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文檔簡介
1、平面向量題型總結(jié)(2015版)題型一:定義判斷1向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示,注意不能說向量就是有向線段,為什么?(向量可以平移)。2零向量:長度為0的向量叫零向量,記作:,注意零向量的方向是任意的;3單位向量:長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是);4相等向量:長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性;5平行向量(也叫共線向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,記作:,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒:相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等;兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量
2、平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合;平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?;三點共線共線;6 相反向量:長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。向量的表示方法:1幾何表示法:用帶箭頭的有向線段表示,如,注意起點在前,終點在后;2符號表示法:用一個小寫的英文字母來表示,如,等;3坐標表示法:在平面內(nèi)建立直角坐標系,以與軸、軸方向相同的兩個單位向量,為基底,則平面內(nèi)的任一向量可表示為,稱為向量的坐標,叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點,那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。例1.平面向量共線的充要條件是( )A.方向相 同 B. 兩向量中至少有一個為零向量 C.存在 D存
3、在不全為零的實數(shù)例2.下列命題正確的是( )A、若,且,則。B、兩個有共同起點且相等的向量,其終點可能不同。C、向量的長度與向量的長度相等 。 D、若非零向量與是共線向量,則A、B、C、D四點共線。例3.給出下面四個命題:對于任意向量a、b,都有|a·b|a·b成立;對于任意向量a、b,若a2=b2,則a=b或a= -b;對于任意向量a、b、c,都有a·(b·c)=(b·c)·a成立;對于任意向量a、b、c,都有a·(b·c)=(b·a)·c成立.其中錯誤的命題共有 .例4.給出下列命題:若a2
4、+b2=0,則a=b=0;已知AB,則已知a,b,c是三個非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c|已知,e1,e2是一組基底,a=1e1+2e2則a與e1不共線,a與e2也不共線;其中正確命題的序號是 .例5如果e1、 e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么在下列各說法中錯誤的有( )e1e2(, R)可以表示平面內(nèi)的所有向量;對于平面中的任一向量a,使a=e1e2的, 有無數(shù)多對;若向量1e1+1e2與2e1+2e2共線,則有且只有一個實數(shù)k,使2e1+2e2=k(1e1+1e2);若實數(shù), 使e1e2=0,則=0.A. B C D僅真題:(2014北京東城區(qū)統(tǒng)一檢測
5、)若a,b是兩個非零向量,則|a+b|a-b|是的 條件(2013年高考廣東卷(文)設是已知的平面向量且,關(guān)于向量的分解,有如下四個命題:給定向量,總存在向量,使;給定向量和,總存在實數(shù)和,使;給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實數(shù),使;給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使;上述命題中的向量,和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是()A1B2C3D4(15北京文科)設,是非零向量,“”是“”的( )A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件(15年安徽文科)是邊長為2的等邊三角形,已知向量滿足,則下列結(jié)論中正確的是 。(寫出所有正確結(jié)論得序號)為單
6、位向量;為單位向量;(15年陜西理科)對任意向量,下列關(guān)系式中不恒成立的是( )A B C D題型二:平面向量基本定理及基底的相關(guān)應用平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)、,使a=e1e2向量中一些常用的結(jié)論:(1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運用;(2),特別地,當同向或有;當反向或有;當不共線(這些和實數(shù)比較類似).(3)向量中三終點共線存在實數(shù)使得且ABNMDC例6.如圖,ABCD是一個梯形, M、N分別是的中點,已知a,b,試用a、b表示和例7.在OAB中,延長BA到C,使ACBA,在OB上取點
7、D,使DBOB.DC與OA交于E,設a,b,用a,b表示向量,.例8.已知在ABC中,點E為AC的中點,CD與BE交于點F,試用與表示.例9.在平行四邊形中,M, N分別為,的中點,已知,試用表示。例10.在三角形ABC中,點D在邊AB上,CD平分角ACB,,,則( )A. B. C. D. 三點共線定理的應用:例11.在平行四邊形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,DE與AF交于點H,設則A. B. C. D. 例12.在ABC中, AB.CD1例13.若A,B,C是直線l上不同的三個點,若O不在l上,存在實數(shù)x使得x2x0,實數(shù)x為( )A1 B0 C. D.例14.在平行四邊形AB
8、CD中,AC與BD交于O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,若a,b,則等于( )A.ab B.ab C.ab D.ab例15.在中,N是AC邊上的一點,且,P是BN上的一點,若,則實數(shù)m的值為 .例16.已知是的外心,若,則的值為( )A2 B C D例17.若向量,現(xiàn)用a、b表示c,則c= .真題:(湖南六校聯(lián)考2014)設i、j是平面直角坐標系(坐標原點為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量,且2ij,4i3j,則OAB的面積等于_(2015洛陽市統(tǒng)考)已知直角坐標系內(nèi)的兩個向量使平面內(nèi)的任意一個c都可以唯一的表示成,則m的取值范圍是 .題型三:向量的幾何運算及三
9、角形的四心向量加法:利用“平行四邊形法則”進行,但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法則”:設,那么向量叫做與的和,即;向量的減法:用“三角形法則”:設,由減向量的終點指向被減向量的終點。注意:此處減向量與被減向量的起點相同。在中:若,則其重心的坐標為為的重心,特別地為的重心;為的垂心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線);的內(nèi)心;例18.若正方形的邊長為1,則_例19.若O是所在平面內(nèi)一點,且滿足,則的形狀為_內(nèi)心例20.O是ABC所在平面內(nèi)一定點,動點P滿足,則點P的軌跡一定通過ABC的( ) A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 例21.
10、已知非零向量與滿足,且,則ABC為( )A. 等邊三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形重心例22.O是ABC內(nèi)一點,則為ABC的( )A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 垂心例23.是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足則點P的軌跡一定通過ABC的( )A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 外心例24.已知點O,N,P在ABC所在平面內(nèi),且,則O,N,P依次是ABC的( )A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、內(nèi)心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 內(nèi)心題型四:平面向量坐標運算及共線問題設,則:向量的加減法
11、運算:,。實數(shù)與向量的積:。若,則,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。平面向量數(shù)量積:。如:向量的模:。如兩點間的距離:若,則向量的運算律:1交換律:,;2結(jié)合律:,;3分配律:,。例25.設,且,則C、D的坐標分別是_例26.與向量 =(12,5)平行的單位向量為 例27.已知,求證:三點共線。例28.設,求證:三點共線真題:(2013年高考遼寧卷(文)已知點 (2014滁州市統(tǒng)考)已知向量(sinx,cosx), (sinx,sinx), (1,0)。(1)若x,求向量、的夾角;(2)若x,函數(shù)的最大值為,求的值。題型五:求參量的值向量數(shù)量積的性質(zhì):設兩個非
12、零向量,其夾角為,則:;當,同向時,特別地,;當與反向時,;當為銳角時,0,且不同向,是為銳角的必要非充分條件;當為鈍角時,0,且不反向,是為鈍角的必要非充分條件;非零向量,夾角的計算公式:;。提醒:(1) 向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別:對于一個向量等式,可以移項,兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù),兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量,切記兩向量不能相除(相約);(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即,為什么?向量平行(共線)的充要條件:0。向量垂直的充要條件: .例29.已知向量a(,1),b(0,1),c(k,)若a2b與c共線,則k_.例
13、30.已知向量a(1,2),b(1,0),c(3,4)若為實數(shù),(ab)c,則_.例31.已知a與b為兩個不共線的單位向量,k為實數(shù),若向量ab與向量kab垂直,則k_.例32.已知e1,e2是夾角為的兩個單位向量,ae12e2,bke1e2, 若a·b0,則實數(shù)k的值為_真題:(15年福建文科)設,若,則實數(shù)的值等于( )A B C D(15年新課標2理科)設向量,不平行,向量與平行,則實數(shù)_題型六:模的相關(guān)運算例33.設向量a,b滿足|a|b|1,a·b,則|a2b|_例34.已知單位向量e1,e2的夾角為60°,則|2e1e2|_例35.向量且 ,則_例36
14、.已知向量夾角為 ,且;則例37:已知,則為_題型七:求坐標、夾角、數(shù)量積及投影在上的投影:為,即它是一個實數(shù),但不一定大于0。的幾何意義:數(shù)量積等于的模與在上的投影的積例38.設非零向量a、b、c滿足|a|b|c|,abc,則a與b的夾角為_例39.已知向量a,b滿足(a2b)·(ab)6,且|a|1,|b|2,則a與b的夾角為_例40.若向量a(1,2),b(1,1),則2ab與ab的夾角等于_例41.已知兩個單位向量e1,e2的夾角為,若向量b1e12e2,b23e14e2,則b1·b2_.例42.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為( )A.
15、 B. C. D.例43.設,若在方向上的投影為2,且在方向上的投影為1,則與的夾角等于( )A B C D例44.如圖所示,平行四邊形ABCD中,APBD,垂足為P,且AP=3,則=_例45.滿足則 例46.已知是非零向量且滿足則的夾角是例47.若向量不共線,則的夾角是例48.已知,的夾角為,求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍。例49.已知的夾角為 真題:(黃岡市二模)知非零向量滿足,向量的夾角為,且 (東北名校聯(lián)考)已知= (15年新課標2文科)已知,則( )A B C D(2015鄭州市一模)已知P是邊長為2的正ABC邊BC上的動點,則·()為( )A最大值為8 B最小值為2C
16、是定值6 D與P的位置有關(guān)題型八:向量的最值問題例50.已知兩向量,的夾角為銳角,則的范圍 例51.已知平面向量,且滿足,則的取值范圍 例52.已知向量,其中、均為非零向量,則的取值范圍是( )A. B. C. D.例53.在ABC中,D為BC邊中點,若A120°,·1,則|的最小值是( )A. B. C. D.例54.已知a、b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是 .例55.已知單位向量,且,的最大值為 .例56.已知直角梯形ABCD中,AD/BC, ,AD=2,BC=1,P是腰DC上的 動點,則的最小值為
17、.例57.已知平面上的向量、滿足,,設向量,則的最小值是 例58.在中,D為BC邊的中點,AD=1,點P在線段AD上,則的最小值_例59.在邊長為1的正三角形ABC中,的最大值為_真題:(2014·湖南卷)面直角坐標系中,O為原點,A(1,0),B(0,),C(3,0),動點D滿足|1,則|的最大值是_(15年天津理科)在等腰梯形 中,已知 ,動點 和 分別在線段 和 上,且, 則的最小值為 (2013年高考湖南(文)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為( )ABCD題型九:圖形類問題(向量相關(guān)的坐標解法)例60:在ABC中,
18、M是BC的中點,AM=3,BC=10,則=_.例61:在矩形中,點為的中點,點在邊上,若,則的值是_.例62.平面上有四個互異點A、B、C、D,已知(2)·()0,則ABC的形狀是_例63.如圖,一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E、F兩點,且交其對角線于K,其中,則的值為( )A. B. C. D.例64.在ABC中,C90°,且CACB3,點M滿足2,則·等于( )A2B3C4D6例65.在正三角形ABC中,D是BC上的點,AB3,BD1,則·_.例66.已知點o是邊長為1的等邊三角形ABC的中心,則等于_例67.在ABC中,AB
19、=2,AC=4,若點P為ABC的外心,則的值為_例68.已知:|1,|,·0,點C在AOB內(nèi),且AOC30°,設mn(m,nR),則_.真題:(2014·四川卷)已知F為拋物線y2x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),·2(其中O為坐標原點),則ABO與AFO面積之和的最小值是( )A2 B3 C. D.(15北京理科)在中,點,滿足,若,則;(15年福建理科)已知 ,若 點是 所在平面內(nèi)一點,且 ,則 的最大值等于( )A13 B15 C19 D21(15年天津文科)在等腰梯形ABCD中,已知, 點E和點F分別在線段BC和CD上,且 則的值為 (15年山東理科)已知菱形ABCD的邊長為,則( )(A) (B) (C) (D) 題型十:平面向量在函數(shù)及三角函數(shù)中的應用例69.在中,已知(1)求證:;(2)若求A的值例70.已知A,B,C的坐標分別為A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin ),.(1)若|,求角的值;(2)若·1,求的值例71.
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