用空間向量法求解立體幾何問題典例及解析(學(xué)生用)

1、用空間向量法求解立體幾何問題典例及解析以多面體為載體,以空間向量為工具,來論證和求解空間角、距離、線線關(guān)系以及線面關(guān)系相關(guān)問題,是近年來高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn),用空間向量解立體幾何問題,極大地降低了求解立幾的難度,很大程度上呈現(xiàn)出程序化思想。更易于學(xué)生們所接受,要高度重視空間向量的工具性。首先,梳理一下利用空間向量解決立體幾何的知識(shí)和基本求解方法。一、利用空間向量求空間角(1兩條異面直線所成的夾角范圍:兩條異面直線所成的夾角的取值范圍是 。向量求法:設(shè)直線,a b 的方向向量為a,b ,其夾角為,則有cos _.=(2直線與平面所成的角定義:直線與平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的

2、角。 范圍:直線和平面所夾角的取值范圍是 。向量求法:設(shè)直線l 的方向向量為a ,平面的法向量為n ,直線與法向量所成角的余弦值為|cos |_.=直線與平面所成的角為,則有sin _.=或在平面內(nèi)任取一個(gè)向量m ,則|cos |_.=.(3二面角二面角的取值范圍是 . 二面角的向量求法:方法一:在兩個(gè)半平面內(nèi)任取兩個(gè)與棱垂直的向量,則這兩個(gè)向量所成的 即為所求的二面角的大小;方法二:設(shè)1n ,2n 分別是兩個(gè)面的 ,則向量1n 與2n 的夾角(或其補(bǔ)角即為所求二面角的平面角的大小。二、利用空間向量求空間距離(1點(diǎn)面距離的向量公式平面的法向量為n ,點(diǎn)P 是平面外一點(diǎn),點(diǎn)M 為平面內(nèi)任意一點(diǎn),

3、則點(diǎn)P 到平面的距離d就是 ,即d =|MP n n .(2線面、面面距離的向量公式平面直線l ,平面的法向量為n ,點(diǎn)M 、P l ,平面與直線l 間的距離d 就是在向量n 方向射影的絕對(duì)值,即d = .平面,平面的法向量為n ,點(diǎn)M 、P ,平面與平面的距離d 就是MP 在向量n方向射影的絕對(duì)值,即d =|MP n n .(3異面直線的距離的向量公式設(shè)向量n 與兩異面直線a 、b 都垂直,M a 、P b ,則兩異面直線a 、b 間的距離d 就是在向量n方向射影的絕對(duì)值,即d =|MP n n .三、利用空間向量解證平行、垂直關(guān)系1:所謂直線的方向向量,就是指 的向量,一條直線的方向向量有

4、 個(gè)。 所謂平面的法向量,就是指所在直線與平面垂直的直線,一個(gè)平面的法向量也有 個(gè)。 :2.線線平行證明兩條直線平等,只要證明這兩條直線的方向向量是 ,也可以證這兩條直線平行于同一個(gè)平面的法向量。 3線面平行證明線面平行的方法:(1證明直線的方向向量與平面的法向量 ;(2證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量 ;(3利用共面向量基本定理,即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量是 。 4.面面平行的證明方法:(1轉(zhuǎn)化為 、 處理; (2證明這兩個(gè)平面的法向量是 。 5利用空間向量解證垂直關(guān)系.線線垂直:證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是 ; .線面垂直的證明方法:證

5、明線面垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是 ; 證明直線與平面內(nèi)的 ; .面面垂直的證明方法:轉(zhuǎn)化為證明 、 ; 證明這兩個(gè)平面的法向量是 。典題賞析:例題12011·四川理如圖所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,BAC =90°,AB =AC =AA 1=1,延長A 1C 1至點(diǎn)P ,使C 1P =A 1C 1, 連結(jié)AP 交棱CC 1于點(diǎn)D. (1求證:PB 1平面BDA 1;(2求二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值.解:如圖17-1,以A 1為原點(diǎn),A 1B 1,A 1C 1,A 1A 所在直線分別為x 軸,y 軸,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)

6、1-xyz ,則A 1(0,0,0,B 1(1,0,0,C 1(0,1,0,B(1,0,1,P(0,2,0.(1在PAA 1中有C 1D =12AA 1,即D 0,1,12. A 1B =(1,0,1,A 1D =0,1,12,B 1P =(-1,2,0.設(shè)平面BA 1D 的一個(gè)法向量為n 1=(a ,b ,c,則n 1·A1B =a +c =0,n 1·A 1D =b +12c =0.令c =-1,則n 1= 1,12,-1.圖1-7第1題n 1·B 1P =1×(-1+12×2+(-1×0=0,PB 1平面BDA 1,(2由(1知

7、,平面BA 1D 的一個(gè)法向量n 1= 1,12,-1. 又n 2=(1,0,0為平面AA 1D 的一個(gè)法向量,cos n 1,n 2=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=11×32=23.故二面角A -A 1D -B 的平面角 的余弦值為23.例題2:如圖,在四棱錐P ABCD -中,底面ABCD 為矩形, 側(cè)棱PA 底面ABCD,AB =1BC =,2PA =, E 為PD 的中點(diǎn).(求直線AC 與PB 所成角的余弦值;(在側(cè)面PAB 內(nèi)找一點(diǎn)N ,使NE 面PAC ,并求出點(diǎn)N 到AB 和AP 的距離.解:(建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,A B C D

8、 P E 的坐標(biāo)為(0,0,0A 、B、,0C 、(0,1,0D 、(0,0,2P 、1(0,12E , 從而.2,0,3(,0,1,3(-=PB AC 設(shè)與的夾角為,則,1473723cos = AC 與PB 所成角的余弦值為1473.(由于N 點(diǎn)在側(cè)面PAB 內(nèi),故可設(shè)N 點(diǎn)坐標(biāo)為(,0,x z ,則1,21,(z x NE -=,由NE 面PAC 可得,=+-=-=-=-=.0213,01.00,1,3(1,21,(,02,0,0(1,21,(.0,0x z z x z x AC NE 化簡得即 =163z x 即N 點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0,63(,從而N 點(diǎn)到AB 和AP 的距離分別為. 因

9、此 BM =22,24,0,所以線段BM 的長|BM |=104.2-1第2題A BCDC 1D 1 A 1B 1第3題 3-1 例題3. 已知正方體1111ABCD A BC D -的棱長為a . (1求點(diǎn)1C 到平面11AB D 的距離;(2求平面11CDD C 與平面11AB D 所成的二面角余弦值 解 (1按如圖3-1所示建立空間直角坐標(biāo)系,可得有 關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為(000A ,、1(0D a a ,、1(B a a ,0,、1(C a a a ,向量1(C A a a a =-,1(0AD a a =,1(AB a a = ,0,.設(shè)(n x y z =,是平面11AB D 的法向量,于

10、是,有110n AD n AB = ,即00ay az ax az +=+=. 令1z =-,得11x y =,.于是平面11AB D 的一個(gè)法向量是 (1n =,1,-1. 因此,1C 到平面11AB D 的距離1|C A n d a n =.(也可用等積法求得(2 由(1知,平面11AB D 的一個(gè)法向量是(111n =-,.又因11AD CDD C 平面,故平面11CDD C 的一個(gè)法向量是1(010n =,. 設(shè)所求二面角的平面角為(結(jié)合圖形可知二面角是銳角,即為銳角,則11|cos |n n n n =例題4:已知四棱錐P ABCD -的底面為直角梯形,/AB DC ,=PA DAB

11、 ,90 底面ABCD ,且12PA AD DC =,1AB =,M 是PB 的中點(diǎn)。(證明:面PAD 面PCD ; (求 AC 與PB 所成的角;(求面AMC 與面BMC 所成二面角的余弦值。4-1第4題證明:以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)AD 長為單位長度,如圖4-1建立空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為1(0,0,0,(0,2,0,(1,1,0,(1,0,0,(0,0,1,(0,1,2A B C D P M .(證明:因.,0,0,1,0(,1,0,0(DC AP DC AP DC AP =所以故由題設(shè)知AD DC ,且AP 與AD 是平面PAD 內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC 面PAD .又DC 在面PCD

12、 上,故面PAD 面PCD .(解:因,1,2,0(,0,1,1(-=.510|,cos ,2,5|,2|=>=<=PB AC PB AC 所以故(解:在MC 上取一點(diǎn)(,N x y z ,則存在,R 使,MC NC =.21,1,1,21,0,1(,1,1(=-=-=-=z y x z y x要使14,00,.25AN MC AN MC x z =-= 只需即解得,52,1,51(,52,1,51(,.0,52,1,51(,54=-=MC BN BN AN MC AN N 有此時(shí)能使點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)可知當(dāng) ANB MC BN MC AN =所以得由.,0,0為所求二面角的平面角.4|.

13、555 2cos(,.3|23AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN =-=-故所求的二面角的余弦值 題目5:如圖,PA 平面ABCD ,四邊形ABCD 是正方形, 2=AD PA ,點(diǎn)E 、F 、G 分別為線段PA 、PD 和CD 的中點(diǎn).(1求異面直線EG 與BD 所成角的余弦值 (2在線段CD 上是否存在一點(diǎn)Q ,使得點(diǎn)A 到平面EFQ 的距離恰為45?若存在,求出線段CQ 的長;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解:(1以點(diǎn)A 為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AZ AD AB ,分別為軸軸、軸、z y x 的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示4-1,第5-1第5題點(diǎn)1,0,0(E 、0,2,1(

14、G 、0,0,2(B 、0,2,0(D ,則1,2,1(-=,0,2,2(-=.設(shè)異面直線EG 與BD 所成角為= cos 638642=+-=,所以異面直線EG 與BD 所成角大小為. (2假設(shè)在線段CD 上存在一點(diǎn)Q 滿足條件,設(shè)點(diǎn)Q 0,2,(0x ,平面EFQ 的法向量為,(z y x n =,則有=0n n 得到0,0xx z y =,取1=x ,所以,0,1(0x n =,則8.0=,又00>x ,解得340=x ,所以點(diǎn)0,2,34(Q 即0,0,32(-=32 =.所以在線段CD 上存在一點(diǎn)Q 滿足條件,且長度為32. 例題5:如圖,在四棱錐P ABCD -中,底面ABC

15、D 為矩形,PD 底面ABCD ,E 是AB 上一點(diǎn),PF EC . 已知,21,2,2= AE CD PD 求(異面直線PD 與EC 的距離; (二面角E PC D -的大小.解:(以D 為原點(diǎn),DA 、DC 、DP 分別為,x y z 軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知可得(0,0,0,(0,2,0D P C 設(shè),0,2,(,0(0,0,(x B x x A 則>.0,23,(,2,21,(,0,21,(-=-=x x x E 由0=CE PE 得, 即.23,0432=-x x 故 由 CE DE =-=得00,23,23(0,21,23(, 又PD DE ,故DE 是異面直線PD 與

16、CE 的公垂線, 易得1|=,故異面直線PD ,CE 的距離為1.(作DG PC ,可設(shè)(0,G y z .由0=得02,2,0(,0(=-z y第:6題即,2,1,0(,2=y z 故可取作EF PC 于F ,設(shè)(0,F m n ,則.,21,23(n m -= 由0212,02,2,0(,21,23(0=-=-=n m n m 即得, 又由F 在PC 上得.22,21,23(,22,1,222-=+-=n m m n 故 因,故E PC D -的平面角的大小為向量DG EF 與的夾角. 故,4,22cos =即二面角E PC D -的大小為.4 總之,在利用空間向量解決立體幾何問題時(shí),經(jīng)常

17、是通過建立空間直角坐標(biāo)系,及點(diǎn)的坐標(biāo)做為溝通向量與幾何圖形關(guān)系的紐帶和橋梁的,恰當(dāng)建系,準(zhǔn)確示點(diǎn),是關(guān)鍵,故而,要適當(dāng)?shù)募訌?qiáng)解題訓(xùn)練,并及時(shí)總結(jié),感悟方法,提升能力。訓(xùn)練題:1.正方體1111D C B A ABCD -中,M 是1DD 的中點(diǎn),O 是底面ABCD 的中心,P 是棱11A B 上任意一點(diǎn),則直線OP 與直線AM 所成的角是( C A 4 B 3 C 2D 與P 點(diǎn)的位置有關(guān) 2. 空間中有四點(diǎn),A B C D ,其中(2,2AB m m = ,(,1,5CD m m =+- ,且AB CD += 13(5,33-,則直線AB 和CD ( D A 平行 B 平行或重合 C 必定相

18、交 D 必定垂直3若向量(1,2,(2,1,2.=-a b a,b 夾角的余弦值是89,則的值為( C A.2B.-2C.-2或255D.2或255-4直線l 的方向向量為a ,平面內(nèi)兩共點(diǎn)向量,OA OB ,下列關(guān)系中能表示/l 的是(D A.a =OAB.a =kOBC.a =pOA OB +D.以上均不能5以下向量中與向量a =(1,2,3,b =(3,1,2都垂直的向量為( C A.(1,7,5 B.(1,-7,5 C.(-1,-7,5 D.(1,-7,-56在正方體1111D C B A ABCD -中,棱長為a ,M N 分別是1A B 和AC 上的點(diǎn),1A M=3 AN =,則M

19、N 與平面11BB C C 的關(guān)系是( B A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定7已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的底ABC 為直角三角形,C =90°側(cè)棱與底面成60°角,B 1點(diǎn)在底面射影D 為BC 中點(diǎn),若側(cè)面A 1ABB 1與C 1CBB 1成30°的二面角,BC=2cm ,則四棱錐A B 1BCC 1的體積是( B A3232cm B. 3332cm C 3322cmD 32 8.已知三個(gè)向量,OA OB OC 兩兩之間的夾角為060,又|1,|2,|O A O B O C = ,則|OA OB OC +=( C A.3B.4C.5D.6 9

20、. 在長方體1111ABCD-A B C D 中,1,2AB BC a AA a =,則1D 到直線AC 的距離為( A A.2aB.2C.2a 10. ABCD 是邊長為2的正方形,以BD 為棱把它折成直二面角A BD C ,E 是CD 的中點(diǎn),則異面直線AE 、BC 的距離為 ( A A.2 B.3 C.23D.111. 在正方體1111D C B A ABCD -的側(cè)面11A ABB 內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P 到直線11B A 與直線BC 的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P 所在的曲線的形狀為 ( B B 1 BB 1BA B 1 BB 1B12. 對(duì)于向量a ,b ,定義a×b 為向量a ,b 的向量

21、積,其運(yùn)算結(jié)果為一個(gè)向量,且規(guī)定a×b 的模|a×b|=|a|b|sin (其中為向量a 與b 的夾角,a×b 的方向與向量a ,b的方向都垂直,且使得a ,b ,a×b 依次構(gòu)成右手系.如圖,在平行六面體ABCD -EFGH 中,EAB=EAD=BAD=60°,AB =AD =AE =2,則(AB AD AE = ( D A. 4B. 8C. 13. 設(shè)O 是平面ABC 外一點(diǎn),點(diǎn)P 滿足311488OP OA OB OC =+,則直線AP 與平面ABC 的位置關(guān)系是 AP 平面ABC14. 在空間四邊形ABCD 中,AB BC CD DA

22、E F G =分別是,CD DA 和對(duì)角線AC 的中點(diǎn),則平面BEF 與平面BDG 的位置關(guān)系是 平面BEF 平面BDG15.設(shè)正四棱錐S-ABCD 的側(cè)棱之長為2,底面邊長為3,E 是SA 的中點(diǎn),則異面直線BE 與SC 所成的角等于_316. 在空間直角坐標(biāo)系中,對(duì)其中任何一向量123(,X x x x =,定義范數(shù)|X ,它滿足以下性質(zhì):(1|0X ,當(dāng)且僅當(dāng)X 為零向量時(shí),不等式取等號(hào); (2對(duì)任意的實(shí)數(shù),|X X =(注:此處點(diǎn)乘號(hào)為普通的乘號(hào)。 (3|X Y X Y +。試求解以下問題:在平面直角坐標(biāo)系中,有向量12(,X x x =,下面給出的幾個(gè)表達(dá)式中,可能表示向量X 的范數(shù)

23、的是_(把所有正確答案的序號(hào)都填上 (1(4(122212x x + 17. 2011·天津卷 如圖所示,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,H 是正方形AA 1B 1B 的中心,AA 1=22,C 1H 平面AA 1B 1B ,且C 1H = 5. (1求異面直線AC 與A 1B 1所成角的余弦值; (2求二面角A -A 1C 1-B 1的正弦值;(3設(shè)N 為棱B 1C 1的中點(diǎn),點(diǎn)M 在平面AA 1B 1B 內(nèi),且MN 平面A 1B 1C 1,求線段BM 的長. 解:如圖18-1所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B 為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意得A(22,0,0,B(0,0,0,C(2,-2

24、,5, A 1(22,22,0,B 1(0,22,0,C 1(2,2,5.(1易得AC =(-2,-2,5,A 1B 1=(-22,0,0,于是cos AC ,A 1B 1=AC ·A 1B 1|AC |A 1B 1|=43×22=23.所以異面直線AC 與A 1B 1所成角的余弦值為23. (2易知AA 1=(0,22,0,A 1C 1 =(-2,-2,5.設(shè)平面AA 1C 1的法向量m =(x ,y ,z,則m ·AA 1=0m ·A 1C 1=0即22y=0-2x -2y+5z=0 ABC D EF GH不妨令x =5,可得m =(5,0,2.同樣

25、地,設(shè)平面A 1B 1C 1的法向量n =(x ,y ,z,則n ·A 1C 1=0n ·A 1B 1=0 即-2x-2y+5z=0-22x=0不妨令y =5,可得n =(0,5,2.于是cos m ,n =m ·n | m |·|n |=27·7=27,從而sin m ,n =357.所以二面角A -A 1C 1-B 1的正弦值為357.(3由N 為棱B 1C 1的中點(diǎn),得N 22,322,52.設(shè)M(a ,b,0,則MN = 22-a ,322-b ,52.由MN 平面A 1B 1C 1,得MN ·A 1B 1=0MN ·

26、;A 1C 1=0即 22-a ·-22=0, 22-a ·-2+322-b ·-2+52·5=0.得a =22,b =24,|BM|=104 18.如圖,四棱錐ABCD P -中,PA 平面ABCD ,底面ABCD 是 直角梯形,且CD AB /,90=BAD ,2=DC AD PA ,4=AB 。 (1求證:PC BC ;(2求點(diǎn)A 到平面PBC 的距離。解:.(1如圖建系,則2,0,0(,0,2,2(,0,0,2(,0,4,0(P C D B 2,2,2(,0,2,2(-=-=PC BC ,022(22=-+=PC BC ,故PCBC 。(22,2

27、,2(,2,4,0(-=-=PC PB ,設(shè)平面PBC 的法向量為,(c b a n =,依題意,=-+=-=00200c b a c b n PC n PB ,取2,1,1(=n 。0,4,0(=AB ,所以點(diǎn)A 到平面PBC 的距離36264=d 。19. 如右下圖,在長方體ABCD A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分別是線段AB 、BC 上的點(diǎn),且EB= FB=1.(1 求二面角C DE C 1的正切值; (2 求直線EC 1與FD 1所成的余弦值.解:(I 以A 為原點(diǎn),1,AA AD AB 分別為x 軸,y 軸,z 軸的正向建立

28、空間直角坐標(biāo)系,則有D(0,3,0、D 1(0,3,2、E(3,0,0、F(4,1,0、C 1(4,3,2,故2,2,4(,2,3,1(,0,3,3(11-=-=FD EC第18題設(shè)向量,(z y x =與平面C 1DE 垂直,則有 22t an 36400411220101|cos ,2,0,0(,2,1,1(0,2,1,1(2,2,2(21023033101011011001=+-=-=-=>-=-=-=+=-AA n C DE C AA n CDE AA DE C n n z zz z z zy x z y x y x EC DE n 的平面角為二面角所成的角與垂直與平面向量垂直的

29、向量是一個(gè)與平面則取其中(II 設(shè)EC 1與FD 1所成角為,則1421224(23122234(1|cos 2222221111=+-+-=FD EC FD EC 20. 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的側(cè)棱長和底面邊長均為1,M 是底面BC 邊上的中點(diǎn),N 是側(cè)棱CC 1上的點(diǎn),且CN =2C 1N .(求二面角B 1-AM -N 的平面角的余弦值;(求點(diǎn)B 1到平面AMN 的距離。解(建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則1B (0,0,1,M (0,12,0,C(0,1,0, N (0,1,23 , A (1,022-, 所以(2AM = ,11(0,12MB =- ,12(0,23

30、MN =因?yàn)?100(010 2MB AM =+-+= 所以1MB AM ,同法可得MN AM 。 故1,MB MN為二面角1B AM N 的平面角 cos 1,MB MN =115MB MN MB MN = 故二面角1B AM N的平面角的余弦值為。(設(shè)n=(x, y, z為平面AMN 的一個(gè)法向量,則由,n AM n MN 得 004120323x x y z y z =-+=, 故可取 3(0,14n =- 設(shè)1MB與n 的夾角為a,則11cos MB n a MB n =。第20題第19題 所以1B 到平面AMN的距離為1cos 1MB a = 。21. 如圖,所示的多面體是由底面為A

31、BCD 的長方體被截面AEC1F 所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(求BF 的長;(求點(diǎn)C 到平面AEC1F 的距離. 解:(I 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D (0,0,0,B (2,4,0,A (2,0,0,C (0,4,0,E (2,4,1,C1(0,4,3.設(shè)F (0,0,z . AEC1F 為平行四邊形,.62,62|.2,4,2(.2,0,0(.2,2,0,2(,0,2(,11的長為即于是得由為平行四邊形由BF F z z EC F AEC =-=-=-=(II 設(shè)1n 為面AEC1F 的法向量,1,(,11y x n ADF n =故可設(shè)不垂直于

32、平面顯然=+-=+=02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由-=+-=+.41,1,022,014y x x y 即 111,3,0,0(n CC CC 與設(shè)又=的夾角為a ,則1111cos |CC n CC n =C 到平面AEC1F 的距離為.11334333343cos |1=CC d131311CC S hS BDC BDC =,131312=h ,即直線1AB 到平面BD 1C 的距離是131312. 22.已知四棱錐P ABCD -的底面為直角梯形,/AB DC ,=PA DAB ,90 底面ABCD ,且12PA AD DC =,1AB =,M 是P

33、B 的中點(diǎn)。 (證明:面PAD 面PCD ; (求AC 與PB 所成的角;(求面AMC 與面BMC 所成二面角的大小。證明:以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)AD 長為單位長度,如圖25-1建立空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為1(0,0,0,(0,2,0,(1,1,0,(1,0,0,(0,0,1,(0,1,2A B C D P M . (證明:因.,0,0,1,0(,1,0,0(DC AP =所以故 由題設(shè)知AD DC ,且AP 與AD 是平面PAD 內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC 面PAD .又DC 在面PCD 上,故面PAD 面PCD .(解:因,1,2,0(,0,1,1(-=PB AC第21題第22題22-1.

34、510|,cos ,2,5|,2|=>=<=PB AC PB AC PB AC 所以故(解:在MC 上取一點(diǎn)(,N x y z ,則存在,R 使,=.21,1,1,21,0,1(,1,1(=-=-=-=z y x z y x要使14,00,.25AN MC AN MC x z =-= 只需即解得,52,1,51(,52,1,51(,.0,52,1,51(,54=-=N 有此時(shí)能使點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)可知當(dāng)ANB MC BN MC AN =所以得由.,0,0為所求二面角的平面角.4|.5 2cos(,.3|2arccos(.3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN =-=-

35、故所求的二面角為 23.如圖,在四棱錐V ABCD -中,底面ABCD 是正方形,側(cè)面VAD 是正三角形,平面VAD 底面ABCD . (證明:AB 平面VAD ;(求面VAD 與面DB 所成的二面角的大小.證明:以D 為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)圖系.(證明:不防設(shè)作(1,0,0A ,則(1,1,0B , 23,0,21(V , 23,0,21(,0,1,0(-=由,0=VA AB 得AB VA ,又A B A D ,因而AB 與平面VAD 內(nèi)兩條相交直線VA ,AD 都垂直. AB 平面VAD .(解:設(shè)E 為DV 中點(diǎn),則43,0,41(E , .23,0,21(,43,1,43(,4

36、3,0,43(=-=-=DV EB EA第23題由.,0DV EA DV EB =又得 因此,AEB 是所求二面角的平面角,721|,cos(=EB EA EB EA 解得所求二面角的大小為.721arccos24.如圖所示的多面體是由底面為ABCD 的長方體被截面1AEC F 所截面而得到的,其中14,2,3,1AB BC CC BE =.(求BF 的長;(求點(diǎn)C 到平面1AEC F 的距離.解:(I 建立如圖28-1所示的空間直角坐標(biāo)系,則(0,0,0D ,(2,4,0B1(2,0,0,(0,4,0,(2,4,1,(0,4,3A C E C 設(shè)(0,0,F z .1AEC F 為平行四邊形

37、,.62,62|.2,4,2(.2,0,0(.2,2,0,2(,0,2(,11的長為即于是得由為平行四邊形由BF F z z EC F AEC =-=-=-=(II 設(shè)1n 為平面1AEC F 的法向量,1,(,11y x n ADF n =故可設(shè)不垂直于平面顯然 =+-=+=02020140,0,011y x y x AF n n 得由-=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111,3,0,0(n CC CC 與設(shè)又=的夾角為,則 .333341161133|cos 1111=+=n CC 第 24題24-1C 到平面1AEC F 的距離為.11334333343cos |1

38、=CC d 25.如圖,在長方體1111ABCD A BC D -,中,11,2AD AA AB =,點(diǎn)E 在棱AD 上移動(dòng).(1證明:11D E A D ;(2當(dāng)E 為AB 的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E 到面1ACD 的距離; (3AE 等于何值時(shí),二面角1D EC D -的大小為4.解:以D 為坐標(biāo)原點(diǎn),直線1,DA DC DD 分別為,x y z 軸, 建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AE x =,則11(1,0,1,(0,0,1,(1,0,(1,0,0,(0,2,0A D E x A C (1.,01,1(,1,0,1(,1111D DA x D =-=所以因?yàn)?(2因?yàn)镋 為AB 的中點(diǎn),則(1,1,0E

39、 ,從而0,2,1(,1,1,1(1-=-=AC E D ,1,0,1(1-=AD ,設(shè)平面1ACD 的法向量為,(c b a =,則= 1AD AC n 也即=+-=+-002c a b a ,得=c a ba 2,從而2,1,2(=,所以點(diǎn)E 到平面1ACD 的距離為.313212|1=-+=n h (3設(shè)平面1D EC 的法向量,(c b a =,1,0,0(,1,2,0(,0,2,1(11=-=-=DD D x由=-+=-=.02(02,0,01x b a c b CE n D 令1,2,2b c a x =-, .2,1,2(x -= 依題意.2252(2224cos211=+-=x

40、 321+=x (不合,舍去,322-=x . 2AE =1D EC D -的大小為4 . 26.如圖,在四棱錐P ABCD -中,底面ABCD 為矩形,PD 底面ABCD ,E 是AB 上第29題A 1AC 1BCE一點(diǎn)， PF EC . 已知 PD = 2 , CD = 2, AE = 1 , 2 求（）異面直線 PD 與 EC 的距離； （）二面角 E - PC - D 的大小. 解： （）以 D 為原點(diǎn)， DA 、 DC 、 DP 分別為 x, y, z 軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知可得 D(0,0,0, P(0,0, 2, C(0, 2,0 設(shè) A( x,0,0(x > 0,

41、則B( x,2,0, 第 26 題 由 1 1 3 E ( x, ,0, PE = ( x, ,- 2 , CE = ( x,- ,0. 2 2 2 PE CE得PE × CE = 0 ， 即x - 2 3 1 3 3 3 3 = 0, 故x = . 由 DE × CE = ( , ,0 × ( ,- ,0 = 0得DE CE ， 2 2 2 2 4 2 又 PD DE ，故 DE 是異面直線 PD 與 CE 的公垂線，易得 | DE |= 1 ，故異面直線 PD , CE 的距離為 1 . （）作 DG PC ，可設(shè) G(0, y, z .由 DG ×

42、 PC = 0 得 (0, y, z × (0,2,- 2 = 0 即z= 2 y, 故可取DG = (0,1, 2 , 作 EF PC 于 F ，設(shè) F (0, m, n ， 3 1 , m - , n. 2 2 3 1 , m - , n × (0,2,- 2 = 0,即2m - 1 - 2n = 0 ， 2 2 2 2 3 1 2 m + 2 , 故m = 1, n = , EF = (- , , . 2 2 2 2 2 則 EF = (- 由 EF × PC = 0得(- 又由 F 在 PC 上得 n = - 因 EF PC, DG PC, 故 E - PC - D 的平面角 q 的大小為向量 EF與DG 的夾角. 故 cos q = DG × EF | DG | EF | = 2 p ,q = , 2 4 即二面角 E - PC - D 的大小為 p . 4 27 在四棱錐 PABCD