隨機變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機變量的數(shù)字特征一考研內容提要1隨機變量的數(shù)學期望及性質（1）離散型隨機變量及其函數(shù)數(shù)學期望的定義；（2）連續(xù)型隨機變量及其函數(shù)數(shù)學期望的定義；（3）性質：（i）線性性質：設、是隨機變量，為常數(shù)，則；（ii）若、相互獨立，則2隨機變量的方差及性質（1）隨機變量方差及標準差的定義；（2）性質（i）設是常數(shù)，則，特別地 （ii）若、相互獨立，則（可推廣到有限的情形）3重要分布隨機變量的期望和方差（1）分布：，（2）二項分布：，（3）Poisson分布：，（4）幾何分布：，（5）超幾何分布：，（6）均勻分布：，（7）正態(tài)分布：，（8）指數(shù)分布：，4二維隨機變量的協(xié)方差、相關系數(shù)和不相關（1

2、）協(xié)方差、相關系數(shù)和不相關的定義：（2）性質：（i）協(xié)方差的性質： ；。（ii）相關系數(shù)的性質： ； 若、相互獨立，則；反之不然。 5矩的概念和關系6正態(tài)分布的幾個重要結果（1）設、相互獨立，且都服從正態(tài)分布，則、的任一線性組合（不全為零）仍服從正態(tài)分布，且 ；（2）服從二維正態(tài)分布。則、不相關、相互獨立；（3）服從二維正態(tài)分布對于任意不全為零常數(shù)，服從一維正態(tài)分布；（4）設、相互獨立，且都服從正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布；（5）若一多維隨機變量是另一多維正態(tài)隨機變量的線性變換，則該多維隨機變量是多維正態(tài)隨機變量。二考研題型解析1選擇題例1 已知隨機變量服從二項分布，則二項分布的參數(shù)的值為 （

3、 ）。（A） （B） （C） （D） 解 應選（B）。例2 已知離散型隨機變量的可能取值為，則對應于的概率為（ ）。（A） （B） （C） （D）解 應選（A ）。例3 設隨機變量的分布函數(shù)為，其中為標準正態(tài)的分布函數(shù)，則（ ）。（A）0 （B） （C） （D）1解 應選（C）。例4 設隨機變量獨立同分布，且方差，令，則（ ）。（A） （B） （C） （D）解 應選（A）。例5 設隨機變量和獨立同分布 ，記 ，則隨機變量和（ ）。（A）不獨立 （B）獨立 （C）相關系數(shù)不為零 （D）相關系數(shù)為零解 應選（D ）。例6 設隨機變量和的方差存在且不等于零，則是和（ ）。（A）不相關的充分條件，但不

4、是必要條件 （B）獨立的充分條件，但不是必要條件（C）不相關的充分必要條件 （D）獨立的充分必要條件解 應選（C）。例7 設隨機變量與獨立同服從上的均勻分布，則（ ）。（A） （B） （C） （D）解 應選（C）。例8 設隨機變量，且相關系數(shù)，則（ ）。（A） （B） （C） （D） 解 應選（D）。例9 設隨機變量與相互獨立，且與存在，記，則（ ）。(A) (B) (C) (D)解 應選(B)。由于，因此故選(B)。例10 將長度為1m的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的相關系數(shù)為（ ）。(A) (B) (C) (D)解 應選(D)。設分別表示所截成兩段木棒的長度，則，即，從而，故選(D)。例

5、11 設連續(xù)型隨機變量與相互獨立，且方差存在，其概率密度分別為與。隨機變量的概率密度為，隨機變量。則（ ）。 (A) (B) (C) (D) 解 應選(D)。由于因此又與相互獨立，且方差存在，故由于，事實上假設，則，從而，即，不是不相關，這與，相互獨立矛盾，因此，從而，故選(D)。2填空題例1 已知隨機變量的概率密度函數(shù)為，則的期望為 ，方差為 。解 應填。例2 設表示10次獨立重復射擊中命中目標的次數(shù)，每次射擊目標的概率為，則的數(shù)學期望 。解 應填。例3 設隨機變量，且已知，則 。解 應填。例4 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則 。解 應填。例5 設一次試驗成功的概率為，進行100次獨立重

6、復試驗，當 時，成功次數(shù)的標準差的值最大，其最大值為 。解 應填，。例6 設隨機變量，且，則 ； 。解 應填，。例7 設隨機變量的概率密度為，已知，則 ， ， 。解 應填12，12，3。例8 投擲枚骰子，則出現(xiàn)點數(shù)和的數(shù)學期望為 。解 應填。例9 設，則 。解 應填。例10 設和是兩個相互獨立同服從正態(tài)分布的隨機變量，則隨機變量的數(shù)學期望 ；方差 。解 應填， 。因為和是兩個相互獨立同服從正態(tài)分布，因此，從而，于是，又，所以。例11 設隨機變量服從標準正態(tài)分布，則 。解 應填。由于的概率密度為，因此例12 設隨機變量獨立同分布，則行列式的數(shù)學期望 。解 應填0。例13 設隨機變量的概率分布為，

7、則 。解 由于，故，從而的分布律為即服從參數(shù)為1的Poisson分布，故，于是。例14 設的聯(lián)合分布律為 0100.070.180.1510.080.320.20則 ， 。解 應填，。例15 設二維隨機變量服從，則 。解 由于，因此相互獨立，且，從而。3.解答題例1 設是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量，已知的分布律為，又設，（i）寫出二維隨機變量的聯(lián)合分布律；（ii）求出隨機變量的數(shù)學期望。 解 （i）和的可能取值為。由于總有，故故的聯(lián)合分布律為 12310033（ii）由（i）中的聯(lián)合分布律可得的邊緣分布律123故的數(shù)學期望。例2 設某種商品每周的需求量是服從區(qū)間上均勻分布的隨機變量，

8、而經銷商店進貨數(shù)量為區(qū)間中的某一整數(shù)，商店每銷售1單位商品可獲利500元，若供大于求則削價處理，每處理1單位商品虧損100元，若供不應求，則可從外部調劑供應，此時1單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最小的進貨量。解 設進貨量為，則利潤為期望利潤依題意，有，解之得，故最小進貨量為21單位。例3 已知甲、乙兩箱中裝有同種產品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件不合格品，乙箱中僅有3件合格品，從甲箱中任取3產品放入乙箱后，求：（i）乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學期望；（ii）從乙箱中任取一件產品是次品的概率。解 （i）的可能取值為0，1，2，3，的概率分布為，即0123故（ii

9、）設表示事件“從乙箱中任取出一件產品是次品”，根據全概率公式，有例4 設二維隨機變量的概率分布為 0101且，求（i）常數(shù)；（ii）。解 （i），由，解得；再由，得。（ii）由的概率分布可得的分布律分別為010101，故。例5 箱中裝有6個球，其中紅、白、黑球的個數(shù)分別為1，2，3個，現(xiàn)從箱中隨機地取出2個球，記為取出的紅球數(shù)，為取出的白球數(shù)。（i）求隨機變量的概率分布；（ii）求。解 （i）的可能取值為0，1，的可能取值為0，1，2，即的概率分布為 01201（ii）由的概率分布可得的分布律分別為0101201，故 例6 設隨機變量與的概率分布分別為且。（i）求二維隨機變量的概率分布；（ii

10、）求的概率分布；（iii）求與的相關系數(shù)。解 （i）由，得，所以故的概率分布為 01001（ii）的可能取值，由的概率分布可得的概率分布為（iii）由及的概率分布，得，所以，從而。例7 假設二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布，記，（i）求和的聯(lián)合分布；（ii）求和的相關系數(shù) 。解 （i）由于二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布，故其聯(lián)合概率密度為 和的可能取值為0，1即的聯(lián)合分布律為 01001（ii）由的聯(lián)合分布律得的分布律分別為010101故 從而 所以 例8 設隨機變量的概率密度為，令，為二維隨機變量的分布函數(shù)，求(i)的概率密度；（ii）；（iii）。解 (i)先求的分布函數(shù)當時，；當時，；

11、當時，；當時，。再求的概率密度時。；當時，；當時，當時，故的概率密度為（ii） ，故 。（iii）例9 設二維隨機變量的概率分布為 0100.200.10.2100.1其中為常數(shù)，記，求（i） 的值；（ii）的概率分布；（iii）。解 （i） 由聯(lián)合概率分布律的性質知，即由，得，即再由，即解以上關于的三個方程得（ii）的可能取值為0120.20.10.30.30.1（iii）例10 設是隨機事件，且，令，求（i）的聯(lián)合分布律；（ii）；（iii）分布。解 （i）的可能取值為0，1，由題設，故，即的聯(lián)合分布律為 0101（ii）因為都服從分布，所以，于是，又，故，從而（iii）的可能取值為。即的

12、分布律為012例11 設隨機變量的概率密度為，求（i）；（ii），問是否相關；（iii）問是否獨立，為什么？解 （i）（ii）由于，所以從而不相關。（iii）由于，但，即事件與不獨立，故不獨立。例12 設隨機變量，與的相關系數(shù)，令，求（i）；（ii）。解 （i）（ii），從而。例13 設隨機變量與在以點為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機變量的方差。解 設，依題設的聯(lián)合概率密度為所以 同理可得 而 所以于是例14 設二維離散型隨機變量的概率分布為 12012（i）求；（ii）求。解（i）由的概率分布得（ii）由的概率分布可得，的概率分布分別為012012012所以，從而，又，故。例15 設隨機變量與相互獨立，且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分