空間幾何體的表面積和體積例題學(xué)生講義

1、空間幾何體的表面積和體積一課標(biāo)要求：了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。二命題走向近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測(cè)2016年高考有以下特色：（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式

2、；（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；三要點(diǎn)精講1多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺(tái) (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。2旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2

3、r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，R表示半徑。四典例解析題型1：柱體的體積和表面積例1一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).例2如圖1所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分線上；（2）求這個(gè)平行六面體的體積。圖1 圖2題型2：柱體的表面積

4、、體積綜合問(wèn)題例3一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（ ）A2 B3 C6 D例4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _ _。PABCDOE題型3：錐體的體積和表面積（2015湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為A. B. C. D. 例6（2015北京，19）（本小題滿分12分）ABCMPD如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，（）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；（）求四棱錐的體積ABCMPDO題型4：錐體體積、表面積綜合問(wèn)題

5、例7ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離？例8（2015江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）AS1<S2 BS1>S2CS1=S2 DS1，S2的大小關(guān)系不能確定題型5：棱臺(tái)的體積、面積及其綜合問(wèn)題例9（2015四川理，19）（本小題滿分12分）如圖，面ABEF面ABCD，四邊形ABEF與四邊

6、形ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90°，BCAD，BEAF，G、H分別是FA、FD的中點(diǎn)。()證明：四邊形BCHG是平行四邊形；()C、D、E、F四點(diǎn)是否共面？為什么？()設(shè)AB=BE，證明：平面ADE平面CDE.GHFEDCBA例10（1）（2015四川理，8）設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過(guò)作垂線于的面截球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為：( )（）（）（）（）例11（2015四川文，12）若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于( )（） （） （） （）例12如圖99，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若

7、放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問(wèn)題圖例13已知過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。例14如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。題型9：球的面積、體積綜合問(wèn)題例15（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。（2）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積。題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問(wèn)題例19（1）我國(guó)首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？

8、（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。例16在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。31、已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng).32、一塊邊長(zhǎng)為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,試建立容器的容積與的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域. (12分)33.已知兩個(gè)幾何體的三視圖如下，試求它們的表面積和體積。單位：CM圖（2圖（1）34.養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的

9、底面直徑為12M，高4M。養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽?，F(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大4M（高不變）；二是高度增加4M(底面直徑不變)。（1） 分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；（2） 分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；（3） 哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？35 （14分） （如圖）在底半徑為，母線長(zhǎng)為的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的表面積.36.(2015年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AEDE.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面積五思維總結(jié)1正四面體的

10、性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)正四面體的(1)全面積：S全=a2；(2)體積：V=a3；(3)對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng)：d=a；(4)內(nèi)切球半徑：r=a；(5)外接球半徑 R=a；(6)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。2直角四面體的性質(zhì) 有一個(gè)三面角的各個(gè)面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面 體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，AOB=BOC=COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。則：不含直角的底面ABC是銳角三角形；直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是ABC的垂心；體積 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHC·SABC

11、；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半徑 R=；內(nèi)切球半徑 r=3圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.如圖，圓錐的頂角為，母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sin=cos = ，+=90° cos=sin = .圓臺(tái) 如圖，圓臺(tái)母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，上、下底面半徑分別為r 、r，則h=lsin，r-r=lcos。球的截面用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.(1)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓；(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：r=.4經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓