初三數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)相似講義

1、專題：旋轉(zhuǎn)相似模型：手拉手相似模型，旋轉(zhuǎn)相似成雙對(duì)。條件：CDAB（本質(zhì)即為OCDOAB），將OCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖1和圖2的位置。結(jié)論：、OCDOAB OACOBD。即連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)所得的一對(duì)新三角形相似。 、延長AC交BD于點(diǎn)E，則AEB=BOA（用蝴蝶形圖證明）（能得到點(diǎn)A、O、E、B四點(diǎn)共圓）模型特例：共直角頂點(diǎn)的直角三角形相似當(dāng)AOB=COD=90°時(shí)，除 、OCDOAB OACOBD 、延長AC交BD于點(diǎn)E，則AEB=BOA=90°（用蝴蝶形圖證明）外，還有結(jié)論 、 、因?yàn)锳CBD于點(diǎn)E，那么，若連AD、BC，則四邊形ABCD對(duì)角線互相垂直，則 例題講解例1.已知AB

2、C與DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，且頂角ACB=EDF.（1）如圖1，若ACB=900,探究BF與CD間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若tanACB=，求的值；（3）如圖3，若ABC中AC=BC=a ，將DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線CD與直線BF交于點(diǎn)H，則最大值為_（用含a的式子表示）。 分析： （1）連OC，OD，OBF OCD，BF=CD （2）構(gòu)造手拉手旋轉(zhuǎn)相似。可證OBC OFD, ODC OFB=tan問題轉(zhuǎn)化為已知tanACB=，求tan的問題，必須熟悉等腰三角形中有關(guān)三角函數(shù)值的常見處理方法。由右圖提示可得tan=； （3）由（2）OBC OFD, ODC OFB，蝴蝶

3、形圖易得CHB=COB=90°；又BC=a ，定邊定角，點(diǎn)H在以BC為直徑的圓上，易求例2.如圖，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求證：AGCE；求的值分析：如圖2，證，AG=CE 如圖2，連接BD，BF，DF，易證， 變式：如圖3，正方形ABCD和EFGH中，O為BC，EF中點(diǎn)(1)求證：AH=DG;(2)求的值。分析：(1)連接 易證： AEDBC例3.如圖，ACBDCE90°，ABCCEDCAE30°，AC3，AE8，求AD的長。分析：連接BE，由基本圖形易得可證ACDBCE，AD BE，BAE90°在RtABE作，由勾股定理求得BE10A

4、EDBC則AD 練習(xí)1.如圖，點(diǎn)A是DBC內(nèi)一點(diǎn)，求BD得長。分析：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，由基本圖形可得出以下幾種方法，求出BD=10.練習(xí)2如圖，在ABC中，ACB90°，BC2AC，F(xiàn)、G分別為AC、BC的中點(diǎn)，將CFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線AF與直線BG交于點(diǎn)I.(1) 求證：AFBG；(2) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于90°時(shí)，求的值；(3) 若AC4，直接寫出ACI面積的最大值_. 分析：（3）需分析出I點(diǎn)軌跡，由A、C、I、B四點(diǎn)共圓可得AIC=ABC，又AC=4，定邊定角得I軌跡為圓弧。練習(xí)3將等腰RtABC和等腰RtADE按圖1方式放置，A90°，AD邊與AB邊重合，A

5、B2AD4將ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角不超過180°），BD的延長線交直線CE于點(diǎn)P（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)ADBD時(shí)，求CP的長；（3）當(dāng)點(diǎn)D落在BA的延長線上時(shí)，求點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑的長AEDBCAEBC圖1圖2DADBCEP分析：（1）BDCE BDCE（2）BDCE，ADBD，ADPDPE90°又DAE90°，ADAE，四邊形ADPE為正方形AB2AD4，PEAD2CEBD2CP22（3）取BC中點(diǎn)O，連接OA、OP在旋轉(zhuǎn)過程中，BDCE，BPC90°AEBCDOPOP BC2點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以O(shè)為圓心、半徑為2的一段圓弧即ABC外接圓的一部分則AOP2ABP易知點(diǎn)D在以A為圓心、半徑為2的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)BP與半圓A相切于點(diǎn)D時(shí)，ABP最大，從而AOP最大AD AB，ABP30°，AOP60°即當(dāng)ADE從初始位置旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，點(diǎn)P沿圓弧從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AOP60