可得變形協(xié)調(diào)方程 理=2CCr = 2y/2All由胡克定律可得1 EA EA愛=叫EA EA彳f A|/<FNl sin45° ./ + FN2 -2/-F -2Z=0（i）EA EA由解得:FN1 =11.49kN （壓） FN2 =45.9kN （拉）1桿的橫截面面積11.49X103120xl06= 9>58x lOm2= 2.87xl0-4m2所以桿1、2的橫截面面積為2.87 x2桿的橫截