高三橢圓教師

1、教師姓名學(xué)生姓名上課時(shí)間 輔導(dǎo)學(xué)科數(shù)學(xué)年 級(jí) 高三教材版本人教版課 題學(xué)生課時(shí)計(jì)劃教學(xué)目標(biāo)大致了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。解析幾何橢圓精煉專題一、 選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1橢圓的焦距是（ A ）A2BCD2F1、F2是定點(diǎn)，|F1F2|=6，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6，則點(diǎn)M的軌跡是（ C ）A橢圓B直線C線段D圓3若橢圓的兩焦點(diǎn)為（2，0）和（2，0），且橢圓過(guò)點(diǎn)，則橢圓方程是（ D ）ABCD4方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（ D ）AB（0，2）C（1，+）D（0，1）5 過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的

2、直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則、與橢圓的另一焦點(diǎn)構(gòu)成，那么的周長(zhǎng)是（ A ）A B 2 C D 16已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，則橢圓方程為（ ）A 或 B C 或 D 或7 已知4，則曲線和有（ ）A 相同的短軸 B 相同的焦點(diǎn) C 相同的離心率 D 相同的長(zhǎng)軸8橢圓的焦點(diǎn)、，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知，則的面積為（ ） A9 B12 C10 D89橢圓的焦點(diǎn)為和，點(diǎn)P在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，那么是的（ ）A4倍 B5倍 C7倍 D3倍10橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（3，2）過(guò)點(diǎn)P的弦恰好以P為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的方程為（ B ）ABCD 11橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（ D

3、） A3BCD12過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線M與橢圓交于P1，P2，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線M的斜率為k1（），直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為（ ）A2 B2 C D二、 填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上）13橢圓的離心率為，則 3或 14設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最大值為 4 ；最小值為 1 15直線y=x被橢圓x2+4y2=4截得的弦長(zhǎng)為 16已知圓為圓上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于M，則點(diǎn)M的軌跡方程為 三、解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟）17已知三角形的兩頂點(diǎn)為，它的周長(zhǎng)為,求頂點(diǎn)軌

4、跡方程18橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：（1）當(dāng)A(2,0)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，a=2 , b=1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；（2）當(dāng) 為短軸端點(diǎn)時(shí)， ， ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；19點(diǎn)P到定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比為1：2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形解：設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，|PF|=,d=|x-8|,因?yàn)?,所以= .化簡(jiǎn)，得3x2+4y2=48,整理，得=1,所以，點(diǎn)P的軌跡是橢圓。20中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F1（0，5）的橢圓被直線y=3x2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，求此橢圓的方程解：解法一：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為

5、=1,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2)將橢圓方程與直線y=3x-2聯(lián)立，消去y，得：=1,化簡(jiǎn)，整理，得：(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,所以，x1,x2為這個(gè)方程的兩根，因?yàn)橄嘟痪€段中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,所以x1+x2= = -1,解得，a2=75.于是，因?yàn)閏=5,所以，b2=25，所以橢圓的方程為=1.解法二：設(shè)橢圓：（ab0），則a2-b2=50 又設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點(diǎn)（x0，y0） x0=，y0=2= 由 解，得：a2=75，b2=25，橢圓為：=121.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸

6、上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程 解 設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,將m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1 22橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求的值；（2）若橢圓的離心率滿足，求橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍 （1）設(shè)，由OP OQ x 1 x

7、 2 + y 1 y 2 = 0 又將，代入化簡(jiǎn)得 . (2) 又由（1）知，長(zhǎng)軸 2a .橢圓練習(xí)題參考答案題號(hào)123456789101112答案ACDDABD13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、 17、18、解：（1）當(dāng)A(2,0)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，a=2 , b=1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；（2）當(dāng) 為短軸端點(diǎn)時(shí)， ， ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；19解：設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，|PF|=,d=|x-8|,因?yàn)?,所以= .化簡(jiǎn)，得3x2+4y2=48,整理，得=1,所以，點(diǎn)P的軌跡是橢圓。20. 解：解法一：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為=1,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y

8、2)將橢圓方程與直線y=3x-2聯(lián)立，消去y，得：=1,化簡(jiǎn)，整理，得：(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,所以，x1,x2為這個(gè)方程的兩根，因?yàn)橄嘟痪€段中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,所以x1+x2= = -1,解得，a2=75.于是，因?yàn)閏=5,所以，b2=25，所以橢圓的方程為=1.解法二：設(shè)橢圓：（ab0），則a2-b2=50 又設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點(diǎn)（x0，y0） x0=，y0=2= 由 解，得：a2=75，b2=25，橢圓為：=121.解 設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(

9、m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,將m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1 22、（1）設(shè)，由OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又將，代入化簡(jiǎn)得 . (2) 又由（1）知，長(zhǎng)軸 2a .橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例1 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得又，所以，適合故

10、例2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過(guò)點(diǎn)，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過(guò)點(diǎn)，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因

11、，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）例4 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在

12、定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4，半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程：說(shuō)明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7 已知橢圓，（1）求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過(guò)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程 分析：此題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，

13、因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例8 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)

14、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得 ：解得方程為說(shuō)明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程例9 以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

15、（9，6），直線的方程為解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）此時(shí)最小所求橢圓的長(zhǎng)軸：，又，因此，所求橢圓的方程為例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是出錯(cuò)的原因是沒(méi)有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓例11 已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以因此且從而說(shuō)明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點(diǎn)在軸上，知， (3)求的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件例12求中心在原點(diǎn)，

16、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為(，)由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡分析：本題是已知一些軌跡，求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題這種題目一般利用中間變量(相關(guān)點(diǎn))求軌跡方程或軌跡解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)樵趫A上，所以將，代入方程得所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓說(shuō)明：此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)

17、為，然后根據(jù)題目要求，使，與，建立等式關(guān)系，從而由這些等式關(guān)系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于，的方程，化簡(jiǎn)后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握例14 已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)分析：可以利用弦長(zhǎng)公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解因?yàn)?，所以因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中

18、，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出例15橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為A4B2 C8 D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，故答案為A說(shuō)明：(1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓(2)橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離例16 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得(法2)同解法1得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得