重積分教師用

1、第九章重積分 74頁第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì) 74頁一、重積分的概念與性質(zhì) （中值定理）設(shè)在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)（），使補(bǔ)例 確定積分的符號，其中，.解：由于， ；因此。習(xí)題8-2 二重積分概念與性質(zhì) 64頁2 根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大?。簒yD12(1,2) (1) 與，是頂點(diǎn)分別為(1,0)，(1,1)，(2,0)的三角形區(qū)域解:在D上,故 xyD35(5,1) (2) 與，其中D是矩形閉區(qū)域：.解:在D上,故 5 求 ，其中連續(xù).解：連續(xù)，由中值定理，在D內(nèi)至少存在一點(diǎn)（），使；故 練習(xí)冊1選擇：（1），,由軸，軸及直線所圍。解：在D內(nèi)，（2）

2、，D是解: 2 利用二重積分定義證明：(1)（其中為D的面積）證：令，則3：，其中D是園形閉域：解:令,在D上, ,故 4設(shè) 是矩形閉區(qū)域：，矩形閉區(qū)域：；試用二重積分的幾何意義說明的關(guān)系。解:由對稱性知：曲頂柱體的體積的4倍，所以 第三節(jié) 二重積分的計算 64頁一 利用直角坐標(biāo)計算二重積分 下用幾何觀點(diǎn)來討論二重積分的計算，若D為X型區(qū)域，即可表為：，（特點(diǎn)：過且平行于軸的直線與邊界相交不多于兩點(diǎn)）， 有：上式右端的積分叫做先對后對的二次積分，即先把看作常數(shù)，把只看作的函數(shù)，并對從定積，然后把算得的結(jié)果（是的函數(shù)）再對計算在區(qū)間上的積分，也記為：因此有： 類似地，若D為Y型：則 若D既是X型

3、區(qū)域又是Y型區(qū)域，那么兩種積分順序都能計算二重積分. 由此得到二次積分交換積分順序的公式：特別，若，D為矩形區(qū)域：則補(bǔ)充例 計算，其中D由直線，及所圍閉區(qū)域。法1：畫D，先y，后x，則：法2：先x，后y,則：恰當(dāng)?shù)剡x擇積分次序是化二重積分為二次積分的關(guān)鍵步驟. 在重積分的計算中也可利用對稱性，下面舉例說明.補(bǔ)例 計算，其中D：解：法一 極坐標(biāo) 得 D： 法二 直角坐標(biāo)：區(qū)域D關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于奇，故將二重積分化為二次積分且先對y積分時，將是奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分，一般地，設(shè)區(qū)域D對稱于軸，其在軸上方的部分為， 若被積函數(shù)關(guān)于變量為奇函數(shù)，即，則； 若被函數(shù)關(guān)于變量y為偶函數(shù)，即，則.

4、同理，設(shè)區(qū)域D對稱于y軸，其在y軸右方的部分為， 若關(guān)于變量奇，即，則； 若關(guān)于變量為偶，即，則.補(bǔ)例：下列等式是否成立，并說明理由.其中D:；: 解：成立. 因為積分區(qū)域D對稱于軸，被積函數(shù)對x是奇函數(shù)，故積分值為0. 解：成立.因D對稱于和軸，被積函數(shù)對和都是偶，故可用上的四倍表示. 解：不成立.D雖然對稱于和軸，但被積函數(shù)對和均為奇，所以，原式=0.補(bǔ)例：計算為，所圍區(qū)域.解：關(guān)于xoz平面和yoz平面對稱，被積函數(shù)關(guān)于奇函數(shù)，關(guān)于y是奇函數(shù)，則 1補(bǔ)例 計算，其中D是拋物線及直線所圍成的區(qū)域.解：D對稱于軸，被積函數(shù)關(guān)于和奇，因此，先后積分時有：習(xí)題8-3 利用直角坐標(biāo)計算二重積分 7

5、3頁1. 化二重積分 為二次積分（分別列出對兩個變量先后次序不同的二次積分），其中D是：(1) 由軸及所圍； 解: （3）由直線及拋物線所圍閉區(qū)域； 解2 畫出積分區(qū)域，并計算二重積分： (1) ，其中D是由所確定的閉區(qū)域解: (2) ，D是由，及所圍成的閉區(qū)域解: 原式=補(bǔ)充其中是由圓周所圍成的右半閉區(qū)域。解： 3（1） 計算，D是由直線及拋物線所圍區(qū)域；解：因 不能用有限形式表示出其結(jié)果，故先y后x積分. （2）計算所圍成的區(qū)域。1D4. 改變下列二次積分的積分秩序： (1)；補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：補(bǔ)充3：5平面薄片所占區(qū)域由，和x軸所圍，密度，求質(zhì)量.解: 7 證明：aD證明：，所以：補(bǔ)例 計

6、算下列二次積分： ；3 解：因 不易積分，改變積分次序.由作出D的草圖 原式（2）因 不易積分，改變積分次序.由 作出D的草圖， 原式補(bǔ)例 計算，其中D為所圍成的平面區(qū)域.解：作D的草圖法一 直角坐標(biāo)系，先y后x積分 把D投影在x軸上，則 ， 先x后y積分，把D投影在y軸上，則：， 練習(xí)冊1改變積分次序：2xx2D2畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分的值；（1）的三角形閉區(qū)域。解：如圖（2）解：記1題圖2題圖3. 化二重積分 為二次積分（分別列出對兩個變量先后次序不同的二次積分），其中D是： 由，及所圍；4： 計算由四個平面所圍成的柱體被平面截得的立體的體積。 116第四節(jié) 利用極坐標(biāo)計算二重積

7、分 77頁極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：，面積元素 D：， ;則在極坐標(biāo)系下將二重積分化為二次積分，主要以極點(diǎn)O的位置來劃分.一般情況下積分順序為先r后.補(bǔ)例：計算，解：作D的草圖，令，園把D分為兩部分 (極坐標(biāo)) 補(bǔ)充： 求由曲面及所圍成的立體的體積.zyxoD解：投影區(qū)域 習(xí)題8-4 利用極坐標(biāo)計算二重積分 79頁1 畫出積分區(qū)域，將積分化為極坐標(biāo)下的二次積分，其中是: 補(bǔ)充：）解：，故：補(bǔ)充：）解：2. 計算下列積分 (1) ；解：原式 xyD12(2) ，D是由圓周，及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.解：原式4. 求由平面以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體體積.

8、補(bǔ)充： ； 解：原式= 補(bǔ)充： （其中D：）解： .補(bǔ)充： ，其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域.解：原式=補(bǔ)充： 求面上的圓周圍成的閉區(qū)域為底，而以曲面為頂?shù)那斨w的體積.解 投影到面得內(nèi)部, 故練習(xí)冊5把積分表為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中5題圖解：所以6解：極坐標(biāo)（2）： ，其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域.解：原式=由圓周所圍.解 故 yx42O7求心形線所圍圖形的(在園外部分)的面積。8：由螺線 與直線圍成一平面薄片D，密度，求質(zhì)量.解： 第五節(jié) 三重積分 80頁 直角坐標(biāo)下 若：，則 其中為在平面上的投影.補(bǔ)充例：計算三重積分：為三個坐標(biāo)面及平面所圍閉區(qū)域。解：將投影到面上，得投影區(qū)域，在內(nèi)

9、任取一點(diǎn)過此點(diǎn)作平行于軸的直線，該直線過穿入內(nèi)，然后過平面穿出外，于是：；（或先，有時，我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分，再計算一個定積分，若，即介于平面與之間，過z軸上區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截得平面區(qū)域（圖4-8）則 通常與z有關(guān). 此法也稱為“先二后一法”或“截面法”。習(xí)題8-5 利用直角坐標(biāo)計算三重積分 86頁1. 化三重積分 為三次積分，其中分別是 (1) 由與所圍成的閉區(qū)域。解：原式=（3） 化為三次積分，為由曲面所圍。解：，故： 3 計算，由與所圍.(放到習(xí)題86為妥)原式=法2：（柱坐標(biāo)）法3：過面的截面： 老練習(xí)冊19頁習(xí)題8-5 利用直角坐標(biāo)計算三重

10、積分 86頁1. 化三重積分 為三次積分，其中分別是: 由與所圍閉區(qū)域。解：原式= 2. 計算，其中為由，及所圍成的閉區(qū)域。解：原式= 3球心在原點(diǎn)，半徑為R的球，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。（應(yīng)放到下一節(jié)：柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)計算）解：4. 計算，其中為由及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域。1 解：法2：（被積函數(shù)關(guān)于奇，），所以：第六節(jié) 利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算三重積分 87頁 一 柱坐標(biāo) 柱坐標(biāo)： 體積元素 ，則,其中 。在柱面坐標(biāo)系下通常采用的積分順序為先z后r再. 當(dāng)是園柱體，柱的一部分，或錐體，或由旋轉(zhuǎn)拋物面，錐面等所圍成的；被積函數(shù)的形式為或時，用柱坐標(biāo)

11、計算三重積分簡便.補(bǔ)充例：計算為所圍區(qū)域.4解： 3利用球面坐標(biāo)下計算三重積分 球坐標(biāo)：，體積元素 ，其中 當(dāng)是球體或球體的一部分；被積函數(shù)的形式為時，通常采用球面坐標(biāo)計算三重積分.補(bǔ)例 計算，其中： 解：法一（直角坐標(biāo)系），先z后再積分，則（令）方法二（先二后一法）；平行于面的平面截，所以：法三：柱坐標(biāo)由得： 法四（球坐標(biāo)）得：補(bǔ)例 計算，其中為：.解：型，區(qū)域是球體，球坐標(biāo)由得： 例 將化為柱面坐標(biāo)的三次積分，由，及所圍成的區(qū)域.4解：是由兩個平面和錐面所圍成的區(qū)域.由，得為，分為兩部分： ；其中 在三重積分的計算中也可利用對稱性。 一般地，設(shè)積分區(qū)域關(guān)于平面對稱，其在平面上方的部分為，

12、若被積函數(shù)關(guān)于變量z為奇函數(shù)，即，則； 若被積函數(shù)關(guān)于變量z為偶函數(shù)，即，則. 同理可得積分區(qū)域關(guān)于yoz平面、xoz平面對稱的結(jié)論.補(bǔ)例：下列等式是否成立，并說明理由.其中：；：，；： ，解：兩個等式均成立. 因?qū)θ齻€坐標(biāo)面均對稱，被積函數(shù)第一個是關(guān)于x的奇函數(shù)，第二個是關(guān)于z的奇函數(shù)，因此積分值為0. ，解：在第一個等式中，對稱于yoz平面，而被積函數(shù)x在上是關(guān)于x的奇函數(shù)，故. 而是的第一卦限部分，其上自變量全部取正值，故有，所以雖然是的四倍，但等式不成立. 第二個等式中，被積函數(shù)是關(guān)于x、y的偶函數(shù)，而積分區(qū)域又對稱于xoz平面和yoz平面，故等式成立. 解：等式成立. 因為對稱于xo

13、z平面和yoz平面，而被積函數(shù)或是關(guān)于x的奇函數(shù)（xz），或是關(guān)于y的奇函數(shù)（yz），或是關(guān)于x、y均為奇函數(shù)（xy），故積分值均為0.1 補(bǔ)例計算，其中是由平面及拋物柱面所圍成的區(qū)域. 解：關(guān)于面對稱，被積函數(shù)關(guān)于奇，因此I = 0習(xí)題8-6 利用極坐標(biāo)和球計算三重積分 95頁再看一下習(xí)題8-5的第3題： 計算，由與所圍.原式=法2：（柱坐標(biāo)）法3：過面的截面：補(bǔ)充： 利用柱面坐標(biāo)計算下列三重積分.(1) ，由不等式所圍閉區(qū)域。.解： 則：（2），為曲面與平面圍成的區(qū)域.解：柱坐標(biāo)：1利用球面坐標(biāo)或柱面坐標(biāo)計算下列三重積分（3）計算 ，是由及平面所圍區(qū)域.5解：柱坐標(biāo)：故原式=.補(bǔ)充1：，:

14、.球坐標(biāo)：原式=補(bǔ)充2：計算，其中：解：球坐標(biāo)：補(bǔ)充：所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域。 2利用對稱性計算三重積分 ，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域.解：法一：用球坐標(biāo)，原式=法二：由于被積函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù)，關(guān)于xoy面對稱，故原式=0.3. 利用三重積分計算下列由曲面所圍成立體的體積. (1) 及（含有z軸的部份）；解：在球坐標(biāo)下，故 補(bǔ)充：解：柱坐標(biāo)：補(bǔ)充： 求半徑為的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成立體的體積。解：設(shè)球面通過原點(diǎn)，球心在軸上，又錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。則球面，錐面，：，所以：補(bǔ)充： 球心在原點(diǎn)，半徑為的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。 練習(xí)冊習(xí)

15、題8-6 利用極坐標(biāo)和球計算三重積分 1填空：設(shè)圍成，則三重積分在三種坐標(biāo)系下分別可化為三次積分如下：直角坐標(biāo)系下：柱面坐標(biāo)系下：球面坐標(biāo)系下：2 利用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列三重積分.（1）所圍成的閉區(qū)域。1解：柱坐標(biāo)：原式=(2) ，由不等式所圍閉區(qū)域。.解： 則：（3），為：.解：被積函數(shù)是型，積分區(qū)域是球體，球坐標(biāo)，由 得 ： (4) 所確定。 解：球坐標(biāo)下，zyxoD故 . 3. 利用三重積分計算下列由曲面所圍成立體的體積. (1) 及zyxoD解：柱坐標(biāo)，故 （2）由曲面所圍勻質(zhì)物體的重心。解：由對稱性顯見：（大半球體積減小半球體積）。總習(xí)題八 96頁一、填空題 2、選擇以下各題中給出的四個結(jié)論中正確的結(jié)論：2(1)設(shè)空間區(qū)域：，：，則（ C ）(A) ；(B) ；(C) ；(D).（2）設(shè)平面閉區(qū)域。則：；（C）（D） 解：因為所以：3 交換下列二次積分的次序： 2 （2）題圖1（1）題圖2 07、設(shè)在0,1上連續(xù)，證明：. 證：左邊=補(bǔ)充練習(xí)1. 設(shè)D：，則等于：= ；_2. 設(shè)D域為，則的值等于_ = ；（幾何意義）3. 設(shè)：，則 _ =4； 4. 設(shè)：，則_ =3_5. ，則交換積分次序后得：；6. 若，其中是；，其中是，則與的