研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題及答案

1、2007年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是 （A） （B） （C） （D） （2）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是： （A） (B) （C） （D） （4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （B）若存在，則 （D）若存在，則. （5）曲線的漸

2、近線的條數(shù)為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. （7）二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的一個(gè)充要條件是（A）.（B）.（C）.（D）.（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（A） （B）（C） （D）（9）設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是線性相關(guān)，則(A) (B) (C) .(D) . （10）設(shè)矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空題：1116小題，每小

3、題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） _.（12）曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_.（13）設(shè)函數(shù)，則_.（14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為_.（15） 設(shè)是二元可微函數(shù)，則 _.（16）設(shè)矩陣，則的秩為 . 三、解答題：1724小題，共86分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（17） (本題滿分10分)設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.（18）（本題滿分11分） 設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無(wú)界區(qū)域. （）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積； （）當(dāng)為何值時(shí)，最??？并求此最小值.（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解（20）

4、（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設(shè)，求.（21） (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在，使得.（22） (本題滿分11分) 設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算二重積分，其中.（23） (本題滿分11分) 設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.答案：1.【分析】本題為等價(jià)無(wú)窮小的判定，利用定義或等價(jià)無(wú)窮小代換即可.【詳解】當(dāng)時(shí)， 故用排除法可得正確選項(xiàng)為（B）. 事實(shí)上， 或.所以應(yīng)選（B）【評(píng)注】本題為關(guān)于無(wú)窮小量比較的基本題型，利用等價(jià)無(wú)窮小代換可簡(jiǎn)化計(jì)算. 2【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為初等函數(shù)，則先找出函數(shù)的無(wú)定義點(diǎn)，再根據(jù)左右極限

5、判斷間斷點(diǎn)的類型.【詳解】函數(shù)在均無(wú)意義， 而； ； . 所以為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選（A）.【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型. 對(duì)初等函數(shù)來(lái)講，無(wú)定義點(diǎn)即為間斷點(diǎn)，然后再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型；對(duì)分段函數(shù)來(lái)講，每一分段支中的無(wú)定義點(diǎn)為間斷點(diǎn)，而分段點(diǎn)也可能為間斷點(diǎn)，然后求左右極限進(jìn)行判斷.段函數(shù)的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義，可得 ， . 所以 ，故選（C）.【評(píng)注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡(jiǎn)便.4【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系. 由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡(jiǎn)便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進(jìn)行判斷，然后選擇正確選項(xiàng).

6、【詳解】取，則，但在不可導(dǎo)，故選（D）. 事實(shí)上， 在(A),(B)兩項(xiàng)中，因?yàn)榉帜傅臉O限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.在（C）中，存在，則，所以(C)項(xiàng)正確，故選(D)【評(píng)注】對(duì)于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 5【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】， 所以 是曲線的水平漸近線； ，所以是曲線的垂直漸近線； ， ，所以是曲線的斜漸近線. 故選（D）.【評(píng)注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時(shí)，斜漸近

7、線不存在. 本題要注意當(dāng)時(shí)的極限不同.6【分析】本題依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷數(shù)列. 由于含有抽象函數(shù)，利用賦值法舉反例更易得出結(jié)果.【詳解】選（D）. 取，而發(fā)散，則可排除（A）；取，而收斂，則可排除（B）；取，而發(fā)散，則可排除（C）； 故選（D）.事實(shí)上，若，則. 對(duì)任意，因?yàn)?，所以?對(duì)任意，. 故選（D）.【評(píng)注】對(duì)于含有抽象函數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡(jiǎn)化計(jì)算.7.【分析】本題考查二元函數(shù)可微的充分條件. 利用可微的判定條件及可微與連續(xù)，偏導(dǎo)的關(guān)系.【詳解】本題也可用排除法，（A）是函數(shù)在連續(xù)的定義；（B）是函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)存在的條件；（D）說(shuō)明一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但不能推導(dǎo)出兩

8、個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)(0,0) 處連續(xù)，所以（A）（B）（D）均不能保證在點(diǎn)處可微. 故應(yīng)選（C）. 事實(shí)上， 由可得 ，即同理有從而 = .根據(jù)可微的判定條件可知函數(shù)在點(diǎn)處可微，故應(yīng)選(C). 【評(píng)注】二元函數(shù)連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)存在均不能推出可微，只有當(dāng)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，才可微.8,【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設(shè)可知，則， 故應(yīng)選（B）.【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型. 畫圖更易看出.9.【分析】本題考查由線性無(wú)關(guān)的向量組構(gòu)造的另一向量組的線性相關(guān)性. 一般令，若，則線性相關(guān)；若，則線性無(wú)關(guān). 但考慮到本題備選項(xiàng)的特征，可通過(guò)簡(jiǎn)單的線性運(yùn)

9、算得到正確選項(xiàng).【詳解】由可知應(yīng)選（A）.或者因?yàn)?，而?所以線性相關(guān)，故選（A）.【評(píng)注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個(gè)矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項(xiàng).10.【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到實(shí)對(duì)稱矩陣必可經(jīng)正交變換使之相似于對(duì)角陣，便可得到答案. 【詳解】 由可得， 所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0. 所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以與合同，故選（B）.【評(píng)注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.

10、 所以通過(guò)計(jì)算與的特征值可立即排除（A）（C）.11【分析】本題為未定式極限的求解，利用洛必達(dá)法則即可.【詳解】.【評(píng)注】本題利用了洛必達(dá)法則. 本題還可用泰勒級(jí)數(shù)展開計(jì)算. 因?yàn)?， 所以 .12.【分析】本題考查參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)的切線斜率為，故曲線在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)的法線斜率為.【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.13.【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.【詳解】，則，故.【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.14.【分析】本題求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解，利用二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)求解，即先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，然后求出非齊

11、次微分方程的一個(gè)特解，則其通解為 .【詳解】對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 . 設(shè)原方程的特解為 ，代入原方程可得 ， 所以原方程的特解為， 故原方程的通解為 ，其中為任意常數(shù).【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.15【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可.【詳解】利用求導(dǎo)公式可得， 所以.【評(píng)注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，最好設(shè)出中間變量，注意計(jì)算的正確性.16【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評(píng)注】本題考查矩陣的運(yùn)算和秩，為基礎(chǔ)題型.17【分析】對(duì)含變上限積分的函數(shù)方程，一般先對(duì)x求導(dǎo)，再積分即可.【詳解】 兩邊對(duì)求導(dǎo)得，（）兩邊積分得. （1）將代入題

12、中方程可得 .因?yàn)槭菂^(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，則的值域?yàn)?，單調(diào)非負(fù)，所以. 代入（1）式可得，故.【評(píng)注】利用變限積分的可導(dǎo)性是解函數(shù)方程的方法之一.18.【分析】V(a)的可通過(guò)廣義積分進(jìn)行計(jì)算，再按一般方法求V(a) 的最值即可【詳解】（）.（）令，得. 當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少. 所以在取得極大值，即為最大值，且最大值為.【評(píng)注】本題為定積分幾何應(yīng)用的典型問(wèn)題，需記憶相關(guān)公式，如平面圖形的面積，繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)體的體積公式等.19.【分析】本題為不含的可降階方程，令，然后求解方程.【詳解】本題不含，則設(shè)，于是，原方程變?yōu)?， 則 ，解之得，將代入左式得 ， 于是 ，結(jié)合得， 故 .【

13、評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.20.【分析】本題實(shí)質(zhì)上是二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，注意需用隱函數(shù)求導(dǎo)法確定.【詳解】令，則. 兩邊對(duì)求導(dǎo)得 ，又，可得 在兩邊對(duì)求導(dǎo)得 . 所以 . 【評(píng)注】也可利用兩邊對(duì)求導(dǎo)得可得. 21【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且.（1）若在內(nèi)同一點(diǎn)取得最大值，則， 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 存在，使得，即.（2）若在內(nèi)不同點(diǎn)取得最大值，則，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 ，存在，使得，即.【評(píng)注】對(duì)命題為

14、的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗(yàn)證為的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證； 方法二：驗(yàn)證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件. 22.【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸均對(duì)稱，所以利用二重積分的對(duì)稱性結(jié)論簡(jiǎn)化所求積分.【詳解】因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于軸均對(duì)稱，所以 ，其中為在第一象限內(nèi)的部分. 而 . 所以 .【評(píng)注】被積函數(shù)包含時(shí), 可考慮用極坐標(biāo)，解答如下：.23【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數(shù)矩陣.顯然，當(dāng)時(shí)無(wú)公共解.當(dāng)時(shí)，可求得公共解為 ,為任意常數(shù)；當(dāng)時(shí)，可求得公共解為 .【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu).（24） (本題滿分11分)設(shè)三階對(duì)稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個(gè)特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（II）求矩陣. 【分析】本題考查實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì). 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設(shè)的屬于1的特征向量為，顯然為