高中數(shù)學(xué)必修平面向量知識點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)總結(jié)平面向量知識點(diǎn)歸納 一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標(biāo)表示法 向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平

2、行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則

3、時(shí)，兩個已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向

4、量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法

5、是互逆運(yùn)算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識的交匯點(diǎn)例1 給出下列命題： 若|，則=； 若A，

6、B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； 若=，=，則=，=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/，其中正確的序號是 解：不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同 正確 ， 且，又 A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，因此， 正確 =， ，的長度相等且方向相同；又， ，的長度相等且方向相同， ，的長度相等且方向相同，故 不正確當(dāng)/且方向相反時(shí)，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條件，而是必要不充分條件 不正確考慮=這種特殊情況 綜上所述，正確命題的序號是 點(diǎn)評：本例主要復(fù)

7、習(xí)向量的基本概念向量的基本概念較多，因而容易遺忘為此，復(fù)習(xí)一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想例2 設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡：， 解：原式= 原式= 原式= 例3設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kR)，若，試求k解： 由向量共線的充要條件得： = (R)即 k+=(+k) (k-) + (1-k) = 又、不共線 由平面向量的基本定理 二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的

8、，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則3向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:0時(shí),與同向;0時(shí),與異向;=0時(shí),

9、 =向量的數(shù)量積是一個數(shù)或時(shí),=0且時(shí),例1 已知向量，且，求實(shí)數(shù)的值解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗裕唇獾美?已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)，則因?yàn)槭桥c的交點(diǎn)所以在直線上，也在直線上即得由點(diǎn)得，得方程組解之得故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為三平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個向量，則=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個非零向量垂直的充要條件：O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)例1 判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任