熱點(diǎn)14：四邊形的證明與計(jì)算-

1、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的兩組對邊分別相等（2）平行四邊形的兩組對角分別相等（3）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)（4）平行四邊形的對角線互相平分（5）夾在兩條平行線間的平行線段相等 平行四邊形的對邊平行且相等 ,對角相等 , 鄰角互補(bǔ)，對角線互相平分。 平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形等腰梯形的性質(zhì)定理: 等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等 .定理: 等腰梯形的兩條對角線相等 .等腰梯形的判定定理: 同

2、一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 .定理: 兩條對角線相等的梯形是等腰梯形 .三角形中位線的性質(zhì)定理: 三角形的中位線平行于第三邊 ,且等于第三邊的一半 .（這個(gè)定理提供了證明線段平行 , 和線段成倍分關(guān)系的根據(jù) . ） 模型: 連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是平行四邊形.要重視這個(gè)模型的證明過程反映出來的規(guī)律 :對角線的關(guān)系是關(guān)鍵 .改變四邊形的形狀后 , 對角線 具有的關(guān)系 （對角線相等 ,對角線垂直 , 對角線相等且垂直 ）決定了各中點(diǎn)所成四邊形的形狀 .矩形的性質(zhì) , 推論定理: 矩形的四個(gè)角都是直角 .定理: 矩形的兩條對角線相等 .推論 （直角三角形性質(zhì) ）: 直角三角形斜邊

3、上的中線等于斜邊的一半 .矩形的判定 , 直角三角形的判定定理: 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 .定理: 對角線相等的平行四邊形是矩形 .定理: 如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半 ,那么這個(gè)三角形是直角三角形 .菱形的性質(zhì)定理: 菱形的四條邊都相等 .定理: 菱形的兩條對角線互相垂直且平分 , 并且每條對角線平分一組對角 .菱形的判定定理: 四條邊都相等的四邊形是菱形 .定理: 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 .正方形的性質(zhì)定理: 正方形的四個(gè)角都是直角 , 四條邊都相等 .定理: 正方形的兩條對角線相等 , 并且互相垂直平分 , 每條對角線平分一組對角 正方形的判定定理: 有一個(gè)角

4、是直角的菱形是正方形 .定理 : 對角線相等的菱形是正方形 .定理: 對角線互相垂直的矩形是正方形 .四邊形之間的關(guān)系四邊形的證明與計(jì)算一、選擇題 （本大題共 10 小題，每小題 3分，共 30 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè) 是符合題目要求的）1下列命題正確的是（）A對角線互相平分的四邊形是菱形；B對角線互相平分且相等的四邊形是菱形C對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形；D 對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形 .2平行四邊形 ABCD中， A、 B、 C、 D四個(gè)角的度數(shù)比可能是（）A 1：2： 3： 4 B 2：3：2：3 C 2：2：3：3 D 1：2：2：33如果菱形的邊長是 a

5、，一個(gè)內(nèi)角是 60°，那么菱形較短的對角線長等于（）A a B a C a D a4用形狀、大小完全相同的圖形不能進(jìn)行密鋪的是（）A 任意三角形 B 任意四邊形 C 正五邊形 D 正四邊形5已知一個(gè)等腰梯形的下底與上底之差等于一腰長，?則這個(gè)等腰梯形中的較小的角的度數(shù)為（）A 30° B 60° C 45° D 75°6已知四邊形 ABCD中，在 ABCD； AD=BC； AB=CD； A=C四個(gè)條件中，不能推出四 邊形 ABCD是平行四邊形的條件是（）A B C D 7如圖 1， ABCD中，對角線 AC和 BD相交于點(diǎn) O，如果 AC=12

6、， BD=10，則 AB的長 m?取值范 圍是（ ）A 1<m<11 B 2<m<22 C 10<m<12 D 5<m<6(4)8如圖 2，兩張寬度相等的紙條交叉重疊，重合部分是（）A平行四邊形 B 菱形 C 矩形 D 正方形9如圖 3， ABCD中，P 是對角線 BD上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作 EFBC，HGAB，?則下列說法不正確的是（ ）A S AEPG=S PHCF BC圖中共有 9 個(gè)平行四邊形圖中有 3 對全等三角形D S AEFD S GHCD10如圖 4，在菱形 ABCD中， BAD=80°， AB的垂直平分線交對角線 AC

7、于點(diǎn) F，?E為垂足，連 結(jié) DF，則 CDF等于（ ）A80°B 70° C 65° D 60°二、填空題 （本大題共 8 小題，每小題 3分，共 24 分）11如圖 5， ABCD中， BAD的平分線 AE交 BC于 E，且 AD=a，AB=b，用含 a、 b 的代數(shù)式表 示 EC，則 EC=12如圖 6，平行四邊形 ABCD中， E 是 BC中點(diǎn)，且 AE=9，BD=12，AD=10，則該平行四邊形的面 積是 13已知菱形的周長為 20cm，兩對角線之和為 14cm，則菱形的面積為 cm214以邊長為 2cm 的正方形的對角線為邊的正方形的面積為

8、cm215一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是 36°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 16矩形 ABCD中，M 是 BC的中點(diǎn)，且 MA MD，若矩形的周長為 48cm，則矩形 ABCD的面積為 2cm17如圖 7，若將四根木條釘成矩形木框，再變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個(gè)平行四邊形的一個(gè)最小內(nèi)角的度數(shù)為 18如圖 8，菱形 ABCD的對角線長分別為 2 和 5，P 是對角線 AC上任一點(diǎn)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) A、C重 合），且 PE BC交 AB于 E， PF CD交 AD于 F，則陰影部分的面積是 三、解答題 （本大題共 46分，1923 題每題 6分，24 題、25

9、題每題 8 分解答題應(yīng)寫出文字說 明、證明過程或演算步驟）19如圖，在 ABC中， B=C，D是 BC的中點(diǎn)， DEAB，DFAC， ?垂足分別為 E、F求證： （1） BDECDF（ 2） ABC是直角三角形時(shí)，四邊形 AEDF是正方形20如圖， ABCD中，E、F 為對角線 AC上兩點(diǎn)，且 AE=CF，問：四邊形 EBFD是平行四邊形嗎？ 為什么？21如圖，圓 A、圓 B、圓 C、圓 D、圓 E、圓 F 相互外離，它們的半徑都是 1，順次連結(jié)這六個(gè) 圓心，得到六邊形 ABCDEF求：（ 1） A+B+C+D+E+F的度數(shù)（ 2）求圖中陰影部分的面積之和22如圖， ABCD中， O是對角線

10、AC的中點(diǎn)， EFAC交CD于E，交 AB于F，問四邊形 AFCE是 菱形嗎？請說明理由23如圖，梯形 ABCD中， ADBC， BD平分 ABC， A=120°， BD=BC=4 ，求梯形的面積25如圖，直角梯形 ABCD中，ADBC，B=90°，AD=24cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn) P?從 A開始沿 AD邊 向 D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) C開始沿 CB以 3cm/s的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng) P、Q同時(shí)出 發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts ，?問 t 為何值時(shí)（1）四邊形 PQCD是平行四邊形（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PQC

11、D為等腰梯形24如圖，正方形 ABCD和正方形 AOBC 的中心 O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中（1）四邊形 OECF的面積如何變化（2）若正方形 ABCD的面積是 4，求四邊形是全等圖形， 則當(dāng)正方形 A? OBC繞正方形 ABCDOECF的面積答案:一、選擇題1 D 2B 3 C 4C 5B 6 A 7 A 8 B 9 D 10 D二、填空題11 a-b 12 72 13 24 14 8 15 10 16 128 17 30° 18三、解答題19證明：（ 1）BDE CDF（2）由 A=90°， DEAB， DF AC知：矩形 AEDF是正方形20解：四邊形 EBFD是平行四邊形

12、在ABCD中，連結(jié) BD交 AC于點(diǎn) O，則 OB=O，D OA=OC 又 AE=CF， OE=OF 四邊形 EBFD是平行四邊形21解：（ 1）由多邊形內(nèi)角和定理知： A+B+C+D+E+F=（6-2 ）× 180°=720°（2）S陰影=r 2 =2 22解：四邊形 AFCE是菱形四邊形 ABCD是平行四邊形OA=O，C CE AF ECO=FAO，AFO=CEO EOC FOA， CE=AF而 CE AF，四邊形 AFCE是平行四邊形又 EF是垂直平分線， AE=CE四邊形 AFCE是菱形23解：在梯形 ABCD中由題設(shè)易得到： ABD是等腰三角形，且 ABD=CBD= ADB=30°過點(diǎn) D作 DE BC，則 DE= BD=2 ，BE=6過點(diǎn) A 作 AFBD于 F，則 AB=AD=4故 S 梯形 ABCD=12+424解：（ 1）四邊形 OECF的面積不變 因?yàn)樵谛D(zhuǎn)過程中，始終有 ODF OCE， 故 S 四邊形 OECF=S OEC+SOFC=S OCD（2）由（