數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1 2.1 概述概述2.2 2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運算邏輯代數(shù)中的三種基本運算2.3 2.3 邏輯代數(shù)的公式邏輯代數(shù)的公式2.4 2.4 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理2.5 2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法2.6 2.6 邏輯函數(shù)的簡化邏輯函數(shù)的簡化 1 1、熟練掌握邏輯代數(shù)的、熟練掌握邏輯代數(shù)的基本定理基本定理、基基本規(guī)則本規(guī)則和和常用公式常用公式； 2 2、熟練掌握、熟練掌握邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法；3 3、熟練掌握邏輯函數(shù)的、熟練掌握邏輯函數(shù)的代數(shù)代數(shù)化簡法化簡法和和卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法。邏輯函數(shù)的化

2、簡。邏輯函數(shù)的化簡。數(shù)字電路又稱數(shù)字電路又稱邏輯電路邏輯電路。邏輯電路的研究工具：邏輯電路的研究工具：邏輯變量：用字母邏輯變量：用字母A、B、C 等表示。是等表示。是二值變量二值變量。邏輯常量：邏輯常量：0 0和和1 1，中間值沒有意義。，中間值沒有意義。 0 0和和1 1只表示兩個只表示兩個對立對立的的邏輯狀態(tài)邏輯狀態(tài)，如：電位的高低、，如：電位的高低、開關(guān)的開關(guān)等。開關(guān)的開關(guān)等。邏輯運算：邏輯變量及常量之間邏輯運算：邏輯變量及常量之間邏輯狀態(tài)邏輯狀態(tài)的的推理運算推理運算。布爾代數(shù)（邏輯代數(shù)布爾代數(shù)（邏輯代數(shù)/ /開關(guān)代數(shù)）。開關(guān)代數(shù)）。1 1、“與與”邏輯邏輯A、B條件都具備時，事件條件都

3、具備時，事件F才發(fā)生。才發(fā)生。 邏輯符號：邏輯符號：ABF000010001111 真值表：真值表： 邏輯表達式：邏輯表達式：F=AB（2 2）“或或”邏輯邏輯A、B只要有一個條件具備，事件只要有一個條件具備，事件F就發(fā)生。就發(fā)生。B 1AFABF000110101111 真值表：真值表： 邏輯表達式：邏輯表達式：F=A+B 邏輯符號：邏輯符號：（3 3）“非非”邏輯邏輯A條件具備時條件具備時 ，事件，事件F不發(fā)生；不發(fā)生；A條件不具備時，事件條件不具備時，事件F 發(fā)生。發(fā)生。AEFRAFAFAF 或或 真值表：真值表： 邏輯表達式：邏輯表達式： 邏輯符號：邏輯符號：AF0110與非：與非：條

4、件條件A、B都具都具備，則備，則F不發(fā)生不發(fā)生?；蚍牵夯蚍牵簵l件條件A、B任一任一具備，則具備，則F不不 發(fā)生。發(fā)生。ABF100110101011ABF100010001011)(BAF)(BAF與或非與或非AB=1或或CD=1時時,F=0； AB=0且且CD=0 時時,F=1；)(CDABF異或運算異或運算ABY1 01 10 10 01100ABY1 01 10 10 00011同或運算同或運算BAABBAY)(BAY= ABABBA2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3.1 基本公式序號序號公公 式式序號序號公公 式式10 1 = 0; 0=

5、 110 A = 0111 + A= 121 A = A120 + A = A3A A = A13A + A = A4A A= 014A + A = 15A B = B A15A +B = B + A6A (B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C)8(A B) = A + B18(A+ B) = AB9(A ) = A證明方法：推演 真值表與普通代數(shù)相似的公式與普通代數(shù)相似的公式交換律交換律ABBA ABBA 結(jié)合律結(jié)合律)()(CBACBA )()(CBACBA

6、分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA 例例 2. 3. 1 證明公式證明公式)(CABABCA 解解 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左左式式 BCA普通代數(shù)普通代數(shù)不適用不適用! 證明公式證明公式)(CABABCA 方法二：真值表法方法二：真值表法 ( (將變量的各種取值代入等式將變量的各種取值代入等式兩邊，進行計算并填入表中兩邊，進行計算并填入表中) ) A B CCB BCA BA CA )(CABA 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0

7、 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等邏輯代數(shù)的一些特殊公式邏輯代數(shù)的一些特殊公式BABA)(BABA )(同一律同一律A + A = AA A = A還原律還原律AA )( 例例 證明：證明：德德 摩根定理摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA )(BA00 0 1 1110A BBA11 0 0 10101110)( BABA BA 011110001000相等相等相等相等德德 摩根定理摩根定理2.3.2 若干常用公式序 號公 式21A + A B = A22A +A B = A + B23A B + A

8、 B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 2.3.2、若干常用公式若干常用公式BAAB (1)ABA (2)BAA (3)CAABBCCAAB (4)ABBABABA)( (5)AAA ) ()(BBA)1(BA )(BAAAA A BA 推廣推廣長中含短，長中含短，留下短。留下短。長中含反，長中含反，去掉反。去掉反。正負相對，正負相對，余全完。余全完。 BCAACAAB)(左BCAABCCAABCAAB公式公式 (4) 證明：

9、證明：CAABBCDCAAB推論推論ABBABABA)()()( BABA左)()(BA BABBABBAAA ABBA公式公式 (5) 證明：證明：即即)( BA= AB同理可證同理可證CAABBCCAAB AABA BA AB 將將Y 式中式中“.”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0”換成換成“1”,“1”換成換成“0” 原原變量換成變量換成反反變量，變量，反反變量換成變量換成原原變量變量2.4 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理1. 代入定理：代入定理：等式中某一變量都代之以一個邏等式中某一變量都代之以一個邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。輯函數(shù)，則等式仍然成立。例如，已知例如，已知B

10、ABA )( (用函數(shù)用函數(shù) A + C 代替代替 A) )則則BCABCABCA )()(2. 反演定理：反演定理：不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變運算順序：運算順序：括號括號 乘乘 加加注意注意:Y例如：例如：已知已知 )( 1CDCBAY )C ( ) (1DCBAYCDCBAY)( 2CDCBAY )(2反演定理的應(yīng)用：反演定理的應(yīng)用：求邏輯函數(shù)的反函數(shù)求邏輯函數(shù)的反函數(shù)則則 將將 Y 式中式中“.”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0”換成換成“1”,“1”換成換成“0” 原原變量換成變量換成反反變量，變量，反反變量換成變量換成原原變量變量已知已

11、知則則運算順序：運算順序：括號括號 與與 或或不屬于單個變量上不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變的反號應(yīng)保留不變Y注意注意括號括號3. 對偶定理：對偶定理：如果兩個表達式相等，則它們的對如果兩個表達式相等，則它們的對偶式也一定相等。偶式也一定相等。將將 Y 中中“. ”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0” 換成換成“1”,“1”換成換成“0” )()(1DC BCAYD )( 1CDCBAY CDCBAY)( 2CDCBAYD )(2例如例如對偶規(guī)則的應(yīng)用對偶規(guī)則的應(yīng)用：證明等式成立：證明等式成立 ) ( 對偶式DY運算順序：運算順序：括號括號 與與 或或 1 1、邏輯函數(shù)的定義、邏輯函

12、數(shù)的定義輸入邏輸入邏輯變量輯變量輸出邏輸出邏輯變量輯變量一一對應(yīng)一一對應(yīng)任何一種任何一種因果關(guān)系因果關(guān)系都可以用邏輯函數(shù)來表示。都可以用邏輯函數(shù)來表示。輸入和輸出變量的取值只能是輸入和輸出變量的取值只能是0或或1。2.5.1 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)例：例：舉重裁判的例子：設(shè)有三個裁判，分別用舉重裁判的例子：設(shè)有三個裁判，分別用A,B,C表示，表示，其中其中A是主裁判。規(guī)定至少有兩個裁判確認（其中必須包是主裁判。規(guī)定至少有兩個裁判確認（其中必須包含主裁判）時，運動員的試舉才算成功。含主裁判）時，運動員的試舉才算成功。2 2、邏輯函數(shù)的建立、邏輯函數(shù)的建立當(dāng)用當(dāng)用Y表示舉重結(jié)果時，表示舉重結(jié)果時，Y與與

13、A,B,C的邏輯關(guān)系可表示為：的邏輯關(guān)系可表示為：Y=F(A,B,C) =A(B+C) 真值表 邏輯式 邏輯圖 波形圖 卡諾圖 計算機軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法真值表輸入變量A B C輸出Y1 Y2 遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值 邏輯式 將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。 邏輯圖 用邏輯圖形符號表示邏輯運算關(guān)系，與邏輯電路的實現(xiàn)相對應(yīng)。 波形圖 將輸入變量所有取值可能與對應(yīng)輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。 卡諾圖 EDA中的描述方式 HDL (Hardware Descript

14、ion Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL EDIF（電子設(shè)計交換格式，Electronic Design Interchange Format ） DTIF（數(shù)字試驗交換格式Digital Test Interchange Format ） 。 舉例：舉重裁判電路A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 111 1 011 1 11)(CBAY 各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換： 真值表 邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表 A=0,B=1,C=1使 A

15、BC=1 A=1,B=0,C=1使 ABC=1 A=1,B=1,C=0使 ABC =1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以 Y= ? A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010110真值表 邏輯式： 找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合。 每組輸入變量取值對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。 將這些變量相加即得 Y。 把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表 邏輯式 邏輯圖1. 用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。)(CBAY 邏輯式 邏輯圖2. 從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯運算

16、式。 )( BAB)(BAA)()( BABABABABABABABABA )()()( 波形圖 真值表Q3Q2Q1Y0000001001000110100010101101一、最小項和最大項一、最小項和最大項 1.1. 最小項最小項 m最小項之和最小項之和- 標準與或式標準與或式 最大項之積最大項之積- 標準或與式標準或與式 m是乘積項 包含n個因子 n個變量均以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次最小項特點：最小項特點： 包括所有變量的乘積項，每個變量均以原變量或包括所有變量的乘積項，每個變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。反變量的形式出現(xiàn)一次。) ( A ,B FY ( ( 2 變量共有

17、變量共有 4 個最小項個最小項) )BA BABA AB) (A ,B ,C ,DFY ( ( 4 變量共有變量共有 16 個最小項個最小項) )( ( n 變量共有變量共有 2n 個最小項個最小項) )DCBADCBADABC ABCDDCBA) ( A ,B ,CFY ( ( 3 變量共有變量共有 8 個最小項個最小項) )CBACBACBABCACBACBA CAB ABC最小項的編號：最小項取值對應(yīng)編號A B C十進制數(shù)0 0 0 0m00 0 1 1m10 1 0 2m20 1 1 3m31 0 0 4m41 0 1 5m51 1 0 6m61 1 1 7m7ABCCABCBACBA

18、BCACBACBACBA對應(yīng)規(guī)律：對應(yīng)規(guī)律：原變量原變量 1 反變量反變量 01 CBA1 CBA對應(yīng)規(guī)律：對應(yīng)規(guī)律：1 原變量原變量 0 反變量反變量 最小項的性質(zhì)：最小項的性質(zhì)：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBA CBABCACBACBA CAB ABC(1) 任一最小項，只有一組對應(yīng)變量取值使其值為任一最小項，只有一組對應(yīng)變量取值使其值為 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意兩個最小項的乘積為任意兩個最小項的乘積為 0 ；(3) 全體最小項之和為全體最小項之和為 1 。（4）具有具有相鄰性相鄰性的兩個最小項可以合并，并消去一對因子。的兩個最小項可以合并，并消去一對因子。只有一個因子不同的兩個最小項是具有只有一個因子不同的兩個最小項是具有相鄰性相鄰性的最小