高等幾何就開始答案

1、第一章第一章仿射幾何的基本概念仿射幾何的基本概念1、證明線段的中點是仿射不變性，角的平分線不是仿射不變性。證明：設 T 為仿射變換，根據(jù)平面仿射幾何的基本定理，T 可使等腰ABC（AB=AC）與一般ABC相對應，設點 D 為線段 BC 的中點，則 ADBC，且=，T（D）=D（圖 1） 。T 保留簡比不變，即（BCD）=（BCD）= -1，D是 BC的中點。因此線段中點是仿射不變性。在等腰ABC 中，=。設 T（ ）= ，T（ ）= ，但一般ABC中，過 A的中線 AD并不平分A，即 B與一般不等。角平分線不是仿射不變性。在等腰ABC 中，設 D 是 BC 的中點，則 ADBC，由于T(ABC

2、)= ABC（一般三角形） ，D仍為 BC的中點。由于在一般三角形中，中線 AD并不垂直底邊 BC。得下題2、兩條直線垂直是不是仿射不變性？答:兩直線垂直不是仿射不變性。3、證明三角形的中線和重心是仿射不變性。證明：設仿射變換 T 將ABC 變?yōu)锳BC，D、E、F 分別是 BC、CA，AB 邊的中點。由于仿射變換保留簡比不變，所以 D =T(D)，E=T(E)，F(xiàn)=T(F)分別是 BC,CA,AB的中點，因此 AD，BE，CF是ABC的三條中線（圖 2） 。設 G 是ABC 的重心，且 G=T(G)GAD，由結合性得 G AD；又（AGD）=（AGD）即31ADA DGDG D G是ABC的重

3、心。4、證明梯形在仿射對應下仍為梯形。證明：設在仿射對應下梯形 ABCD（ABCD）與四邊形 ABCD相對應，由于仿射對應保持平行性不變，因此 ABCD，所以 ABCD為梯形。5、證明兩個全等矩形經過仿射變換為兩個等積平行四邊形。證明：設 T 為仿射變換，A1B1C1D1與 A2B2C2D2為兩個全等矩形，其面積分別以 S1=S2。由于 T 保留平行性，所以：T（A1B1C1D1）= 平行四邊形 A1B1C1D1, 面積記為：S1T（A2B2C2D2）= 平行四邊形 A2B2C2D2, 面積記為：S2，且 S1=K S1，S2=KS2，1112221SKSSSSKS A1B1C1D1與 A2B

4、2C2D2是等積的平行四邊形。) 1 (圖2圖6、經過 A（-3，2）和 B（6，1）兩點的直線被直線 X+3y-6=0 截于 P 點，求簡比（ABP）解：設 P 點的坐標為（x0，yo）()APAPABPBPPB （分割比） ，00362,11xy 而:且 P 在直線 x+3y-6=0 上，3 62()3()6011 解得=1，即 P 是 AB 中點，且（ABP）=1。7、證明直線 Ax+By+C=0 將兩點 P1（x1，y1）和 P2（x2，y2）的聯(lián)線段分成的比是1122AxByCAxByC證明設分點為 P（x0，y0） ，則分割比=APPB，P（x0，y0）在直線 Ax+By+C=0

5、上，Ax1+By1+C+(Ax2+By2+C)=08、證明一直線上二線段之比是仿射不變量。證明：若直線 a 上兩線段 AB 和 CD 經仿射變換 T 后與直線 a上的兩段AB和 CD對應圖（3）,ABAB BCABBCABCDBC CDBCCDCD 得證。9、證明圖形的對稱中心是仿射不變性，圖形的對稱軸和對稱平面是不是仿射不變性？證明：設仿射變換 T 將中心對稱圖形 F 變?yōu)閳D形 F，點 O 是 F 的對稱中心，A，B 為圖形 F 上關于點 O 對稱的任意一對對稱點。設 T（O）=O，T（A）=AT（B）=B。T（F）=F，由結合性，點 A，B在圖形 F上；由簡比不變性， （ABO）= (AB

6、O)。所以 F是中心對稱圖形，從而圖形的對稱中心是仿射不變性。如果點 A、B 關于直線 l（平面）對稱，則線段 AB1（AB） 。但仿射變換不保留角的度量，所以當 T（A）=A，T（B）=B，T（1）=1（T（）=）時，線段 AB不一定垂直線 1（平面） 。10、在仿射坐標系下，直線方程是一次的。證明：設在笛氏坐標系下直線方程為：Ax+By+C=0（1）（x,y）為笛氏坐標， （x，y）為仿射坐標。笛氏到仿射的變換式為：12120120120(2)xxyyxy 設其逆變換為：12120120120(3)aaxa xa yayb xb ybbb將（3）式代入（1） ，得A（a1x+a2y+a0）

7、+B (b1x+b2y+b0) +C=0,即：(Aa1+Bb1)x+(Aa2+Bb2)y+Aa0+Bb0+C=0，記為：0AxByC是 x,y的一次式。其中A=Aa1+Bb1,B=Aa2+Bb2，C=Aa0+Bb0+C0且,A B不全為 0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=011、利用仿射變換式，試求在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的？（從而明確 1.2 定理 5 所指常數(shù)的意義） 。解：A1A2A3和A1A2A3的面積分別以 S, S表示，11223311121xySxyxy=11 11211321 12212311212213212222231131231321322323

8、11121a xa yaa xa yaa xa yaa xa yaa xa yaa xa ya11112122122233132310110211xyaaxyaaxyaa12D S()SDS常數(shù)這結果與1.2 系 2 一致，三角形（從而多邊形或曲線形）的面積經仿射變換后乘以一個常數(shù) k，此地進一步明確了這常數(shù)就是仿射變換式的行列式的絕對值，仿射變換式不同，這常數(shù)也不同。12、在等腰梯形中，兩底中心，兩對角線交點，兩腰（所在直線）交點，這四點顯然共線（在對稱軸上） ，試用仿射變換于此圖形，得出什么推廣了的命題？解：設 E，F(xiàn)，Q，P 分別是等腰梯形 ABCD 下底，上底的中點，對角線交點，要腰所

9、在直線交點，T 為仿射變換，則梯形 ABCDT梯形 ABCD，ETE為 BC中點，F(xiàn)TF為 AD 中點。（BDQ）=（BDQ）,(ACQ)=（ACQ）,（BAP）=（BAP）,(CDP)=(CDP)且 E，Q，F(xiàn)，P 共線，由結合性得 E，Q，F(xiàn)，P 四點共線，但直線 PE已不是對稱軸（圖 4） 。由此得出，任意梯形上、下底中點，對角線交點，兩腰所在直線交點凡四點共線。13、求仿射變換3442xxyyxy 的自對應點和自對應直線；解：求自對應點：設 x=x, y =y，因此得240430 xyxy解得自對應點的坐標為 x=-6，y=-8。求自對應直線，設任意直線 l（u,v,w）在所給的變換下

10、的像 1 的方程為：ux+vy+w=0u (3xy+4)+v (4x2y) +w =0，或（3u+4v）x(u+2v)y+4u+w=0。若 1 為自對應直線，則 u=u，v=v，w=w，因此)4(圖因為 u，v，w不全為零，所以方程組(1)有非零解。故3401200401 解得1=2，2=1，3=1，將1=2 代入方程組(1)，得 u= 4, v =1，w =16。將2=1 代入方程組(1)，得 u=1, v=1，w=2。將3=1 代入方程組(1)，得 u=0, v=0，w=1。就本章內容而言，=1 時，自對應直線不存在，故所求自對應直線為：4xy+16=0 和 xy2=0。第二章第二章歐氏平

11、面的拓廣歐氏平面的拓廣1、證明中心投影一般不保留共線三點的簡比。證：設SAC 為等腰三角形（SA=SC）,SBAC, 過 A作一射線平行于 SC 交 SB 的延長線于 B1, 交 SC 于C（圖 5） ， 則 A,B1,C在中心 S 的投影下分別是 A,B,C的像點，（ABC）=2ACBC, 而（AB1C）=11ACBC，（ABC）（AB1C）, 即中心投影一般不保留共線三點的簡比。2、以下面的坐標表示的直線是怎樣的直線？（1） （1，11） ； （2） （1，1，0） ； （3） （0，1，0） 。解利用點線結合方程：u1x1+u2x2+u3x3=0.(1) u1=1, u2=1, u3=1

12、, x1+x2x3=0，非齊次化為：x+y1=0.(2)x1x2=0 或 xy=0。 （3）x2=0 或 y=0 是 x 軸的方程。3、求聯(lián)接點（1,2,1）與二直線（2,1,3） ， （1，1，0）之交點的直線方程。解先求二直線（2,1,3） ， （1，1，0）的交點坐標：x1：x2：x3=133221:3:3: 31:1: 1100111 再求兩點（1，1，1） ， （1，2，1）的聯(lián)線的坐標：u1：u2：u3=111 1 11:1:0:1211 1 12所求直線方程為：x1+x3=0 或 x+1=04、求直線（1,1,2）與二點（3，4，1）,(5,3,1)之聯(lián)線的交點坐標。解：先求二點

13、（3，4，1） ，(5,3,1)的聯(lián)線坐標：u1：u2：u3=411334:1: 8: 29311553再求二直線（1,1,2） ， （1，8，29）的交點坐標：x1：x2：x3=1221 11:45:31: 7829291 18所求交點坐標為（45，31，27） 。CASBC1BC5、方程 u1u2+2u3=0 代表什么？u12u22=0 代表什么？解：方程 u1u2+2u3=0 表點（1，1，2）的方程或表示以點（1，1，2）為中心的線束方程。u12u22=（u1+u2） （u1u2）= 0，u1+u2=0 表示點（1，1，0）的方程；u1u2=0 表示點（1，1，0）的方程。u12u22

14、=0 表示兩點（1，1，0）和（1，1，0）的方程。6、將 2xy+1 表示成 3x+y2，7xy 的線性組合，這種表達的幾何依據(jù)何在？解：設 2xy+1=（3x+y2）+（7xy）=（3+7）x+（）v2，得方程組372121 11,22解得：2xy+1=12(3x+y2)+12(7xy)。依據(jù)是若令它們?yōu)榱悖萌本€共點。7、將（2，1，1）表成（1，1，1）和（1，0，0）的線性組合，這說明什么幾何性質？解：設（2，1，1）=（1，1，1）+（1，0，0） （1）則211此方程組無解，即找不到和滿足（1）式，這說明它們表示的三點（線）不共線（點） 。8、求直線 x2y+3=0 上的無窮

15、遠點的坐標。解：x3=0 是無窮遠直線方程12332300 xxxx從而 x12x2=0, 取 x1=2, 得 x2=1, 所求無窮遠點坐標為（2,1.0） 。9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？非平行線段的相等；不垂直的直線；四邊形；梯形；菱形；平行移動；關于點的對稱；關于直線的對稱；繞點的旋轉；面積的相等。答：歐氏；歐氏；仿射；仿射；歐氏；仿射；仿射；歐氏；歐氏；仿射。第三章第三章一一維射影幾何維射影幾何1、設 A、B、C、D、E 為直線上五點，證明(AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)=1。證明: (AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)1AC BD AD BE AE B

16、CAD BC AE BD AC BE2、證明一線段中點是這直線上無窮遠點的調和共軛點。證明：設 C 為線段 AB 的中點，D為直線 AB 上的無窮遠點，C（ABCD）1AC BDACADBCBC 3、直線上順序四點 A、B、C、D 相鄰兩點距離相等，計算這四點形成的六個交比的值。解:（AB，CD）2 243 13AC BDAD BC（AB，DC）13(,)4AB CD(AC，BD)=1（AB，CD）41133 （AC，DB）13(,)AC BD （AD，BC）311 (,)144AB DC （AD，CB）14(,)AD BC4、求四點（2，1，1）,（1，1，1）,（1，0，0）,（1，5，5

17、）順這次序的交比。解：以（2，1，1）和（1，1，1）為基底。則（2，1，1）+1（1，1，1）=（1，0，0）11112111100 ；（2，1，1）+2（1，1，1）=（1，5，-5）所求交比為1223 5、設 P1,P2,P4三點的坐標為（1，1，1）,（1，1，1）,（1，0，1）且（P1P2, P3P4）=2,求點 P3的坐標。解：以 P1，P2為基底，則（1，1，1）+2（1，1，1）（1，0，1） 。設1是基底 P1，P2表示 P3的參數(shù)，由已知條件（P1P2,P3P4）=122，且2=1，1=2，因此，P3的坐標為（1，1，1）+2（1，-1，1）=（3，-1，3） 。6、設

18、A、B、C、D 為共線四點，O 為 CD 的中點，且 OC2=OAOB，證明（AB，CD）=-1證明：OC2=OAOBOCOBOAOC，由合分比得OCOAOBOCOCOAOBOC因此,ACCBOAODOBOD（OC=OD）1(,)1ACCBAC BDAB CDDADBAD BC ，即：，7、設 A、B、C、D 成調和點列，即(AB，CD)=1，求證1111().2CDCACB證明：由假設得：(AB，CD)1AC BDAD BC AC BD+BC AD=0 (1)BD=CDCB,AD=CDCA,代入（1）式得AC（CDCB）+BC（CDCA）=0，化簡得： ACCDACCB+BCCDBCCA=0

19、，CACD+CACBCBCD+CBCA=02CBCA=CACD+CBCD（2）以 CACBCD 除（2）式兩邊，得：1111().2CDCACB8、證明在 X 軸上由方程 a11x2+2a12x+a22=0 和 b11x2+2b12x+b22=0 之根所決定的兩個點偶成調和分割的充要條件是 a11b222a12b12+a22b11=0。證明：必要性，設兩方程的根依次是 x1,x2和 x3，x4，則x1+x2=12112aa，x1x2=2211aax3+x4=12112bb，x3x4=2211bb（1）若 (x1x2，x3x4)=1，即13241423()()1()()xxxxxxxx 有（ x

20、1x3） （ x2x4）+（ x1x4） （x2x3）=0，2（x1x2x3x4）（x1x2） （x3x4）=0，（2）將（1）代入（2） ，得：222212 12111111 112240baa bbaa ba11b22+a22b11-2a122b12=0。充分性，以11 112a b乘 a11b22+a22b112a12b12=0 的兩邊，得將（1）代入上式后按必要性步驟倒推即得：(x1x2，x3x4)=1。9、試證四直線 2xy+1=0,3x+y2=0, 7xy=0,5x1=0 共點，并順這次序求其交比。證明：以 2xy+1=0 和 3x+y2=0 為基線表示 7xy=0，5x1=0，7

21、xy=0 與（2xy+1）+1（3x+y2）=0 重合，11117101;2311 22 5x1=0 與（2xy+1）+2（3x+y2）=0 重合.22225011,2311 2 所求交比為1212，由于交比存在，所以四直線共點。10、試證，一角的兩邊和它的內外分角線成調和線束。證明：設直線 c、d 是 a、b 為邊的角的內外分角線，以直線 1 截 a、b、c、d 分別于 A、B、C、D（AB，CD）AC BDAC BDAD BCCBAD 1SA SBSB SA （ab，cd）=（AB，CD）=1。11、ABCD 為平行四邊形，過 A 引 AE 與對角線 BD 平行，證明A（BD，CE）=1。

22、證明：設 ACBD=O，AEBD=P（圖 7） ，7圖因此 A（BD，CE）=（BD，OP）=（BDO）1BODO 12、AB 為圓之直徑，C 為直徑延長線上一點，從 C 向圓引切線 CT，證明 T 在 AB 上的垂直射影 D 是 C 對于 A、B 的調和共軛點，若 C 在線段 AB 本身上，如何作它的調和共軛點？證法 1：設 O 是 AB 的中點，OTCT，TDABOT2=ODOC，即 OA2=ODOC，由本章 6 題結論得（AB，CD）=1。證法 2：ATD=ATE，DTB=BTC，TB，TA 是DTC 的內外分角線（圖 8） ，因此（AB，CD）=T（AB，CD）=1。如果 C 在線段

23、AB 內部，過 C 作 CTAB 交圓于 T，過 T 作圓的切線交 AB 的延長線于 D，則 A，B 調和分割 C，D，因為當 C 確定后，T 也確定，所以點 D唯一確定。13、設兩點列同底，求一射影對應使 0，1，分別變?yōu)?1，0解：設第四對對應點為 x，x，由于射影對應保留交比不變，所以（01,x）=（1，0 x）由交比性質得： （10，x）=(0 x，1) ，即： （10 x）=（0 x1） ，展開得：0111 01,101 1011xxxxx 且14、設點列上以數(shù) x 為笛氏坐標的點叫做 x，試求一射影對應，使點列上的三點 1,2,3對應于點列上三點：（1）4,3,2； （2）1,2,

24、3； （3）1,2,3.解：設第四對對應點 x，x，（1）（12，3x）=（43，2x）（2）（12,3x）=(12,3x)，x=x 為恒等變換，101001 且（3）（12,3x）=（-1-2，-3x） ，x = - x101001 且15、當射影對應使一點列上的無窮遠點對應于另一點列上的無窮遠點時，證明兩點列的對應線段成定比。證法 1：三對對應點 AA ，BB，CC，決定射影對應，設 MM為任一對對應點，則由（AB，CM）=（AB，CM）得：（ABM）=（ABM） ，即A MAMA MB MA MB MA BB MBMAMBMAMBMAB 定比。8圖證法 2：射影變換式為；0abaxbxc

25、dcxd 且,baxxdcx 或：因為當 x時，x，所以 c=0。此時射影變換式為：axbxd ，或 dxaxb=0。設 x1x1，x2x2 為兩對對應點，因此dx1ax1b=0dx2ax2b=0式減式，得 d(x1x2)=a(x1x2)1212xxaxxd定比。16、圓周上的點和其上二定點相聯(lián)得兩個線束，如果把線束交于圓周上的兩線叫做對應直線，證明這樣的對應是射影的。證明：設 A，A為圓周上二定點，Mi（i=1，2，3，4）為圓周上任意四點（圖 9）A（M1M2，M3M4）=13241423sinsinsinsinM AMM AMM AMM AM=13241423sinsinsinsinM

26、AMM AMM AMM AM=A（M1M2,M3M4） 。A（M1M2,M3M4A（M1M2,M3M4）17、從原點向圓（x2）2+(y2)2=1 作切線 t1,t2。試求 x 軸，y 軸，t1,t2順這次序的交比。 （設 t1是鄰近 x 軸的切線）解： 設直線 y=kx 與圓相切，則22211kk，兩邊平方得：23830kk ，解得：k1,2=47.3t1鄰近 x 軸，t1的斜率為 k1=47.3t2的斜率為 k2=473，因此 t1的方程為 y473x=0，t2的方程為 y473x=0，故（xy，t1,t2）=12kk=4747。18、設點 A（3，1，2） ，B（3，-1，0）的聯(lián)線與圓

27、 x2+y25x7y6=0 相交于兩點 C和 D，求交點 C，D 及交比（AB，CD） 。解： 圓方程齊次化：x12+x225x1x37x2x3+6x23=0, 設直線 AB 上任一點的齊次坐標是（3+3，1，2） ，若此點在已知圓上，則（3+3）2+（1）25（3+3）27（1）2+622=0，化簡得：10210=0， 1=1，2=-1，即直線 AB 與圓有兩個交點，設1，2分別對應的交點是 C，D，則 C 的坐標是（3,0,1） ，D 的坐標是（0,1,1）9圖且（AB，CD）=12=-1.19、一圓切于 x 軸和 y 軸，圓的動切線 m 交兩軸于 M 及 M，試證MM 。證明：設圓半徑為

28、 r，M（a,0） ，M（0，b） ，a，b 為參數(shù)（圖 10） ，則 m 的方程為1xyab或 bx+ay-ab=0，由于 m 與圓相切，因此22brarabrab，此式兩邊平方，得 r2a2+r2b2+a2b2+2abr2a2br2b2ara2r2b2r2,或 ab2ra2rb+2r2=022122022rrrr點 M，M的參數(shù)間有一個行列式不等于零的雙一次函數(shù)，故MM 。20、x 表直線上點的笛氏坐標，這直線上的射影變換xxx,0,在什么條件下以無窮遠點作為二重點。解：設 x=x是無窮遠點，因此limxx=limxxx=0所以，以無窮遠點作為二重點的射影變換是,.xxaxbab其中21、

29、設兩個重迭一維射影幾何形式有兩個二重元素 S1、S2，證明它們之間的對應式可以寫作1122SSkSS,k 是個常數(shù)。證明：已知 S1S2，S2S2，設11是第三對對元素，是任一對對應元素，因為三對對應元素確定唯一射影對應，（S1S2，1）=（S1S2，1） ，因而112112112112()()()()()()()()SSSSSSSS1111211111221211221211()() ()()()() (),()() ()()()() ()SSSSSSSkSSSSSSS故：其中k=22、設 S1，S2是對合對應的二重元素，證明這對合可以寫作:11220SSSS證明：設是對合對應下任一對對應元

30、素，從而（S1S2，）=-1，即12211SSSS或1122SSSS11220SSSS10圖23、一直線上點的射影變換是 x=324xx，證明這直線上有兩點保持不變，且這兩點跟任意一對對應點的交比為一常數(shù)。證明：設固定點為x=x，所以x(x+4)=3x+2，即 x2+x2=0，解得固定點為 x= -2 和 x=1設任一對對應點為 x，324xx，交比： （1，2，x324xx）=5 (1)(2)5()2 (2)(1)2xxxx常數(shù)24、試證對合對應的二線束中，一般只有一對互相垂直的對應直線，若有兩對互垂的對應直線，則每對對應直線都互垂。證明：取二線束公共頂點為原點，取對應線的斜率為、，則對合方

31、程為a+b(+)+d=0, 且 adb20，互垂對應線應滿足=1，所以()01abd222()0(1)()40badbadb 所以當方程（1）有兩個不等實根1，2時，只有一對互垂對應線，這是因為12=bb=1,因而1=11=2，2=21=1。當方程（1）有兩個相等實根時，必須 ad=0，b=0，這時對合變?yōu)?1，每對對應線都互垂。25、設 A，A；B，B；C，C是對合的三對對應點，試證（ABC） （BCA） （CAB）=1。證明：由對合對應的相互交換性，有 AA，BB，AA，CC，所以（AB，AC）=（AB，AC） ，于是得1AA BCAA BCBCBCACBA CBAC BAAC BAAC

32、BAAC BABCCAAB（ABC） （BCA） （CAB）=126、AB 是定圓直徑，作一組圓使其中心都在直線 AB 上并且都跟定圓正交，證明這組圓跟直線 AB 的交點構成一個雙曲對合。證明：設圓 O是與定圓 O 正交的任一圓，T 為一個交點，且圓 O與直線 AB 交于點和P（圖 11）已知 OTOT，OT2=OPOP，即 OA2=OB2=OPOP。點 P，P是以 A，B 為二重元素，O 為中心的雙曲對合的一對對應點。27、O 是笛氏正交坐標的原點，A 是 y 軸上一定點，以 A 為頂點的直角繞 A 旋轉，證明直角兩邊被 x 軸所截的點偶構成一個橢圓型對合。證明：設直角邊交 x 軸的任意兩個

33、位置為 A1，A2；B1，B2（圖 12）設 OA2=k，則 OA1OA2=OB1OB2=OA2=k，因為 A1，A2；B1，B2在 x 軸上的位置為一正一負，故 OA1OA2=OB1OB20，11圖12圖因而 A1，A2；B1，B2，在 x 軸上構成橢圓型對合第四章第四章 代沙格定理、四點形與四線形代沙格定理、四點形與四線形1、 設ABC 的頂點，A，B，C 分別在共點的三直線，上移動，且直線 AB 和 BC 分別通過定點 P 和 Q，求證 CA 也通過 PQ上一個定點（圖 13） 。證：設 A0是上的一個定點，AOP 交于 B0，B0Q 交于 C0，則 A0C0是定直線（圖 13） 。若

34、R 是定直線 A0C0與定直線 PQ的交點，從而 R 是 PQ 上 的定點，若ABC 是合于條件的，因為在ABC 及A0B0C0中，A0A，B0B，C0C 共點，根據(jù)代沙格定理，P，Q 及 A0C0AC 共線，即 AC 通過 A0C0PQ=R（定點） 。2、 ABC 的二頂點 A 與 B 分別在定直線和上移動，三邊 AB，BC， CA 分別過共線的定點 P，Q，R，求證頂點 C 也在一定直線上移動。證：設=0（定點） ，A0B0C0是滿足條件的定三角形，ABC 是滿足條件的任意三角形。A0B0BC=Q，A0C0AC=R。由代沙格定理逆定理得，三線 A0A，B0B，C0C 共點 O，即 C 在定

35、直線 C0O 上移動（圖 14） 。3、 設 P，Q，R，S 是完全四點形的頂點，A=PSQR，B=PRQS，C=PQRS，證明 A1=BCQR，B1=CARP，C1=ABPQ 三點共線。證：在ABC 及PQR 中（圖 15） ，AP，BQ，CR 共點 S。對應邊的交點 C1=ABPQ，B1=CARP，A1=BCRQ 三點共線。4、已知線束中的三直線 a，b，c 求作直線 d 使（ab，cd）=1。解：設線束中心為 S，以直線 1 分別截 a,b，c 于 A，B，C在直線 c 上任意取一點 Q，聯(lián) AQ 交 d 于 R，聯(lián) BQ 交 a 于 P，聯(lián)PR 與 1 交于 D （圖 16） ，則直線

36、 SD 為所求。因為，SPQR 構成一完全四點形，（AB，CD）=1，從而（ab，cd）=（AB，CD）=1。5、 設 AD，BE，CF 為ABC 的三高線，EFBC=D，求證（BC,DD）=1，在等腰三角形 AB=AC 的情況，這命題給出什么結論？證明：設 P 為ABC 的垂心，由完全四點形AFPE（圖 17）的性質，得（BC，DD）=1。在等腰ABC 中，若 AB=AC，D 為垂足，因而 D 為 BC 的中點。（BC，DD）=1，所以 D為 BC 直線上的無窮遠點，16圖17圖因而 FEBC。即在等腰三角形中，底邊的頂點到兩腰的垂足的聯(lián)線平行于底邊。第五章射影坐標系和射影變換第五章射影坐標

37、系和射影變換1、將一維笛氏坐標與射影坐標的關系：,0(1)xx以齊次坐標表達。解設一維笛氏坐標系中，一點的坐標為 x，則齊次坐標為（x1，x2） ，且 x12xx，一點的射影坐標為，齊次坐標為（1,2）且=12，將和 x 代入關系式（1）有112122xxxx，化簡得：1212121(0)xxxx令1122120 xxxx且為齊次變換式。2、在直線上取笛氏坐標為 2，0，3 的三點作為射影坐標系的 A1,A2,E，(i)求此直線上任一點 P 的笛氏坐標 x 與射影坐標的關系； （ii）問有沒有一點，它的兩種坐標相等？解：笛氏坐標023x射影坐標：A2A1E（i）由定義=（A1A2，EP）=（2

38、0，3x）=(3 2)(0)(2)(3 0)36xxxx(ii)若有一點它的兩種坐標相等，即 x=則有36xxx，即 3x27x=0，當 x=0 及 x=73時兩種坐標相等。3、在二維射影坐標系下，求直線 A1E，A2E，A3E 的方程和坐標。解：坐標三角形頂點 A1（1，0，0）,A2（0，1，0）,A3（0，0，1）和單位點 E（1，1，1）設 P（x1，x2，x3）為直線 A1E 上任一點，其方程為：1231000111xxx即 x2x3=0，線坐標為（0，1,1）直線 A2E 的方程為：1230100111xxx，即 x1x3=0，線坐標為（1，0，1） ；直線 A3E 的方程為：12

39、30010111xxx，即 x2x1=0，線坐標為（1，1，0）4、寫出分別通過坐標三角形的頂點 A1，A2，A3的直線方程。解：設平面上任意直線方程為u1x1+u2x2+u3x3=0，過點 A1(1，0，0)時 u1=0，即為 u2x2+u3x3=0 ，過點 A2(0，1，0)時 u2=0，即為 u1x1+u3x3=0 ，過點 A3(0，0，1)時 u3=0，即為 u1x1+u2x2=0 。5、取笛氏坐標系下三直線 xy=0，x+y1=0，x2=0 分別作為坐標三角形的邊 A2A3，A3A1，A1A2，取 E（3 1,2 2）為單位點，求一點的射影坐標（x1，x2，x3）與笛氏坐標（x，y，

40、t）的關系。解：E（3 1,2 2） ，e1=12，e2=12，e3=12。 （圖 18）任意一點 M（x，y）到三邊的距離為：1=2xy，2=12xy，3=21x射影坐標（x1，x2，x3）與笛氏坐標的關系為：x1=11e=xy，x2=22e=x+yt，x3=33e=2x+4t即：123110,1116024204xxyxxytxxt 且6、 從變換式112321233123, (1)xxxxxxxxxxxx 求出每一坐標三角形的三邊在另一坐標系下的方程。解： A1A2A3三邊，A1A2：x3=0；A1A3：x2=0；A2A3：x1=0。從變換式（1）可求得A1A2A3的三邊在坐標系A1A2

41、A3下的方程：A1A2的方程為：x3=0，即 x1+x2x3=0；A1A3的方程為：x2=0，即 x1x2+x3=0。A2A3的方程為：x1=0，即x1+x2x3=0。由（1）可求出逆變換式為：123213312,(2)xxxxxxxxxA1A2A3的三邊，A1A2：x3=0；A1A3：x2=0；A2A3：x1=0。從變換式（2）可求得A1A2A3的三邊在坐標系A1A2A3下的方程：x1+x2=0，即 A1A2的方程。x1+x3=0，即 A1A3的方程。x2+x3=0，即 A2A3的方程。7、若有兩個坐標系，同以A1A2A3為坐標三角形，但單位點不同，那么兩種坐標間的轉換式為何？解：設變換式為

42、：111 112213 3221 122223 3331 132233 3,0ijxa xa xa xxa xa xa xaxa xa xa x 已知（1,0,0）（1,0,0）,（0,1,0）（0,1,0）,（0,0,1）（0,0,1）分別代入變換式得1=a11，a21=0，a31=0； 2=a22，a12=0，a32=0；3=a33，a13=0，a23=0故有111 12222112233333 3,0ijxa xxa xaa a axa x 又（1,1,1）（a,b,c）112233,aabaca即 a：b：c = a11：a22：a33故變換式為：112233,0ijxaxxbxaab

43、cxcx 8、在拓廣歐氏平面上求平移,xxayyb 的二重元素。解：設 x=13xx，y=23xx，則有11322333,xxaxxxbxxx （1）求二重點：31001010001ab由得，即=1 為三重根。將=1 代入方程組：13233(1)0(1)0(1)0 xaxxbxx 解得：30 x 所以在有限歐氏平面上，在平移變換下無二重元素，在拓廣歐氏平面上，1上的所有點（ x1，x2，0）皆為二重點。（2）求二重直線： =1 為三重根。將=1 代入方程組：12123(1)0(1)0(1)0uuaubuu得 u1， u2可取任意數(shù)， 且 au1+bu2+0u3=0所以二重直線是通過點（a，b，

44、0）的一切直線，即以ba為斜率的平行線束及無窮遠線，這平行線束即平移方向的直線集合。9、求射影變換112233,(1)xxxxxx 的二重元素。解： （i）求二重點：二重點（x1，x2，x3）應滿足123( 1)0(1)0(2)(1)0 xxx 21000100110001 由得，1=1 為二重根，2=1 為單根。將1=1 代入（2）式得 x1=0，x2，x3為任意數(shù)，所以二重點為（0，x2，x3） ，但 x2，x3不同時為零，此為坐標三角形的邊 x1=0 上的一切點；將2=1 代入（2）式得二重點（x1，0，0） ，此為坐標三角形的頂點 A1（1，0，0） 。（ii）求二重直線： 1=1 及

45、2=1，將1=1 代入123( 1)0(1)0(3)(1)0uuu 得二重直線 u1=0，即過 A1（1，0，0）的一切直線；將=1 代入（3）得二重直線 x1=0，為坐標三角形的邊 A2A3。10、求射影變換1122233,(1)xxxxxxx 的二重元素。解： （i）求二重點： （x1，x2，x3）滿足1223(1)0(1)0(2)(1)0 xxxx 3110010010001由得，有三重根=1，將=1 代入（2）式得二重點為 x2=0, 即坐標三角形的邊 A1A3上所有的點。（ii）求二重直線：=1 為三重根，將=1 代入1123(1)0(1)0(3)(1)0uuuu 得 u1=0,u2

46、, u3為任意數(shù)，即二重直線為以 A1(1,0,0)為中心的線束。11、求射影變換11221231234,63 , (1)xxxxxxxxxx 的二重元素。解（i）求二重點：二重點（x1，x2，x3）滿足1212123(4)06( 3)0(2)( 1)0 xxxxxxx 4106300111 由，得(+1) (+2) (+3) = 0，所以特征根=-1，-2，3。取=1 代入（2）得二重點為（0，0，x3）即（0,0,1） ，取=2 代入（2）得二重點為（1，6，5） ，取=3代入（2）得二重點為（1，1，0） 。（ii）求二重直線：特征根=1，2，3。取=1 代入1231233(4)60(

47、3)0(3)( 1)0uuuuuuu 得二重直線為（1，1，1）取=2 代入（3）得二重直線為（1，1，0）取=3代入（3）得二重直線為（6，1，0） 。12、證明射影變換11222333,(1)xaxxxaxxxax 只有一個二重點及通過該點的一條二重直線。證：若有二重點（x1，x2，x3）則滿足12233()0()0(2)()0axxaxxax310010)000aaaa由，得(，即 = a 為三重根，將 = a 代入（2）得二重點為（1，0，0） 。若有二重直線（u1，u2，u3） ，得=a 為三重根，將=a 代入11223()0()0()0auuauuau，得二重直線為（0，0，u3）

48、即 x3=0，所以二重直線 A1A2通過二重點 A1（1，0，0） 。13、 （i）求變換：x=21xx，y=21yx的二重點。（ii）設 O 為原點，P 為直線 x=1 上任一點，m為直線 OP 上一點 M 的對應點，求交比（OP，MM） ；（iii）從這個交比得出什么結論？解出逆變換式以驗證這結論。解（i）求二重點：由題設有 x=21xx，解出 x=0, 1。y=21yx，化簡為：y(2x2)=0，所以 x=1 時，y 為任何值都行，故二重點為（0，0）及直線 x=1 上的任意點。（ii）交比（OP，MM）=（01，xx）=（0 1，x21xx）=1.(iii) 從原變換求其逆變換：x =

49、21xx x=21xx；y =21yx y=21yx所以在每條直線 OP 上有一個對合對應，對合的兩個二重點是原點及 P 點。14、求證1111()RSTT S R這里的 R，S，T 表示變換。證：設 A=T（A） ，A=S（A） ，A=R（A） ，A=(RST)（A） ，則（RST）-1（A）=A。而 R-1（A）=A，S-1（A）=A，T-1（A）=A1111()RSTT S R15、證明直線上非奇異射影變換1112111 1122221 12222122,0aaxa xa xAxa xa xaa 構成群。證：設 T：1112111 1122221 12222122,0aaxa xa xA

50、xa xa xaa ，S：1112111 1122221 12222122,0bbxb xb xAxb xb xbb ，所以 ST：111211121112111 1122221 1222212221222122,0ccaabbxc xc xDxc xc xccaabb 故直線上非奇異射影變換之積仍為直線上非奇異射影變換；又因為T-1：211121112111 121 2212 122221222122,0AAaaxA xA xDxA xA xAAaa故直線上非奇異射影變換之逆仍為直線上非奇異射影變換，所以直線上非奇異射影變換構成群。16、證明直線上非奇異射影變換1112111 1122221

51、 12222122,0aaxa xa xAxa xa xaa 構成群。證：設 T：1112111 1122221 12222122,0aaxa xa xAxa xa xaa ，S：1112111 1122221 12222122,0bbxb xb xAxb xb xbb ，所以 ST：111211121112111 1122221 1222212221222122,0ccaabbxc xc xDxc xc xccaabb 故直線上非奇異射影變換之積仍為直線上非奇異射影變換；又因為T-1：211121112111 121 2212 122221222122,0AAaaxA xA xDxA xA

52、xAAaa故直線上非奇異射影變換之逆仍為直線上非奇異射影變換，所以直線上非奇異射影變換構成群。17、證明直線上非奇異射影變換1112111 1122221 12222122,0aaxa xa xAxa xa xaa 不構成群。證：設 T：1112111 1122221 12222122,0aaxa xa xAxa xa xaa ，S：1112111 1122221 12222122,0bbxb xb xAxb xb xbb ，所以 ST：111211121112111 1122221 1222212221222122,0ccaabbxc xc xDxc xc xccaabb 即直線上行列式0

53、的非奇異射影變換之積不再是直線上行列式0 的非奇異射影變換，故不構成群。18、證明繞原點的全體旋轉變換構成群。證：設 T：cossinsincosxxyyxy ，且 A=cossinsincos=1S：cossinsincosxxyyxy， 且cossin1sincosA所以 ST：cos()sin()sin()cos()xxyyxy，且cos()sin()1sin()cos()D故旋轉變換之積仍為旋轉變換；又因為T-1：cos()sin()cossinsin()cos()sincosxxyxxyyxyyxy且A-1=cossin1sincos，故旋轉變換之逆仍為旋轉變換，所以繞原點的旋轉變換

54、構成群。第六章第六章二次曲線的射影性質二次曲線的射影性質1、 試求二階曲線的方程，它是由兩個射影線束 x1x3=0 與 x2x3=0（12）所決定的。解：12（1）由 x1x3=013(2)xx；x2x3=023(3)xx將(2)(3)代入(1)得：13132213313131331(2)()022xxxxxx xxx xxxxxxx故所求二階曲線的方程為：21 2231 3320 x xx xx xx2、 在平面上給定四點 A，B，C，D，其中無三點共線，求滿足條件 P(AB，CD)=定值k 的點 P 的軌跡。解：由本章 6.1 定理 3 給定無三點共線的任意五點，可決定唯一的二階曲線，由定

55、理 4，二階曲線上四點與其上任意第五點所聯(lián)直線的交比為常數(shù)。因此，此題關鍵是作出一點 E，使 E(AB， CD)=k。 則滿足條件 P(AB， CD)=k。假設 E 點已作出， 過無三點共線的五點 A， B，C，D，E 可唯一決定一條二階曲線。作法：過 A 任作一直線 1 與直線 CD 交于 A，再在 CD 上作 B使(AB，CD)=k，然后連接 BB 交 1 于E，則二階曲線唯一確定之后，在其上任取一點 P 都有 P(AB，CD)=E(AB，CD)=E(AB，CD)=k（圖 18）3、 建立一個透視對應使以 A1(1，0，0)為中心的線束對應于以 A2（0，1，0）為中心的線束；并求這兩透視

56、線束所產生的變態(tài)二階曲線的方程。解：因為2300 xx的交點為 A1，過 A1的線束方程為：x2x3=0（1）18圖又1300 xx的交點 A2，過 A2的線束方程為：x1x3=0（2）若線束 A1線束 A2，則,0（3）將(1)(2 代入(3)得：x2( x1+ x3) - x3(a x1+ x3) = 0（4）若線束 A1線束 A2，則 x3=0 為自對應直線（即 x3=0，變?yōu)?x3=0） ，即（3）式中=時對應于=，=013233,00 xxxxx，化簡為 x3（ x1+ x2 x3）=0, 且0（5）若 A3（0，0，1）在（5）式所表示曲線上，則有 = 0，再 E（1，1，1）在（

57、5）式所表示曲線上，則有 + =0，這時（5）式變?yōu)椋簒3(ax1+ax2)=0，a0,二透視線束產生的變態(tài)二階曲線的方程為：x3（x1x2）=04、給定二次曲線上五點，求作曲線上另外一些點。解： （圖 19 ）已知二次曲線上五點 1，2，3，4，5。根據(jù)巴斯卜逆定理可作出二次曲線上其余的點。作法： 1245=A，過 A 任作一直線 P 作為巴斯卡線，34P=C，23P=B，所以 1C5B=6，即為二次曲線上的另一點，因為 1，2，3，4，5 五點決定唯一的二次曲線，由巴斯卡定理及作圖知，點 6 在上，當直線 P 變動時，得到不同位置的點 6。5、給定一二次曲線上五點，利用巴斯卡定理作曲線在此

58、五點之一的切線。解： （圖 20）已知二次曲線上五點 1，2，3，4，P（令 P56） ，則（1245）A， （1634）C， （AC23）B，則 PB 即為所求的以 P 為切點的切線。由巴斯卡定理得證。6、設六角形的對邊互相平行，求證這六角形內接于一二次曲線。解： （圖 21） 由巴斯卡定理：因為（1245）= I， （2356）=，（3461）= ，因為平面上只有一條無窮遠直線 l，所以六邊形對邊交點共線（共無窮遠直線） ，則此六邊形必內接于一二次曲線。7、 內接于圓的兩個三角形 ABC 與 ABC中，設交點 P=ABAB，Q=BCBC，X=CACA，證這三點共線。解： （圖 22）兩三角

59、形的頂點看成圓內接六邊形 ABCABC，由巴斯卡定理：令 A1，B2，C3，A4，B5，C6，則有 P=ABAB=1245，Q=BCBC=2356，X=CACA=3416，所以 P，Q，X 共線。8、從一點 y 向二次曲線0ijija x x 引兩條切線，20圖21圖22圖證明這兩條切線的方程可寫作：證：設點 y（y1，y2，y3）是平面上的已知點，設 x（x1，x2，x3）為平面上任一點，這兩點的聯(lián)線上任一點 W 可表為 W=x+y，W 在二次曲線上的充要條件是：0ijija ww 2()()20ijiijjijijijijijija xyxya x xa y xa y y即：又點 x 在由

60、點 y 引向二次曲線的切線上的充要條件是： 確定聯(lián)線與二次由線的交點的這個二次方程有等根（從而交點重合） ，即：2()()()0ijijijijijija y ya x xa y x9、證明以x1x3x22=0 為點坐標方程的二次曲線，它的線坐標方程為 4u1u2u22=0。證：二次曲線 x1x3x22=0，10021010041002ija ，故為常態(tài)二次曲線，其對應的二級曲線方程為：12312310020100,10020uuuuuu展開行列式并化簡便得線坐標方程為：4u1u2u22=010、 證明以 u1u3u22=0 為線坐標方程的二次曲線， 它的點坐標方程為 4x1x3x22=0 。