研究院北京二模理分類匯編——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及不等式教師版

1、2018二模分類匯編函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式1.（2018昌平二模·理）設(shè)，則A B C D1.C2.（2018昌平二模·理）設(shè)，則是的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件2.B3.（2018昌平二模·理）2011年7月執(zhí)行的中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法規(guī)定：公民全月工資、薪金所得不超過3500元的部分不必納稅，超過3500元的部分為全月應(yīng)納稅所得額此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：全月應(yīng)納稅所得額（含稅級(jí)距）稅率(%)不超過1500元3超過1500元至4500元的部分10超過4500元至9000元的部分20某調(diào)研機(jī)構(gòu)數(shù)據(jù)顯示，納稅人希望將個(gè)稅免

2、征額從3500元上調(diào)至7000元若個(gè)稅免征額上調(diào)至7000元（其它不變），某人當(dāng)月少交納此項(xiàng)稅款332元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于A50006000元 B60008000元 C80009000元 D900016000元3. C4.（2018朝陽二模·理）已知函數(shù)則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C.充分必要條件 D既不充分也不必要條件4.A5.若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且滿足,則稱成一個(gè)“等差數(shù)列”.已知集合,則由中的三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中,“等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為（A）（B）（C）（D）5.B6.（2018東城二模·理

3、）已知函數(shù)，若存在，使得，則a的取值 范圍是（A） （B） （C） （D）6.A7下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（A）（B）（C）（D）7.D8函數(shù)則“”是“，使”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件8. A9在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，定義變換：將點(diǎn)變換為點(diǎn)，使得 其中這樣變換就將坐標(biāo)系內(nèi)的曲線變換為坐標(biāo)系內(nèi)的曲線則四個(gè)函數(shù)，在坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，變換為坐標(biāo)系內(nèi)的四條曲線（如圖）依次是（A），（B），（C），（D）， 9. A10.（2018房山二模·理）已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且周期為4，若，則（ ）（A） （B）

4、（C） （D）10.C11.（2018房山二模·理）定義：若存在常數(shù)，使得對(duì)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)，均有成立，則稱函數(shù)在定義域上滿足利普希茨條件.若函數(shù)滿足利普希茨條件，則常數(shù)的最小值為 （A） （B） （C） （D） 11.D12.（2018豐臺(tái)二模·理）設(shè)下列函數(shù)的定義域?yàn)?，則值域?yàn)榈暮瘮?shù)是(A) (B) (C) (D) 12. D13.（2018海淀二模·理）已知，則（A）（B）（C）（D）13.D14.（2018順義二模·理）若，則的大小關(guān)系為A B. C. D.14.C15（2018順義二模·理）已知點(diǎn)若曲線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則稱

5、為“正三角形”曲線給定下列三條曲線：；其中，“正三角形”曲線的個(gè)數(shù)是ABCD15. C16.（2018順義二模·理）已知是集合的非空子集，且當(dāng)時(shí)，有.記滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為，則_；_.16. 3，17.（2018豐臺(tái)二模·理）甲乙兩地相距km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不能超過km/h已知汽車每小時(shí)運(yùn)輸成本為元，則全程運(yùn)輸成本與速度的函數(shù)關(guān)系是 ，當(dāng)汽車的行駛速度為 km/h時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小17.；18.（2018房山二模·理）能夠說明“恒成立”是假命題的一個(gè)的值為_.18.019.（2018房山二模·理）已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，不等式的解集為_；若函

6、數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.19.； 20.（2018東城二模·理）某種物質(zhì)在時(shí)刻t (min)的濃度M (mg/L)與t的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)）.在t = 0 min 和t = 1 min測(cè)得該物質(zhì)的濃度分別為124 mg/L和64 mg/L，那么在t = 4 min時(shí)，該物質(zhì)的濃度為_ mg/L；若該物質(zhì)的濃度小于24.001 mg/L，則最小的整數(shù)t的值為_.（參考數(shù)據(jù)：）20.26.56； 1321.（2018昌平二模·理）已知函數(shù) 當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ； 若函數(shù)的最大值為1，則 21.； 22.（2018房山二模

7、3;理）（本小題分）設(shè)函數(shù)，（為常數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.（）求的值；（）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（） ,因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸平行 所以,所以 5分（），定義域?yàn)榱畹茫?dāng)變化時(shí)，和的變化如下表10 0由上表可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為。 . 10分（）若對(duì)任意成立，則即，解得 . 13分23.（2018順義二模·理）（本小題滿分13分） 已知函數(shù),其中.（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若不等式在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（）當(dāng)時(shí)，-2分則，又-4分曲線在點(diǎn)處的切線方程為：-5分（）函數(shù)定義域?yàn)?，?

8、6分下面對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足條件-7分當(dāng)時(shí)，由解得，從而知函數(shù)在內(nèi)遞增；同理函數(shù)在內(nèi)遞減， -9分因此在處取得最小值 -10分 ，解得-12分綜上：當(dāng)時(shí)，不等式在定義域內(nèi)恒成立.-13分24.（2018海淀二模·理）（本小題共13分）已知函數(shù)（）（）求的極值；（）當(dāng)時(shí)，設(shè).求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.（本小題共13分）解：（）法一：，1分令，得2分 當(dāng)時(shí)，與符號(hào)相同， 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：極小4分 當(dāng)時(shí)，與符號(hào)相反， 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：極小6分綜上，在處取得極小值.7分法二：，1分令，得2分令，則，3分易知，故是上的增函數(shù)，即是上的增函數(shù)4

9、分 所以，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：極小6分因此，在處取得極小值.7分（），8分故9分 注意到， 所以，使得 因此，曲線在點(diǎn)，處的切線斜率均為. 11分下面，只需證明曲線在點(diǎn)，處的切線不重合.法一：曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為，即假設(shè)曲線在點(diǎn)（）處的切線重合，則12分法二：假設(shè)曲線在點(diǎn)(，)處的切線重合，則，整理得：12分 法一：由，得，則 因?yàn)?，故由可得而，于是有，矛盾！法二：令，則，且.由（）知，當(dāng)時(shí)，故所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是有，矛盾！因此，曲線在點(diǎn)()處的切線不重合13分25.（2018豐臺(tái)二模·理）（本小題共13分）已知函數(shù)，（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（）求證：有且僅有一

10、個(gè)零點(diǎn)25.（本小題共13分）（）解：依題意 . 2分令 ， 則 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以 ，即 ， 4分所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，沒有單調(diào)遞增區(qū)間 5分（）證明：由（）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，當(dāng) 時(shí)，在上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 7分當(dāng) ，即時(shí)，即 ，在上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 9分當(dāng) 時(shí)，所以存在，使得 10分，的變化情況如下表：+0-極大值所以 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減11分因?yàn)?，且，所以 ，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)12分綜上所述，有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 13分26.（2018昌平二模·理）（本小題13分）已知函數(shù),（I）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a

11、的值；(II) 證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)為，且（共13分）解：（I）因?yàn)?，得，所以因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即 -5分(II) 設(shè)，則因?yàn)?，所以?又因?yàn)樗?，故在上為增函數(shù)又因，由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一的，有當(dāng)時(shí)，即在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即在上為增函數(shù)，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn) -13分27.（2018朝陽二模·理）已知函數(shù)（）（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).27.【解析】 （）因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為.所以,.由得.（）當(dāng)時(shí),令得或. 當(dāng)即時(shí),當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:極大值極小值所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.又

12、因?yàn)?所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng),即時(shí),當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng),即時(shí),當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:極大值極小值所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.又因?yàn)?.所以當(dāng)時(shí),此時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),此時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),此時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)即時(shí),顯然函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述,（1）時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);（2）時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（3）時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).28.（2018東城二模·理）（本小題14分）已知函數(shù)，.（I）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（II）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（共14分）解：（I）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，的變化如下表極大值極小值極大值所以的單調(diào)增區(qū)間為，；的單調(diào)減區(qū)間為，.5分（II）任取.，所以是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋栽谏嫌?個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上有0個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，得.由可知存在唯一使得.所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.因?yàn)椋?當(dāng)，即時(shí)，在上有0個(gè)零點(diǎn).由是偶函數(shù)知在上有0個(gè)零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn).由是偶函數(shù)知在上有2個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn). 14分29.（2018西城二模·理）（本小題滿分13分）