波源作簡諧振動時所形成的波稱為簡諧波

1、17-5 簡諧波簡諧波 (simple harmonic wave)波源作簡諧振動時所形成的波稱為波源作簡諧振動時所形成的波稱為簡諧波簡諧波。波面為平面的簡諧波稱為波面為平面的簡諧波稱為平面簡諧波平面簡諧波。已知已知O點(diǎn)振動表達(dá)式點(diǎn)振動表達(dá)式 y0 = A cos t y0表示振動方向上的位移，表示振動方向上的位移，A是振幅，是振幅，是角頻是角頻率或叫圓頻率。率或叫圓頻率。 O點(diǎn)振動傳到點(diǎn)振動傳到P點(diǎn)需要時間點(diǎn)需要時間 ，相位落后，相位落后 ，故故P點(diǎn)的振動為點(diǎn)的振動為uxux2)(cos)2cos(uxtAuxtAy此式是沿此式是沿x軸正方向傳播的平面簡諧波的表達(dá)式，軸正方向傳播的平面簡諧波

2、的表達(dá)式，稱為稱為平面簡諧波波函數(shù)平面簡諧波波函數(shù)。2由由、T、和和u之間關(guān)系，之間關(guān)系， ， ， 得平面簡諧波函數(shù)的另一些形式得平面簡諧波函數(shù)的另一些形式 22TuTu yAtTxyAtxyAtkxyAtxcos()cos()cos()cos()222式中式中 稱為稱為波數(shù)波數(shù)，表示在表示在2 2 米內(nèi)所包含的米內(nèi)所包含的 完整波的數(shù)目完整波的數(shù)目。 2k3波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義1. 當(dāng)當(dāng)x 一定時一定時，波函數(shù)表示了，波函數(shù)表示了距原點(diǎn)為距原點(diǎn)為x 處的質(zhì)點(diǎn)在不同時處的質(zhì)點(diǎn)在不同時刻的位移。即刻的位移。即x 處質(zhì)點(diǎn)的振動處質(zhì)點(diǎn)的振動方程（影片）。方程（影片）。2. 當(dāng)當(dāng)t 一定時

3、一定時，波函數(shù)表示了，波函數(shù)表示了給定時刻給定時刻Ox軸上各質(zhì)點(diǎn)的位軸上各質(zhì)點(diǎn)的位移分布情況（相片）。移分布情況（相片）。3. 當(dāng)當(dāng)t 和和x都變化時都變化時，波函數(shù)表示了所有質(zhì)點(diǎn)的位移，波函數(shù)表示了所有質(zhì)點(diǎn)的位移隨時間變化的整體情況（行波）。隨時間變化的整體情況（行波）。ptTyO4. x前的負(fù)號表示波沿前的負(fù)號表示波沿x軸正方向傳播，稱為軸正方向傳播，稱為右行波右行波；若波沿若波沿x軸負(fù)方向傳播，負(fù)號改為正號，即為軸負(fù)方向傳播，負(fù)號改為正號，即為左行波左行波。puxyOx4 一般情況下坐標(biāo)原點(diǎn)的振動應(yīng)寫為一般情況下坐標(biāo)原點(diǎn)的振動應(yīng)寫為 )cos(tAy0平面簡諧波波函數(shù)為平面簡諧波波函數(shù)為

4、)2cos(xtAy平面簡諧波波函數(shù)的復(fù)數(shù)表示平面簡諧波波函數(shù)的復(fù)數(shù)表示 )(uxtAyie該該復(fù)數(shù)的實(shí)部復(fù)數(shù)的實(shí)部才是我們關(guān)心的平面簡諧波波函數(shù)。才是我們關(guān)心的平面簡諧波波函數(shù)。 或者或者 )(kxtAyie5 盡管平面簡諧波波函數(shù)和簡諧振動的位移盡管平面簡諧波波函數(shù)和簡諧振動的位移時間關(guān)時間關(guān)系都是振幅與某個量的余弦函數(shù)的乘積，但是兩者之系都是振幅與某個量的余弦函數(shù)的乘積，但是兩者之間存在本質(zhì)上的差異。間存在本質(zhì)上的差異。 二者區(qū)別：二者區(qū)別： 波函數(shù)描述了介質(zhì)整體的運(yùn)動狀態(tài)，它是波函數(shù)描述了介質(zhì)整體的運(yùn)動狀態(tài)，它是x和和t變量的變量的函數(shù)，因此它不僅給出了任意給定點(diǎn)的振動，給出了任函數(shù)，

5、因此它不僅給出了任意給定點(diǎn)的振動，給出了任意時刻振動位移的分布，而且還反映了振動狀態(tài)在整個意時刻振動位移的分布，而且還反映了振動狀態(tài)在整個介質(zhì)中的傳播情況。介質(zhì)中的傳播情況。 而簡諧振動的位移而簡諧振動的位移時間關(guān)系，僅是時間關(guān)系，僅是t t的函數(shù)，只反的函數(shù)，只反映了特定振動質(zhì)點(diǎn)的振動狀態(tài)。所以，不僅要在相似映了特定振動質(zhì)點(diǎn)的振動狀態(tài)。所以，不僅要在相似的表示形式上注意到它們的差別，更重要的是應(yīng)該看的表示形式上注意到它們的差別，更重要的是應(yīng)該看到這種差別各自所代表的物理涵義。到這種差別各自所代表的物理涵義。6 例例1: 以以y = 0.040 cos 2.5 t m 的形式作簡諧振動的的形式

6、作簡諧振動的波源，在某種介質(zhì)中以波源，在某種介質(zhì)中以100 m s-1的速率傳播。的速率傳播。 (1) 求求平面簡諧波函數(shù)；平面簡諧波函數(shù)；(2) 求在波源起振后求在波源起振后1.0 s、距波源距波源20 m處質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度。處質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度。 解：解：(1)以波源為原點(diǎn)、傳播方向?yàn)橐圆ㄔ礊樵c(diǎn)、傳播方向?yàn)閤軸正方向軸正方向,根據(jù)題意知根據(jù)題意知：A = 0.040 m， = 2.5 rad s 1 ， u = 100 m s 1 )(cosuxtAy波函數(shù)為波函數(shù)為m100520400)(.cos.xty所以所以(2) 在在x = 20 m 處質(zhì)點(diǎn)振動表示為處質(zhì)點(diǎn)振動表示

7、為 y = 0.040 cos 2.5 (t 0.20) m = 0.040 cos (2.5 t 0.50 ) m 7在波源起振后在波源起振后1.0 s時的位移為時的位移為 y = 0.040 cos 2.0 m = 4.0 10 2 m 速度為速度為 0sm0 . 2sin040. 05 . 2)20. 0(5 . 2sindd1 -tAtyv加速度為加速度為 2-2-2222sm5 . 2sm0 . 2cos040. 0)5 . 2()20. 0(5 . 2cosddtAtya式中負(fù)號表示加速度的方向與位移的方向相反。式中負(fù)號表示加速度的方向與位移的方向相反。 8 例例2: 有一簡諧波，

8、坐標(biāo)原點(diǎn)按有一簡諧波，坐標(biāo)原點(diǎn)按y=Acos( t+ )的規(guī)律的規(guī)律 振動。已知振動。已知A =0.10 m，T =0.50 s， =10 m，試求：，試求：(1) 此平面簡諧波的波函數(shù)；此平面簡諧波的波函數(shù)；(2) 波線上相距波線上相距2.5m的兩的兩點(diǎn)的相位差；點(diǎn)的相位差；(3) 假如假如t = 0時處于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的時處于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的振動位移為振動位移為 y0 = 0.050m，且向平衡位置運(yùn)動，求初，且向平衡位置運(yùn)動，求初相位，并寫出波函數(shù)。相位，并寫出波函數(shù)。 解解: (1)波函數(shù)為波函數(shù)為)(2cos)2cos(xtAxtAy由題意知：由題意知：A = 0.10 m， = 10 m， 1 -s021.Tm)100 . 2(2cos10. 0 xty所以所以9(2) 兩點(diǎn)間相位差兩點(diǎn)間相位差2105 . 22)5 . 2(2xx(3)將將t = 0和和y = 0.050 m代入振動方程得代入