等差數(shù)列計(jì)算

1、等差數(shù)列計(jì)算題知識(shí)點(diǎn)撥等差數(shù)列的相關(guān)公式(1)三個(gè)重要的公式 通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù))公差， 遞減數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù))公差，回憶講解這個(gè)公式的時(shí)候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來學(xué)的植樹問題的思想，讓學(xué)生明白 末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上(末項(xiàng)與首項(xiàng)的)間隔個(gè)公差個(gè)數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手同時(shí)還可延伸出來這樣一個(gè)有用的公式：， 項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差+1 由通項(xiàng)公式可以得到： (若)； (若)找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、40、43、46 ，分析：配組：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、

2、14、15)、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每組有3個(gè)數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有項(xiàng)，每組3個(gè)數(shù)，所以共組，原數(shù)列有15組 當(dāng)然還可以有其他的配組方法 求和公式：和=(首項(xiàng)末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2 對(duì)于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)方面入手：(思路1) (思路2)這道題目，還可以這樣理解： 即，和(2) 中項(xiàng)定理：對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)譬如： ，題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20，而和恰等于； ，題中的等差數(shù)列有33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第1

3、7項(xiàng)的值是33，而和恰等于例題精講【例 1】 用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？ 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 根據(jù)例1的結(jié)果知：算式中的等差數(shù)列一共有76項(xiàng)，所以：算式中的等差數(shù)列一共有50項(xiàng)，所以：算式中的等差數(shù)列一共有15項(xiàng)，所以：【答案】 【鞏固】 1+2+8+9+10+9+8+2+1=_?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】2005年，希望杯，第三屆，四年級(jí)，二試【解析】 1+2+3+n+3+2+1=nn，所以原式=1010=100【答案】【鞏固】 1966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少? 【

4、考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】1星 【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】第一屆，華杯賽，初賽【解析】 1986是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以和198659930。【答案】【鞏固】 計(jì)算：110111112126 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】第四屆，走美杯，四年級(jí)，初賽【解析】 原式【答案】【鞏固】 計(jì)算下面結(jié)果 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差等差數(shù)列的和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)：； 和：項(xiàng)數(shù)：；和：項(xiàng)數(shù)：；和： 【答案】 【鞏固】 用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？ 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難

5、度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 （1）算式中的等差數(shù)列一共有76項(xiàng)，所以：（2）算式中的等差數(shù)列一共有50項(xiàng)，所以： （3）算式中的等差數(shù)列一共有15項(xiàng)，所以：【答案】（1） （2） （3）【鞏固】 計(jì)算下列一組數(shù)的和：105，110，115，120，195，200【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 根據(jù)等差數(shù)列求和公式，必須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，這里首項(xiàng)是105，末項(xiàng)是200，但項(xiàng)數(shù)不知道若利用，可有據(jù)此可先求出項(xiàng)數(shù)，再求數(shù)列的和 解：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)故數(shù)列的和是：【答案】【鞏固】 聰明的小朋友們，一下吧 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 根

6、據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差等差數(shù)列的和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)：； 和：；項(xiàng)數(shù)：；和：【答案】 【鞏固】 巧算下題： 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式這一串加數(shù)可以組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為1999，公差為2的等差數(shù)列， 項(xiàng)數(shù)，原式【答案】 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】第六屆，走美杯，四年級(jí)，初賽【解析】 觀察原式可知，1、2、32007分別可與2007、2006、20051組成2008，于是括號(hào)中有2008個(gè)2008，故原式結(jié)果為2008?！敬鸢浮俊眷柟獭?_【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算

7、 【關(guān)鍵詞】2008年，第6屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 根據(jù)中項(xiàng)定理知: 2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=20087,所以原式= 200872008=7【答案】【鞏固】 計(jì)算：150+250+9850+9950= 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 原式=【答案】【例 2】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 （方法一）第一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)1000，第二個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為999，利用求和公式得：（方法二）第一個(gè)括號(hào)內(nèi)共有1000個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)有9

8、99個(gè)數(shù)把1除外，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)依次比第二個(gè)括號(hào)里相應(yīng)的數(shù)大1，因此可簡(jiǎn)捷求和原式(共1000個(gè)1)通過觀察可知，題目中的減數(shù)可以組成等差數(shù)列，所以，可先求這些減數(shù)的和，再?gòu)谋粶p數(shù)中減去這個(gè)和 當(dāng)一個(gè)數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，這些減數(shù)能組成等差數(shù)列時(shí)，可以先求這些減數(shù)的和，再?gòu)谋粶p數(shù)中減去這個(gè)和【答案】 【鞏固】 計(jì)算【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 根據(jù)求項(xiàng)數(shù)公式可知兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的算式都各有994項(xiàng)原式【答案】【鞏固】 計(jì)算：【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，3年級(jí)，決賽【解析】 找規(guī)律并分組計(jì)算如下：【答案】【鞏

9、固】 計(jì)算： ； 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 和式，中的項(xiàng)成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再做減法這樣做，很自然，也比較簡(jiǎn)便，有其他更為簡(jiǎn)便的解法嗎?再看題，你會(huì)冒出一個(gè)好想法：運(yùn)用加減運(yùn)算性質(zhì)先做減法：，它們的差都等于1，然后，計(jì)算等于1的差數(shù)有多少個(gè)由于題中1至100的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)，奇數(shù)之和為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減(以大減小)，共得50個(gè)差數(shù)1，從而，原式 以把這個(gè)數(shù)列拆分為兩個(gè)數(shù)列和，對(duì)它們分別求和：原式； 本題也可以按照上題的方法做，但還有更簡(jiǎn)便的辦法，把式子中的減法都計(jì)算出來可以得到下式： 這是和的組合，分別計(jì)算結(jié)果即可： 原式 原式

10、【答案】 【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 方法一：讓學(xué)生用等差數(shù)列求和公式分別計(jì)算前后兩部分，然后講方法二，這樣可以讓學(xué)生體會(huì)觀察數(shù)列規(guī)律，動(dòng)腦思考的重要性原式方法二：把括號(hào)去掉，兩兩結(jié)合，簡(jiǎn)便計(jì)算原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 方法一：等差數(shù)列求和原式方法二：把括號(hào)去掉，兩兩結(jié)合，簡(jiǎn)便計(jì)算原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 方法一：原式方法二：原式方法三：，觀察到這一點(diǎn)就好辦了，改變?cè)瓉淼倪\(yùn)算順序不難發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)數(shù)放在一起就是2，就

11、等于說每一個(gè)數(shù)都看成1就行了，原式有2008項(xiàng)，所以最后答案就是2008（讓學(xué)生體會(huì)觀察數(shù)列規(guī)律動(dòng)腦思考的重要性）【答案】【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【例 3】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】第十三屆，迎春杯，試題【解析】 原式 【答案】【例 4】 計(jì)算_【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【鞏固】 計(jì)算以質(zhì)數(shù)71做分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有求這列數(shù)的和計(jì)算：【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 這是一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算得：方法一：將這列數(shù)的分子從左往右排起來是1，2，3，469，70可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是70，項(xiàng)數(shù)是70我們可