高等代數(shù)教（學(xué)）案第四章線性方程組

1、 第四章 線性方程組一 綜述線性方程組是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一.本章完滿解決了關(guān)于線性方程組的三方面的問(wèn)題,即何時(shí)有解、有解時(shí)如何求解、有解時(shí)解的個(gè)數(shù),這在理論上是完美的.作為本章的核心問(wèn)題是線性方程組有解判定定理（相容性定理）,為解決這個(gè)問(wèn)題,從中學(xué)熟知的消元法入手,分析了解線性方程組的過(guò)程的實(shí)質(zhì)是利用同解變換,即將方程的增廣矩陣作行變換和列的換法變換化為階梯形（相應(yīng)得同解方程組）,由此相應(yīng)的簡(jiǎn)化形式可得出有無(wú)解及求其解.為表述由此得到的結(jié)果,引入了矩陣的秩的概念,用它來(lái)表述相容性定理.其中實(shí)質(zhì)上也看到了一般線性方程組有解時(shí),也可用克萊姆法則來(lái)求解（由此得所謂的公式解用原方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)

2、表示解）.內(nèi)容緊湊,方法具體.其中矩陣的秩的概念及求法也比較重要,也體現(xiàn)了線性代數(shù)的重要思想（標(biāo)準(zhǔn)化方法）.線性方程組內(nèi)容的處理方式很多,由于有至少五種表示形式,其中重要的是矩陣形式和線性形式,因而解線性方程組的問(wèn)題與矩陣及所謂線性相關(guān)性關(guān)系密切；本教材用前者（矩陣）的有關(guān)問(wèn)題討論了有解判定定理,用后者討論了（有無(wú)窮解時(shí)）解的結(jié)構(gòu).實(shí)際上線性相關(guān)性問(wèn)題是線性代數(shù)非常重要的問(wèn)題,在以后各章都與此有關(guān).另外,從教材內(nèi)容處理上來(lái)講,不如先講矩陣及線性相關(guān)性,這樣關(guān)于線性方程組的四個(gè)問(wèn)題便可同時(shí)討論.二 要求掌握消元法、矩陣的初等變換、秩、線性方程組有解判定定理、齊次線性方程組的有關(guān)理論.重點(diǎn)：線性方

3、程組有解判別法,矩陣的秩的概念及求法.4.1 消元法一 教學(xué)思考本節(jié)通過(guò)具體例子分析解線性方程組的方法消元法,實(shí)質(zhì)是作方程組的允許變換（同解變換）化為標(biāo)準(zhǔn)形,由此得有無(wú)解及有解時(shí)的所有解.其理論基礎(chǔ)是線性方程組的允許變換（換法、倍法、消法）是方程組的同解變換.而從形式上看,施行變換的過(guò)程僅有方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)參與,因而可用矩陣（線性方程組的增廣矩陣）表述,也就是對(duì)（增廣）矩陣作矩陣的行（或列換法）初等變換化為階梯形,進(jìn)而化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形,其體現(xiàn)了線性代數(shù)的一種重要的思想方法標(biāo)準(zhǔn)化的方法.二 內(nèi)容要求主要分析消元法解線性方程組的過(guò)程與實(shí)質(zhì),以及由同解方程組討論解的情況（存在性與個(gè)數(shù)）,為下節(jié)作準(zhǔn)

4、備,同時(shí)指出引入矩陣的有關(guān)問(wèn)題（初等變換等）的必要性,矩陣的初等變換和方程組的同解變換間的關(guān)系.三 教學(xué)過(guò)程1引例：解方程組 （1）定義：我們把上述三種變換叫做方程組的初等變換,且依次叫換法變換、倍法變換、消法變換.2消元法的理論依據(jù)TH4.1.1初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組（即線性方程組的初等變換是同解變換.）3轉(zhuǎn)引在上面的討論中,我們看到在對(duì)方程組作初等變換時(shí),只是對(duì)方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了運(yùn)算,而未知數(shù)沒(méi)有參加運(yùn)算,也就是說(shuō)線性方程組有沒(méi)有解以及有什么樣的解完全決定于它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),因此在討論線性方程組時(shí),主要是研究它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).因而消元法的過(guò)程即用初等變換把

5、方程組化為階梯形方程組,來(lái)解決求解問(wèn)題,此可轉(zhuǎn)用另一種形式表述.為此引入：4矩陣及其初等變換1）概念定義1 由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)行列（數(shù)）表叫做一個(gè)行列（或）矩陣.叫做這個(gè)矩陣的元素；常用大寫字母A、B等表示矩陣,有時(shí)為明確矩陣記為或.定義補(bǔ) 由線性方程組的系數(shù)作成的矩陣叫做線性方程組的系數(shù)矩陣,用A表示；由它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)作成的矩陣叫做線性方程組的增廣矩陣,用表示.2）矩陣的初等變換定義2 矩陣的（列）初等變換指的是對(duì)一個(gè)矩陣作下列變換（1）交換矩陣的兩行（列）； （換法變換）（2）用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（倍法變換）（3）用一個(gè)數(shù)乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法變換）3）

6、線性方程組的同解變換與矩陣的初等變換的關(guān)系顯然,對(duì)一個(gè)線性方程組施行的同解變換即一個(gè)方程組的初等變換,相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行對(duì)應(yīng)的行初等變換；而化簡(jiǎn)線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣.因此將要通過(guò)化簡(jiǎn)矩陣來(lái)討論化簡(jiǎn)方程組的問(wèn)題,這樣做不僅討論起來(lái)方便,而且能夠給予我們一種方法,就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)線性方程組,而不必每次把未知量寫出（我國(guó)古代數(shù)學(xué)書九章算術(shù)（三世紀(jì)）中就是用這種方法解線性方程組的,成為算籌.）下面的問(wèn)題是,化簡(jiǎn)到什么形式、什么程度,理論上將給予解決.4）矩陣經(jīng)初等變換（行、列）化為階梯形矩陣TH4.1.2設(shè)A是一個(gè)行列矩陣：,則A可經(jīng)過(guò)一系列行初等變換和

7、第一種列初等變換化為如下形式：；進(jìn)而化為以下形式：.其中表示不同的元素.5）用矩陣的初等變換解線性方程組對(duì)線性方程組： （1）由定理1其系數(shù)矩陣可經(jīng)過(guò)行初等變換和列換法變換化為；則對(duì)其增廣矩陣作同樣的初等變換可化為,從而方程組（1）與所對(duì)應(yīng)的方程組（2）在某種意義上同解（此是的一個(gè)重新排序）.下面討論（2）的解的情況：情形1：當(dāng)且不全為零時(shí),因有矛盾式（2）無(wú)解,故（1）無(wú)解.情形2：當(dāng)或且時(shí),（2）直觀上無(wú)矛盾式,且與（3） 同解.當(dāng)時(shí),（3）即為有唯一解；當(dāng)時(shí),（3）即為,于是任給一組值,可得（3）的一個(gè)解：,這也是（1）的解,由的任意性（1）有無(wú)窮多解.例1 解線性方程組.解：對(duì)增廣矩陣

8、作行初等變換：所原方程組與方程組同解,故原方程組的一般解為.4.2 矩陣的秩 線性方程組可解判別法一 教學(xué)思考 1本節(jié)在上節(jié)消元法對(duì)線性方程組的解的討論的基礎(chǔ)上,引入了矩陣的秩的概念,以此來(lái)表述有解判定定理,在有解時(shí)從系數(shù)矩陣的秩與未知數(shù)的個(gè)數(shù)間的關(guān)系可討論解的個(gè)數(shù),其中在有無(wú)數(shù)解時(shí)引入了一般解與通解的概念.2矩陣的秩的概念是一個(gè)重要的概念,學(xué)生易出問(wèn)題.定義的表述不易理解,應(yīng)指出秩是一個(gè)數(shù)（非負(fù)整數(shù)）,其含義是至少有一個(gè)階非零子式,所有大于階（若有時(shí)）子式全為0.重要的是“秩”的性質(zhì)初等變換下不變,提供了求秩的另一方法初等變換法.3本節(jié)內(nèi)容與上一節(jié)和下一節(jié)互有聯(lián)系,結(jié)論具體,方法規(guī)范,注意引

9、導(dǎo)總結(jié)歸納.二 內(nèi)容要求1 內(nèi)容：矩陣的秩、線性方程組可解判定定理2 要求：掌握矩陣的秩的概念、求法及線性方程組求解判定定理二 教學(xué)過(guò)程1矩陣的秩（1）定義 1）在矩陣中,任取行列（）位于這些行列交點(diǎn)處的元素構(gòu)成的階行列式叫作矩陣的一個(gè)階子式. 2）矩陣中,不等于零的子式的最大階數(shù)叫做矩陣的秩；若沒(méi)有不等于零的子式,認(rèn)為其秩為零.的秩記為秩（）或.2矩陣的秩的初等變換不變性TH4.2.1矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.3一般線性方程組解的理論對(duì)線性方程組： （1）由上節(jié)知,對(duì)（1）的系數(shù)矩陣可經(jīng)過(guò)行初等變換和列換法變換化為；則對(duì)其增廣矩陣作同樣的初等變換可化為.則（1）與相應(yīng)的方程組同解；由上節(jié)

10、討論知：當(dāng)或且時(shí),即時(shí)（1）有解；當(dāng)且不全為零時(shí),即時(shí),（1）無(wú)解.總之：（1）有解,且在（1）有解時(shí)：當(dāng),即時(shí)有唯一解；當(dāng),即時(shí)有無(wú)窮解.此即 TH4.2.2-3線性方程組（1）有解；當(dāng),即時(shí)有唯一解；當(dāng),即時(shí)有無(wú)窮解.例1 判斷方程組有無(wú)解？有解時(shí),求一般解.例2 對(duì)進(jìn)行討論,何時(shí)方程組有解,無(wú)解；有解時(shí)求一般解.4.3 線性方程組的公式解一 教學(xué)思考1本節(jié)在理論上解決了當(dāng)線性方程組有解時(shí),用原方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)將解表示出來(lái)即公式解,結(jié)論的實(shí)質(zhì)是克拉默法則的應(yīng)用.其中過(guò)程是在有解判定的基礎(chǔ)上選擇個(gè)適當(dāng)方程而得,可歸納方法步驟（方程的選擇、自由未知量的選擇）,內(nèi)容規(guī)范完整,理論作用較大,實(shí)

11、用性較小.2作為特殊的線性方程組齊次線性方程組的解的理論有特殊的結(jié)果,易于敘述和理解,需注意其特殊性（與一般的區(qū)別,解的存在性、解的個(gè)數(shù)等）.二 內(nèi)容要求1內(nèi)容：線性方程組的公式解,齊次線性方程組的解2要求：了解線性方程組的公式解,掌握齊次線性方程組的解的結(jié)論三 教學(xué)過(guò)程1線性方程組的公式解本節(jié)討論當(dāng)方程組 （1）有解時(shí),用方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)把解表示出來(lái)的問(wèn)題公式解.處理這個(gè)問(wèn)題用前面的方法消元法是不行的,因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程使得系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)發(fā)生了改變,但其思想即化簡(jiǎn)得同解線性方程組的思想是重要的,所以現(xiàn)今能否用其它方法把（1）化簡(jiǎn)得同解方程組且系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)不變,才可能尋求公式解.為此看例,考察 （

12、2）顯然間有關(guān)系,此時(shí)稱是的結(jié)果（即可用線性表示）.則方程組（2）與同解.同樣地,把（1）中的個(gè)方程依次用表示,若在這個(gè)方程中,某個(gè)方程是其它若干個(gè)方程的結(jié)果,則可把（1）中的舍去,從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.即現(xiàn)在又得到化簡(jiǎn)（1）的方法：不考慮（1）中那些是其它若干個(gè)方程的結(jié)果,而剩下的方程構(gòu)成與（1）同解的方程組.現(xiàn)在的問(wèn)題是這樣化簡(jiǎn)到何種程度為止,或曰這樣化簡(jiǎn)的方程組最少要保留原方程組中多少個(gè)方程.由初等變換法,若（1）的,則可把（1）歸結(jié)為解一個(gè)含有個(gè)方程的線性方程組.同樣TH4.3.1設(shè)方程組（1）有解,則可以在（1）中的個(gè)方程中選取個(gè)方程,使得剩下的個(gè)方程是這個(gè)方程的結(jié)果.因而解（1）歸結(jié)為解由這個(gè)方程組成的方程組.下看如何解方程組：此時(shí)原方程組與同解.當(dāng)時(shí)有唯一解,且上述方程組的系數(shù)行列式不等于0,由克拉姆法則可得其解（公式解）.當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多解,取為自由未知量,將這些項(xiàng)移至等號(hào)右端得：視為任意數(shù),由克