《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第6章 §6.1,Hausdorff空間

1、第6章分離性公理§6.1,Hausdorff空間本節(jié)重點(diǎn):掌握空間的定義及它們之間的不同與聯(lián)系；掌握各空間的充要條件；熟記常見(jiàn)的各種空間.現(xiàn)在我們回到我們?cè)诘诙轮刑岢鰜?lái)的什么樣的拓?fù)淇臻g的拓?fù)淇梢杂伤哪骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出來(lái)這一問(wèn)題為了回答這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必要求我們對(duì)度量空間的拓?fù)湫再|(zhì)有充分的了解讀者將會(huì)發(fā)現(xiàn)，本章中所提到的諸分離性公理，實(shí)際上是模仿度量空間的拓?fù)湫再|(zhì)逐步建立起來(lái)的對(duì)諸分離性的充分研究使我們?cè)?#167;6.5中能夠?qū)τ谇笆鰡?wèn)題作一個(gè)比較深刻的（雖然不是完全的）回答定義6.1.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開(kāi)鄰域不包含另一個(gè)點(diǎn)（即如果x，

2、yX，xy,則或者x有一個(gè)開(kāi)鄰域U使得yU,或者y有一個(gè)開(kāi)鄰域V使得xV)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)空間拓?fù)淇臻g自然不必都是空間，例如包含著不少于兩個(gè)點(diǎn)的平庸空間就不是空間定理6.1.1拓?fù)淇臻gX是一個(gè)空間當(dāng)且僅當(dāng)X中任意兩個(gè)不同的單點(diǎn)集有不同的閉包（即如果x，yX，xy，則）證明充分性:設(shè)定理中的條件成立則對(duì)于任何x，yX，xy，由于，因此或者成立，或者成立當(dāng)前者成立時(shí)，必定有（因?yàn)榉駝t).這推出x有一個(gè)不包含y的開(kāi)鄰域同理，當(dāng)后者成立時(shí)，y有一個(gè)不包含x的開(kāi)鄰域這證明X是一個(gè)空間必要性:設(shè)X是一個(gè)空間若x，yX，xy，則或者x有一個(gè)開(kāi)鄰域U使得或者y有一個(gè)開(kāi)鄰域V使得若屬前一種情形，由于，若屬

3、后一種情形，同樣也有定義6.1.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)開(kāi)鄰域不包含另一個(gè)點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)空間空間當(dāng)然是空間但反之不然例如設(shè)X=0,1，T=,0,X,則T是X的一個(gè)拓?fù)洌⑶彝負(fù)淇臻g(X，T)是的但不是的（請(qǐng)讀者自己驗(yàn)證，）定理6.1.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，則以下條件等價(jià)：（1）X是一個(gè)空間；（2）X中每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集；（3）X中每一個(gè)有限子集都是閉集證明（1）蘊(yùn)涵（2）設(shè)xX當(dāng)X是一個(gè)空間時(shí)，對(duì)于任何yX，yx，點(diǎn)x有一個(gè)鄰域U使得，即.這證明單點(diǎn)集x是一個(gè)閉集（2）蘊(yùn)涵（3）這是顯然的.因?yàn)橛邢迋€(gè)閉集的并仍然是閉集.（3）蘊(yùn)涵（1）設(shè)x

4、,yX,xy,當(dāng)(3)成立時(shí)單點(diǎn)集x和y都是閉集從而分別是y和x的開(kāi)鄰域，前者不包含x，后者不包含y這就證明了X是一個(gè)空間.下面的兩個(gè)定理表明，空間中關(guān)于凝聚點(diǎn)和序列收斂的性質(zhì)和我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中熟知的多了一些類似之處定理6.1.3設(shè)X是一個(gè)空間則點(diǎn)xX是X的子集A的一個(gè)凝聚點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x的每一個(gè)鄰域U中都含有A中的無(wú)限多個(gè)點(diǎn),即UA是一個(gè)無(wú)限集證明定理充分性部分是明顯的以下證明必要性部分假設(shè)xX,xd(A)如果x有一個(gè)開(kāi)鄰域U使得UA是一個(gè)有限集，則集合B=UA-x也是一個(gè)有限集，因此是一個(gè)閉集因此UB是一個(gè)開(kāi)集，并且是x的一個(gè)鄰域此外易見(jiàn)(UB)(A-x)=.這蘊(yùn)含著x不是A的凝聚點(diǎn),與假設(shè)矛

5、盾定理6.1.4設(shè)X是一個(gè)空間則X中的一個(gè)由有限個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的序列（即集合|iZ+是一個(gè)有限集）收斂于點(diǎn)xX當(dāng)且僅當(dāng)存在N0使得=x對(duì)于任何iN成立證明由于X是一個(gè)空間，集合A|x,i=1,2是一個(gè)有限集，所以是一個(gè)閉集從而是x的一個(gè)開(kāi)鄰域于是存在N0使得當(dāng)iN有，因而=x.定義6.1.3設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X中任何兩個(gè)不相同的點(diǎn)各自有一個(gè)開(kāi)鄰域使得這兩個(gè)開(kāi)鄰域互不相交（即如果x，yX，xy，則點(diǎn)x有一個(gè)開(kāi)鄰域U，點(diǎn)y有一個(gè)開(kāi)鄰域V，使得UV=），則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)Hausdorff空間，或空間hausdorff空間一定是空間，但反之不然例6.1.1非Hausdorff的空間的例子設(shè)X是一個(gè)包含著無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的有限補(bǔ)空間由于X中的每一個(gè)有限子集都是閉集，因此它是一個(gè)空間然而在拓?fù)淇臻gX中任何兩個(gè)非空的開(kāi)集一定會(huì)有非空的交這是因?yàn)閄中每一個(gè)非空開(kāi)集都是X中的有限子集的補(bǔ)集，而X又是一個(gè)無(wú)限集的緣故由此易見(jiàn)X必然不是一個(gè)空間定理6.1.5Hausdorff空間中的任何一個(gè)收斂序列只有一個(gè)極限點(diǎn)證明設(shè)是Hausdorff空間X中的一個(gè)序列，并且有于是對(duì)于j1，2，點(diǎn)有一個(gè)開(kāi)鄰域，使得故存在O使得當(dāng)i時(shí)有任意選取Mmax可見(jiàn)，這是一個(gè)矛盾但在空間中定理6.1.5卻可以不成立例如設(shè)拓?fù)淇臻gX如例6.1.1中所述，是X中的任何一個(gè)由兩兩不同的點(diǎn)構(gòu)成