定積分的應(yīng)用

1、第十章定積分的應(yīng)用(12 學(xué)時 )§1 平面圖形的面積教學(xué)目的要求 :能熟練的將各種形式表示的曲線所圍成的圖形抽象成為不定積分，并計算出它們的面積.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) :重點(diǎn)是計算由各種形式表示的曲線所圍成的圖形的面積.難點(diǎn)是參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程表示的曲線所圍成的圖形的面積的計算.學(xué)時安排 :2 學(xué)時教學(xué)過程 :b一、積分f ( x) dx 的幾何意義a我們講過，若 fC a,b 且 f (x) 0b，則定積分f ( x)dx 表示由連線曲線y=f(x) ，以及直線 x=a,b 和ax 軸所圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)bbf ( x)dx <0時，定積分表示的是負(fù)面積，即f (x)dx

2、表示的是 f 在 a,baa552sin xdx (sin xdxsin xdx321 。若計算 sinx 在上的正負(fù)面積代數(shù)和。例如22 sin xdx)0025552sin x dx( sin xdx2 sin xdx)325 。0， 上的面積，則變?yōu)?sin xdx2002二、 f(x) ， g(x) 在 a,b 上所圍的面積由幾何意義得 Sbbg( x)dxbaf (x)dx f (x) g ( x)dx ，該式當(dāng) f(x) 和 g(x) 可判斷大小的情況下aab| f (x)g( x) | dx 。如果 f(x) 和 g(x) 有在積分區(qū)域 a,b適合，但 f(x) 和 g(x) 無

3、法判斷大小時，要修改為Sa內(nèi)交點(diǎn)，設(shè)為 x1, x2 ，且 x1 x2，則 Sbx2g (x) | dx 。所以此時求 f(x) 和 g(x)a| f (x) g( x) | dx| f ( x)x1在 a,b 上的面積，即為f(x) 和 g(x) 所圍成的面積，要先求出交點(diǎn)，作為它們的積分區(qū)域。例 1、求 yx2 ， xy2 所圍的面積 S。例 2、求 ysin x 、 ycosx 在 0,2 上所圍圖形的面積。例3 、已知 yax2bx 通過點(diǎn)(1,2) 與 yx22 x 有個交點(diǎn) x1 0 ，又a<0，求 y ax 2bx 與yx22x 所圍的面積S，又問 a,b 為何值時， S

4、取最小值？例 4、求拋物線 y 22x 與直線 xy4 所圍成的圖形的面積。例 5、有一個橢圓柱形的油灌， 某長度為 l，底面是長軸為a，短軸為 b 的橢圓， 問油灌中油面高為h 時，油量是多少？（已知油的密度為）三、參數(shù)方程形式下的面積公式若所給的曲線方程為參數(shù)形式：xx(t)t），其中 y(x) 是連續(xù)函數(shù)， x(t) 是連續(xù)可微函y（y(t)數(shù)，且 x (t)0 且 x( )a ， x(xx(t )S 的公) b ，那么由，x 軸及直線 xa，x b 所圍圖形的面積yy(t)式為 S| y | dx(t ) 。（）xa(tsint )例 1、求旋輪線：（ a>0）一個拱與 x 軸所

5、圍的圖形的面積。y a(1 cost) x a cost例 2、求橢圓（ a>0， b>0 ）的面積S。yb sint四、極坐標(biāo)下的面積公式設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程是： rr () ， r ( )C , ，則由曲線 rr ( ) ，射線及所圍的扇形面積S等于 S1r 2 ( )d 。2例 1、求雙紐線 r 22a2 cos 2所圍圖形面積S。例 2、求由 rsin 2 ， 0 3 3例 3、求三葉形成曲線rasin3，所決定的外層曲線和內(nèi)層曲線之間的面積S。（ a>0）所圍圖形面積。§2 由平行截面面積求體積教學(xué)目的要求: 能熟練計算平行截面面積為已知的立體的體積和旋轉(zhuǎn)體

6、的體積.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn): 重點(diǎn)是用定積分求體積. 難點(diǎn)把具體問題抽象成定積分 .學(xué)時安排 :2 學(xué)時教學(xué)過程 :一般體積公式：設(shè)一幾何體夾在x a 和 xb（ a<b）這兩個平行平面之間，用垂直于X 軸的平面去截此幾何體，設(shè)載面與 X 軸交點(diǎn)為（ x，0），可得的截面面積為S（ x），如果 S(x)是 a,b 上的（ R）可積函數(shù)，則該幾何體的體積V等于：VbS( x)dx 。a例 1、求底面積為S，高為 h 的斜柱體的體積 V 。例 2、求底面積為S，高為 h 的圓錐體的體積 V 。例 3、求由橢球面x2y 2z21 所圍的幾何體體積。 (a,b,c>0)a2b2c2§

7、3 平面曲線的弧長與曲率教學(xué)目的要求 : 能熟練計算平面曲線的弧長 .教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) : 重點(diǎn)是用定積分平面曲線的弧長. 難點(diǎn)弧長公式的證明 .學(xué)時安排 :2 學(xué)時教學(xué)過程 :一、平面曲線的弧長1、先建立曲線的長度（弧長）的概念一條線段的長度可直接度量，但一條曲線段的 “長度” 一般卻不能直接度量， 因此需用不同的方法來求。設(shè)平面曲線C由參數(shù)方程xx(t)（t）給出，設(shè) P t0 ,t1 ,L, tn 是 , 的一個劃分yy(t) t0, tn ， 即t0t1Ltn，它們在曲線 C上所對應(yīng)的點(diǎn)為 M0( x(t0 ), y(t0 ) ，M 1( x(t1), y(t1 ) ， M n(x(tn

8、), y(tn ) 。從端點(diǎn) M 0開始用線段一次連接這些分點(diǎn)M 0， M 1 ， M n得到曲線的一條內(nèi)接折線，用M i1M i 來表示 M i 1M i 的長度，則內(nèi)接折線總長度為nnx(ti 1 )21) 2SnM i 1 M i( x(ti )( y(ti ) y(tii1i1曲線 C 的弧長 S 定義為內(nèi)接折線的總長在pmaxVti0 時的極限：nn1) 21) 2SlimM i1M ilim( x(ti ) x(ti( y(ti )y(tip0 i 1p0i 1如果 S 存在且為有限，則稱C 為可求長曲線。2、弧長公式設(shè)曲線 C：xx(t )（t），且 x(t ) ， y(t )

9、在 , 上可微且導(dǎo)數(shù)x (t ) ， y (t ) 在 , 上yy(t )可積，曲線 C 在 , 無自交點(diǎn)，則曲線C的弧長 S為：Sx 2 (t )y 2 (t)dtdx2dy2注：其它形式的弧長公式（ 1）設(shè) yy( x) 在 a,b 上可微且導(dǎo)數(shù)y (x) 可積，則曲線 yy( x) （ a x b）的弧長 S 為：Sby ( x) dx1a（ 2）若曲線極坐標(biāo)方程rr ( ) ，則當(dāng) r ( ) 在 ,上可微，且 r( ) 可積時，Sr 2r 2 dxx(t )（ 3）空間曲線yy(t)（tzz(t )），弧長 S 為Sx 2 (t ) y 2 (t ) z 2 (t )dt其中 x(t

10、) ，y(t) ， z(t)在, 上可微，導(dǎo)數(shù) x (t ) ， y (t ) ， z (t ) 在 ,上可積且曲線 C 在 , 上無自交點(diǎn)。例 1、求圓周 xRcost ， yR sin t ， 0t 2的弧長 S。例 2、求拋物線 y1x2 ， 0x 1的弧長 S。例 3、求橢圓 x2y21（ b>a>0）的弧長 S。2a2b23、弧長的微分xx(t )t）是光滑曲線（ x (t ) ， y (t ) 在 ,連續(xù)且 x 2 (t ) y 2 (t)0 ）；且設(shè) C：y(t)（y無自交點(diǎn)。若把公式中的積分上限改為 t，就得到曲線C，由端點(diǎn) M 0 到動點(diǎn) M ( x(t), y(

11、t ) 的一段弧長。Sty 2 (t )dtx 2 (t )S (t ) 存在， dS(t)22由上限函數(shù)的可微性知dxdydSdx2dy2dtdtdt二、曲率1、平面曲線的曲率曲線的彎曲程度不僅與其切線方形的變化角度的大小有關(guān)，而且還與所考察的曲線的弧長S 有關(guān)，并且曲率與 V成正比，與 VS 成反比。即一般曲線的彎曲程度可用k?，其中 k ：曲線段 AB 的平均變S化率；?：曲線段 AB 上切線方向的角度；S ：曲線段 AB 的弧長。例 半徑為 R 的圓： k1 。SSR R對于一般的曲線，如何刻畫它在一點(diǎn)處的彎曲程度呢？klim，稱為曲線在 A 點(diǎn)的曲率，即dlimkSVs 0SdSVs

12、 02、曲率的計算記 yy( x) 二階可微，則在點(diǎn)x 處的曲率為：因為 tgy ，arctgy ，所以 dy2dy2 dx ，又因為 dS1 y 2 dx 所以dx1 y1 ykdydS1y 2 3/ 2例 1、求 y1x2 在任一點(diǎn)的曲率。23、曲率圓和曲率半徑過點(diǎn)（ x， y(x) ）且與y y（ x）在該點(diǎn)有相同的一階及二階導(dǎo)數(shù)的圓( xa) 2( yb) 2R2 稱為曲率圓。曲率圓的中心和半徑分別稱為曲率中心和曲率半徑。如何求曲線上一點(diǎn)（x， y(x) ）處的曲率圓呢？因為 R1， ky，則（ a,b）在過（ x，y(x) ）的法線上：Yy( x)1( X x) 。ky 2 3/ 2y ( x)1例 求 y1 x2 在點(diǎn)（