重積分習(xí)題詳解

1、第八章 重積分習(xí)題8-11設(shè)有一個(gè)面薄板（不計(jì)其厚度），占有面上的閉區(qū)域，薄板上分布有面密度為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷解 用一組曲線將分成個(gè)小閉區(qū)域，其面積也記為.任取一點(diǎn),則上分布的電量.通過(guò)求和、取極限，便得到該板上的全部電荷為其中的直徑2. 設(shè)其中；又其中試?yán)枚胤e分的幾何意義說(shuō)明與之間的關(guān)系解由二重積分的幾何意義知，表示底為、頂為曲面的曲頂柱體的體積；表示底為、頂為曲面的曲頂柱體的體積由于位于上方的曲面關(guān)于面和面均對(duì)稱(chēng)，故面和面將分成四個(gè)等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為由此可知3. 利用二重積分定義證明：(1) ；(2) ；(3) 其中，、為兩個(gè)無(wú)公

2、共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域.證(1)由于被積函數(shù)，故由二重積分定義得(2) (3) 因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)域上可積，故不論把怎樣分割，積分和的極限總是不變的，因此在分割時(shí)，可以使和的公共邊界永遠(yuǎn)是一條分割線。這樣在上的積分和就等于上的積分和加上的積分和，記為令所有的直徑的最大值，上式兩端同時(shí)取極限，即得4. 根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小：(1) 與，其中積分區(qū)域是由軸、軸與直線所圍成；(2) 與，其中積分區(qū)域是由圓周所圍成；(3) 與，其中是三角形閉區(qū)域，三頂點(diǎn)分別為；(4) 與，其中.解(1)在積分區(qū)域上，故有，根據(jù)二重積分的性質(zhì)，可得(2)由于積分區(qū)域位于半平面內(nèi)，故在上有從而(3) 由于積分區(qū)域位

3、于條形區(qū)域內(nèi)，故知上的點(diǎn)滿足，從而有因此(4) 由于積分區(qū)域位于半平面內(nèi)，故在上有，從而有因此5. 利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值：(1) 其中；(2) 其中；(3) 其中；(4) 其中.解(1) 在積分區(qū)域上，從而，又的面積等于，因此(2) 在積分區(qū)域上，從而，又的面積等于，因此(3) 在積分區(qū)域上，的面積等于，因此(4) 在積分區(qū)域上，從而，又的面積等于，因此習(xí)題8-21. 計(jì)算下列二重積分：(1) ，其中；(2) ，其中是由兩坐標(biāo)軸及直線所圍成的閉區(qū)域；(3) ，其中；(4) 其中是頂點(diǎn)分別為，和的三角形閉區(qū)域解(1) (2) 可用不等式表示為，于是(3) (4) 可用不等式表示為，

4、于是2. 畫(huà)出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分：(1) ，其中是由兩條拋物線，所圍成的閉區(qū)域；(2) ，其中是由圓周及軸所圍成的右半閉區(qū)域；(3) ，其中；(4) ，其中是由直線，及所圍成的閉區(qū)域解(1)可用不等式表示為，于是(2)可用不等式表示為，于是(3) ，其中，于是(4)可用不等式表示為，于是3. 化二重積分為二次積分（分別列出對(duì)兩個(gè)變量先后次序不同的兩個(gè)二次積分），其中積分區(qū)域是：(1) 由直線及拋物線所圍成的閉區(qū)域；(2) 由軸及半圓周所圍成的閉區(qū)域；(3) 由直線，及雙曲線所圍成的閉區(qū)域；(4) 環(huán)形閉區(qū)域解(1)直線及拋物線的交點(diǎn)為和，于是或(2)將用不等式表示為，于是可將化為；如

5、將用不等式表示為，于是可將化為(3)三個(gè)交點(diǎn)為、和，于是或(4) 將劃分為塊，得 或4. 改換下列二次積分的積分次序：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) 解(1)所給二次積分等于二重積分，其中，可改寫(xiě)為，于是原式(2) 所給二次積分等于二重積分，其中，可改寫(xiě)為，于是原式(3) 所給二次積分等于二重積分，其中，可改寫(xiě)為，于是原式(4) 所給二次積分等于二重積分，其中，可改寫(xiě)為，于是原式(5) 所給二次積分等于二重積分，其中，可改寫(xiě)為，于是原式(6) 所給二次積分等于二重積分，將表示為，其中，于是原式5. 計(jì)算由四個(gè)平面，所圍成柱體被平面及截得的立體的體積解此立體為一曲

6、頂柱體，它的底是面上的閉區(qū)域，頂是曲面，因此所求立體的體積為6. 求由曲面及所圍成的立體的體積解所求立體在面上的投影區(qū)域?yàn)樗罅Ⅲw的體積等于兩個(gè)曲頂柱體體積的差：7. 畫(huà)出積分區(qū)域，把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中積分區(qū)域是：(1) ； (2) ；(3) ，其中； (4) 解(1) 在極坐標(biāo)中，故 (2) 在極坐標(biāo)中，故 (3) 在極坐標(biāo)中，故(4) 在極坐標(biāo)中，直線的方程為，故，于是8. 化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解(1) 用直線將積分區(qū)域分成、兩部分：，于是原式 (2) 在極坐標(biāo)中，直線和的方程分別是和。因此，又，于是原式 (3)

7、 在極坐標(biāo)中，直線的方程為，圓的方程為，因此，故原式(4) 在極坐標(biāo)中，直線的方程為，拋物線的方程為，即；兩者的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的方程是。因此，故原式9. 把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解(1) 在極坐標(biāo)中，故原式 (2) 在極坐標(biāo)中，故原式 (3) 在極坐標(biāo)中，拋物線的方程為，即；直線的方程是，故，故原式(4) 在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域，于是原式10. 利用極坐標(biāo)計(jì)算下列各題：(1) ，其中是由圓周所圍成的閉區(qū)域；(2) ，其中是由圓周，及直線，所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.解(1) 在極坐標(biāo)中，故原式 (2) 在極坐標(biāo)中，故原式11. 選用適

8、當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題：(1) ，其中是由直線，及曲線所圍成的閉區(qū)域；(2) ，其中是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(3) ，其中是由直線，所圍成的閉區(qū)域；(4) ，其中是圓環(huán)形閉區(qū)域解(1) 選用直角坐標(biāo)，故 (2) 選用極坐標(biāo)，故(3) 選用直角坐標(biāo)，(4) 選用極坐標(biāo)，故12. 求由平面，以及球心在原點(diǎn)、半徑為的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積（圖8-21）解 量復(fù)習(xí)題A一、填空題1. 設(shè)是正方形區(qū)域，則_.2. 已知是長(zhǎng)方形區(qū)域，又已知，則_.3. 若是由和兩坐標(biāo)軸圍城的三角形區(qū)域，則二重積分可以表示為定積分，那么_.4. 若，那么區(qū)間_.5. 若，則區(qū)間_.二、選

9、擇題1. 設(shè)是由和所圍成的三角形區(qū)域，且，則( ). A；A. B. C. D. 2. 設(shè)是正方形區(qū)域， 是的內(nèi)切圓區(qū)域， 是的外接圓區(qū)域， 的中心點(diǎn)在點(diǎn)，記則的大小順序?yàn)? ) B；A. B. C. D. 3. 將極坐標(biāo)系下的二次積分:化為直角坐標(biāo)系下的二次積分，則( ) D；A. ; B. ;C. ; D. .4. 設(shè)是第二象限內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域，而且.記則的大小順序?yàn)? ) C；A. B. C. D. 5. 計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋物面在那部分曲面的面積的公式是( ) CA. ; B. ;C. ; D. .三、計(jì)算題1. 計(jì)算重積分，其中是由和所圍成的區(qū)域.解 2. 計(jì)算重積分，其中是由和所圍成的區(qū)域

10、.解 3. 計(jì)算重積分，其中是由和所圍成的區(qū)域.解 4. 將二重積分化為兩種順序的二次積分，積分區(qū)域給定如下:(1) 是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域;(2) 是區(qū)域;(3) 是區(qū)域;(4) 是由和所圍成的區(qū)域;(5) 是由和所圍成的區(qū)域.解 (1) (2) (3) (4) (5) 5. 將二重積分化成在直角坐標(biāo)下兩種順序的二次積分，并進(jìn)一步化成在極坐標(biāo)下的二次積分，其中積分區(qū)域給定如下:(1) 是區(qū)域;(2) 是區(qū)域;(3) 是區(qū)域;(4) 是由和所圍成的區(qū)域.解 (1) (2) (3) (4) 6. 設(shè)是長(zhǎng)方形區(qū)域，試證明: (設(shè)連續(xù)).證明 7. 將二重積分化為二次積分，其中是半圓區(qū)域.解 8.

11、交換下列積分的順序:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .解 (1) (2) (3) (4) (5) 9. 交換下列積分的順序，并化為極坐標(biāo)下的二次積分:(1) ;(2) ;(3) ;(4) .解 (1) (2) (3) (4) 10. 用二重積分計(jì)算以下圖形的面積:(1) 由所圍成;解 (2) 由所圍成;解 (3) 由極坐標(biāo)下不等式及所確定.解 11. 用二重積分計(jì)算下列曲面所圍立體的體積:(1) 及;解 (2) 及;解 (3) ，三坐標(biāo)平面及平面.解 12. 求均勻半圓環(huán)的質(zhì)心.解 所以質(zhì)心為13. 求, 其中為球體。解：14. 將下列各題中三重積分在直角坐標(biāo)系化為累次積分：（

12、1）；（2）；（3）所圍區(qū)域；（4）所圍區(qū)域解：（1）。（2）。（3）。（4）15. 計(jì)算三重積分，其中為旋拋物面與平面所圍。解：。16. 將下列累次積分化為柱面或球面坐標(biāo)的累次積分，并計(jì)算它們的值：（1）；（2）。解：（1）。（2）。復(fù)習(xí)題B1. 證明:證明 上式左端的二次積分等于二重積分，其中于是交換積分次序即得2. 把積分化為三次積分，其中積分區(qū)域是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域.解 為一曲頂柱體，其頂為，底位于面上，其側(cè)面由拋物柱面及平面所組成由此可知在面上的投影區(qū)域因此3. 計(jì)算下列二重積分:(1) 計(jì)算(是常數(shù)) ，其中是區(qū)域.解 (2) 計(jì)算，其中是區(qū)域.解 (3) 計(jì)算，其中是區(qū)域

13、.解 4. 計(jì)算下列三重積分:(1) ，其中是兩個(gè)球：和的公共部分;(2) ，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域;(3) ，其中是由平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面所圍成的閉區(qū)域.解(1)利用球面坐標(biāo)計(jì)算作圓錐面，將分成和兩部分：于是原式(2)由于積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，而被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，故所求積分等于零(3) 積分區(qū)域由旋轉(zhuǎn)拋物面和平面所圍成，在面上的投影區(qū)域因此可表示為：于是5. 求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積.解平面方程為，它被三坐標(biāo)面割出的有限部分在面上的投影區(qū)域?yàn)橛奢S、軸和直線所圍成的三角形區(qū)域于是所求面積為6. 求均勻半橢圓的質(zhì)心.解 所以質(zhì)心為7. 在均勻的半徑為的半圓形薄片的直徑上，要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料