離散傅立葉變換(DFT)

1、 （3） X (k = k = ( 1 ( N + k 2 k 2 k （4） 2k N 2k k （5） X (k = cos( + j sin( , N N X (k = cos 2 ( （6） 2 k N X (k = e j 2 k N 4 1 j k 1 j k 1+ e N e N 6 6 2 3.3 已知下列 X (k ，求 x( n = IDFT X ( k （1） N j 2 e , N X ( k = e j , 2 0 k =m k = N m 其它k （2） N j k =m j 2 e , N X ( k = j e j , k = N m 2 0 其它k 其中，m

2、為正整數(shù)， 0 < n < N / 2 ，N 為變換區(qū)間長度。 3.4 序列 x(n = (n + 2 (n 2 + (n 3 （1） （2） 求 x( n 的 4 點(diǎn) DFT。 若 y (n 是 x( n 與它本身的 4 點(diǎn)循環(huán)卷積，求 y (n 及其 4 點(diǎn) DFT Y (k 。 112 （3） h(n = (n + (n 1 + 2 (n 3 ， 求 x( n 與 h( n 的 4 點(diǎn)循環(huán)卷積。 3.5 設(shè) X (k 表示 N 點(diǎn)序列 x( n 的 N 點(diǎn)離散傅立葉變換， X (k 本身也是 N 點(diǎn) 序列。如果計(jì)算 X (k 的離散傅立葉變換得到一序列 x1 ( n ，試用

3、x(n 求 x1 ( n 。 3.6 設(shè)有兩個序列 y(n= x ( n , 0, 0n5 其它 n 各作 15 點(diǎn)的 DFT，然后將兩個 DFT 相乘，再求乘積的 IDFT，設(shè)所得的結(jié)果 為 f ( n ，問 f ( n 的哪些點(diǎn)（用序號 n 表示）對應(yīng)于 x( n * y (n 應(yīng)該得到的點(diǎn)。 3.7 已知兩個有限長序列為 n + 1, x ( n = 0, n + 1, y ( n = 0, 0n3 4n6 0n4 5n6 試用作圖表示 x( n, y ( n 以及 x( n y ( n 。 3.8 已知 x(n 是 N 點(diǎn)有限長序列， X (k = DFT x (n ，現(xiàn)將 x(n 的

4、每兩點(diǎn)之 間補(bǔ)進(jìn) r 1 個零點(diǎn)值，得到一個 rN 點(diǎn)的有限長序列 y ( n x(n / r , y ( n = 0, n = ir , 其它n i = 0,1,", N 1 試求 rN 點(diǎn)的 DFT Y (n 與 X (k 的關(guān)系。 3.9 設(shè)有一譜分析用的信號處理器，抽樣點(diǎn)數(shù)必須為 2 的整數(shù)冪，假定沒有采用 任何特殊數(shù)據(jù)處理措施，要求頻率分辨率10Hz，如果采用的抽樣時間間隔為 0.1ms，試確定： （1）最小記錄長度； （2）所允許處理的信號的最高頻率； （3）在一個記錄中的最少點(diǎn)數(shù)。 113 3.10 序列 x( n 的共軛對稱和共軛反對稱分量分別為： 1 x(n e =

5、 x(n + x * ( n, 2 1 x(n o = x(n x * (n 2 長度為 N 的有限序列 x( n(0 n N 1 的圓周共軛對稱和圓周共軛反對稱分 量分別定義如下： 1 x(n ep = x(n N + x * ( n N RN (n 2 1 x(n op = x(n N x * ( n N RN (n 2 （1） 證明 x(n ep = xe (n + xe (n N RN (n x(n op = xo (n + xo (n N RN (n （2） 把 x( n 看作是長度為 N 的序列，一般說，不能從 xep ( n 恢復(fù) xe ( n ， 也不能從 xop (n 恢復(fù)

6、xo ( n 。 試證明若把 x( n 看作是長度為 N 的序列， 且n N /2 時， x( n = 0 ，則從 xep ( n 可恢復(fù) xe ( n ，從 xop (n 可恢復(fù) xo ( n 。 3.11 設(shè) X (k 表示 N 點(diǎn)序列 x( n 的 N 點(diǎn)離散傅立葉變換， （1） （2） 證明如果當(dāng) x( n 滿足關(guān)系式 x( n = x( N 1 n, 則 x(0 = 0 。 證明當(dāng) N 為偶數(shù)時，如果 x( n = x( N 1 n, 則 x( N / 2 = 0 。 3.12 證明 DFT 對稱定理，即假設(shè) X (k = DFT x(n 證明 DFT X (n = Nx (n k

7、3.13 如果 X (k = DFT x(n ，證明 DFT 的初值定理 114 x(0 = 1 N 1 X (k N k =0 3.14 證明離散相關(guān)定理。 若 X (k = X 1 (k X 2 (k ， 則 N 1 l =0 * x(n = IDFT X (k = x1 (l x2 (l + n N RN (n * 3.15 已知序列 x( n = a u ( n ，0 < a < 1 ,對 x( n 的 Z 變換 X(z在單位圓上等間 n 隔采樣 N 點(diǎn)，采樣值為 X (k = X ( z z =e j 2 k N ， k = 0,1,", N 1 求有限長序列 x N (n = IDFT ( X (k 。 3.16 已知調(diào)幅信號的載波頻率 f c = 1kHz ，調(diào)幅信號的頻率 f m = 100 Hz ，用 FFT 對其進(jìn)行譜分析，試問： （1） 最小記錄時間 T p min ； （2） 最大取樣間隔 Tmax ； （3） 最少采樣點(diǎn)數(shù) N min ； （4） 在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的 N 值。 3.17 以 20kHz 的采樣率對最高頻率為 10kHz 的帶限信號 xa (t ，然后計(jì)