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1、絕對(duì)值與相反數(shù)(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1借助數(shù)軸理解絕對(duì)值和相反數(shù)的概念;2知道|a|的絕對(duì)值的含義以及互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系;3. 會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和相反數(shù),并會(huì)用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大??;4. 通過應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問題,體會(huì)絕對(duì)值的意義和作用.【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、相反數(shù) 1定義:如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同,那么稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)特別地,0的相反數(shù)是0.要點(diǎn)詮釋:(1) “只”字是說僅僅是符號(hào)不同,其它部分完全相同.(2) “0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分,不能漏掉.(3) 相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的,單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù).(4) 求一個(gè)數(shù)的相反數(shù),只要在它的前
2、面添上“-”號(hào)即可.2. 性質(zhì):(1) 互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁,且與原點(diǎn)的距離相等(這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).(2 )互為相反數(shù)的兩數(shù)和為 0.要點(diǎn)二、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多重符號(hào)的化簡(jiǎn),由數(shù)字前面“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來確定,若有偶數(shù)個(gè)時(shí),化簡(jiǎn)結(jié)果為正, 如-卜(-4)=4;若有奇數(shù)個(gè)時(shí),化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù),如-+卜(-4)=-4.要點(diǎn)詮釋:(1) 在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“ + ”,仍然與原數(shù)相同,如+ 5 = 5, + ( 5)=- 5.(2) 在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“-”,就成為原數(shù)的相反數(shù).如(3)就是3的相 反數(shù),因此,一(3)= 3.要點(diǎn)三、絕對(duì)值1. 定義:在數(shù)軸上,一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與
3、原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,例如+2的絕對(duì) 值等于2,記作|+2|=2 ; -3的絕對(duì)值等于3,記作|-3|=3 .要點(diǎn)詮釋:(1)絕對(duì)值的代數(shù)意義: 一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0 .即對(duì)于任何有理數(shù) a都有:a(a0)|a|0(a0)a(a0)(2 )絕對(duì)值的幾何意義:一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,離原點(diǎn)的距 離越遠(yuǎn),絕對(duì)值越大;離原點(diǎn)的距離越近,絕對(duì)值越小.(3 )一個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面來確定的.2. 性質(zhì):(1)0除外,絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè),它們互為相反數(shù).(2)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)(0除外)的絕對(duì)值相等(3)絕對(duì)
4、值具有非負(fù)性,即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或 要點(diǎn)四、有理數(shù)的大小比較如:a與b在數(shù)軸1. 數(shù)軸法:在數(shù)軸上表示出這兩個(gè)有理數(shù),左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小. 上的位置如圖所示,則 av b.2. 法則比較法:兩個(gè)數(shù)比較大小,按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類,情況如下:兩數(shù)同號(hào)同為正號(hào):絕對(duì)值大的數(shù)大同為負(fù)號(hào):絕對(duì)值大的反而小兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)數(shù)為0正數(shù)與0 :正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0 :負(fù)數(shù)小于0要點(diǎn)詮釋:禾U用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟:(1)分別計(jì)算兩數(shù)的絕對(duì)值;(2)比較絕對(duì)值的大?。海?)判定兩數(shù)的大小.3. 作差法:設(shè)a、b為任意數(shù),若 a-b >0,貝U a> b;若a-b = 0,貝U
5、 a= b;若a-b v 0, a v b;反之成立.aaa4.a5.求商法:設(shè)a、b為任意正數(shù),右1,則a b ;若 1,則a b ;若 1,則bbbb ;反之也成立.若 a、b為任意負(fù)數(shù),則與上述結(jié)論相反. 倒數(shù)比較法:如果兩個(gè)數(shù)都大于零,那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】類型一、相反數(shù)的概念.(2016?益陽)2016的相反數(shù)是(A. 2016 B . - 2016 C2J16D.2016,所以只要將【思路點(diǎn)撥】 解決這類問題的關(guān)鍵是抓住互為相反數(shù)的特征“只有符號(hào)不同” 原數(shù)的符號(hào)變?yōu)橄喾吹姆?hào),即可求出其相反數(shù).【答案】C【解析】解:-與只有符號(hào)不同,2016 2016-的相反數(shù)是一.2
6、016201S故選:C.【總結(jié)升華】 求一個(gè)數(shù)的相反數(shù),只改變這個(gè)數(shù)的符號(hào),其他部分都不變.舉一反三:【變式】(2015?天水)若a與1互為相反數(shù),則|a+1|等于(A.-1B.0C.1D.21C11 , -0.3 , 0,3-221【思路點(diǎn)撥】1- , -0.3,0,131在數(shù)軸上位置距原點(diǎn)有多少個(gè)單位長度,這個(gè)數(shù)字22【答案】B類型二、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)°2化簡(jiǎn):(1)- + -( +3) ;(2)- - -( - | -3| ) .【答案與解析】解:(1)原式=-+ - 3= - - 3=3 ;(2)原式=- - -( - 3) = - - +3= - - 3=3 .【總結(jié)升華】運(yùn)
7、用多重符號(hào)化簡(jiǎn)的規(guī)律解決這類問題較為簡(jiǎn)單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個(gè)負(fù)號(hào)若有偶數(shù)個(gè),則結(jié)果為正;若有奇數(shù)個(gè),則結(jié)果為負(fù). 類型三、絕對(duì)值的概念就是各數(shù)的絕對(duì)值還可以用絕對(duì)值法則來求解.【答案與解析】11方法1:因?yàn)?丄到原點(diǎn)距離是1丄個(gè)單位長度,所以22因?yàn)?0.3到原點(diǎn)距離是0.3個(gè)單位長度,所以卜0.3|= 0.3 因?yàn)?到原點(diǎn)距離為0個(gè)單位長度,所以|0| = 0 因?yàn)?3-到原點(diǎn)的距離是2131個(gè)單位長度,所以2112,1,11-1-22因?yàn)?1311方法2:因?yàn)?10,所以2因?yàn)?0.3 V0,所以卜0.3|= -(-0.3)= 0.3 因?yàn)?的絕對(duì)值是它本身,所以|0| = 0【總結(jié)
8、升華】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值有兩種方法:一種是利用絕對(duì)值的幾何意義求解(如方法1),一種是利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解(如方法2),后種方法的具體做法為:首先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零.再根據(jù)絕對(duì)值的意義,確定去掉絕對(duì)值符號(hào)的結(jié)果是它本身,是它的相反數(shù),還是零.從而求出該數(shù)的絕對(duì)值.類型四、比較大小仇比較下列有理數(shù)大?。?1)-1和0;-2和卜3|;1 13 和 2( 4)| 1 | 0.1【答案】(1) 0大于負(fù)數(shù),即-1 v 0;(2) 先化簡(jiǎn)卜3| = 3,負(fù)數(shù)小于正數(shù),所以-2 v 3,即-2 v |-3| ;1 1(3)先化簡(jiǎn)丄丄,11, 11,即1133222332先化簡(jiǎn)| 11 ,0.1
9、0.1,這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大?。阂?yàn)?| 110.10.1 ,而 10.1,所以 10.1,即1 v | 0.1【解析】(2)、(3)、(4)先化簡(jiǎn),再運(yùn)用有理數(shù)大小比較法則.【總結(jié)升華】 在比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小時(shí), 可按下列步驟進(jìn)行: 先求兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值, 再比 較兩個(gè)絕對(duì)值的大小,最后根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷.舉一反三:【高清課堂:絕對(duì)值比大小356845典型例題2】【變式】比大小:c53_3 ;-1-3.21-(+3.2);0.00011000;61.3t&71.384 ;n3.14 .【答案】>=;>>v類型五、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用5. 已
10、知 |2-m|+|n-3|= 0,試求 m-2n 的值.【思路點(diǎn)撥】 由丨a |> 0即絕對(duì)值的非負(fù)性可知,丨2-m |> 0 ,丨n-3 |> 0,而它們的和 為 0.所以 | 2-m | = 0, |n-3| = 0.因此,2-m = 0, n-3 = 0,所以 m= 2, n = 3.【答案】解:因?yàn)?|2-m|+|n-3| = 0且|2-m| > 0, |n-3| > 0所以 |2-m| = 0, |n-3| = 0即 2-m= 0, n-3 = 0所以 m= 2, n= 3故 m-2n= 2-2 x 3 = -4 .【解析】由丨a丨0即絕對(duì)值的非負(fù)性可知
11、,丨2-m | > 0,丨n-3 | > 0,而它們的和為0.所 以 I 2-m |= 0, |n-3| = 0.因此,2-m= 0, n-3 = 0,所以 m= 2, n= 3.【總結(jié)升華】 若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和為0,則每個(gè)數(shù)都等于 0,即|a|+|b|+ +|m| = 0時(shí),貝U a= b = m= 0.類型六、絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用C 6.正式足球比賽對(duì)所用足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定,下面是6個(gè)足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果,用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù),用負(fù)數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù).檢測(cè)結(jié)果(單位:克):-25 ,+10,-20, +30, +15,-40 .裁判員應(yīng)該選擇哪個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽呢?請(qǐng)
12、說明理由.【答案】 因?yàn)閨 +10 | <| +15 | <| -20 |<| -25 | <| +30 | <| -40 I,所以檢測(cè)結(jié)果 為+10的足球的質(zhì)量好一些.所以裁判員應(yīng)該選第二個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽.【解析】根據(jù)實(shí)際問題可知,哪個(gè)足球的質(zhì)量偏離規(guī)定質(zhì)量越小,則足球的質(zhì)量越好.這個(gè)偏差可以用絕對(duì)值表示,即絕對(duì)值越小偏差也就越小,反之絕對(duì)值越大偏差也就越大.【總結(jié)升華】 絕對(duì)值越小,越接近標(biāo)準(zhǔn).【變式】某企業(yè)生產(chǎn)瓶裝食用調(diào)和油,根據(jù)質(zhì)量要求,凈含量(不含包裝)可以有0.002L的誤差.現(xiàn)抽查6瓶食用調(diào)和油,超過規(guī)定凈含量的升數(shù)記作正數(shù),不足規(guī)定凈含量的升數(shù)記作負(fù)數(shù).檢查結(jié)果如下表:+0.00
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