小學奧數專題排列組合推理篇

1、排列問題題型分類：1. 信號問題2. 數字問題3. 坐法問題4. 照相問題5. 排隊問題組合問題題型分類：1. 幾何計數問題2. 加乘算式問題3. 比賽問題4. 選法問題常用解題方法和技巧1. 優(yōu)先排列法2. 總體淘汰法3. 合理分類和準確分步4. 相鄰問題用捆綁法5. 不相鄰問題用插空法6. 順序問題用“除法”7. 分排問題用直接法8. 試驗法9. 探索法10. 消序法11. 住店法12. 對應法13. 去頭去尾法14. 樹形圖法15. 類推法16. 幾何計數法17. 標數法18. 對稱法分類相加，分步組合，有序排列，無序組合基礎知識 （數學概率方面的基本原理）一 . 加法原理： 做一件事情

2、， 完成它有 N 類辦法，在第一類辦法中有 M1 中不同的方法，在第二類辦法中有 M2 中不同的方法，在第 N 類辦法中有 Mn 種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+ +Mn 種不同的方法。二 . 乘法原理： 如果完成某項任務，可分為 k 個步驟，完成第一步有 n1 種不同的方法，完成第二步有 n2 種不同的方法，完成第步有 種不同的方法，那么完成此項任務共有 × ×× 種不同的方法。三 . 兩個原理的區(qū)別做一件事，完成它若有 n 類辦法，是分類問題 ，每一類中的方法都是 獨立的，故用加法原理。每一類中的每一種方法都可以獨立完成此任務；兩類不同辦法中的具

3、體方法，互不相同 ( 即分類不重 ) ；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類( 即分類不漏 )做一件事，需要分n 個步驟， 步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續(xù)完成這n 步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同這樣完成一件事的分“類”和“ 步 ”是有本質區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來四 . 排列及組合基本公式1. 排列及計算公式從 n 個不同元素中，任取 m(mn) 個元素按照 一定的順序 排成一列，叫做從 n 個不同元素中取

4、出 m個元素的一個 排列；從 n 個不同元素中取出 m(mn) 個元素的所有排列的個數，m叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的 排列數，用符號 P n 表示 .m2) (n -m+1)P n =n(n-1)(n-n!( 規(guī)定 0!=1) .=(n-m)!2. 組合及計算公式從 n 個不同元素中，任取 m(mn) 個元素 并成一組 ，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個組合；從 n 個不同元素中取出 m(mn) 個元素的所有組合的個數，叫做從n 個不同m元素中取出 m個元素的 組合數 . 用符號 Cn 表示 .mmn!Cn = P n /m!=(n-m)!×m!mn-m一般

5、當遇到 m比較大時（常常是 m>0.5n時），可用 Cn = Cn 來簡化計算。n0規(guī)定： C n =1, C n =1.3. n 的階乘 (n!) n 個不同元素的全排列nP n=n!=n ×(n-1) × (n-2) 3×2×1五 . 兩個基本計數原理及應用1. 首先明確任務的意義【例 1】從 1、2、3、 20 這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有_個。分析：首先要把復雜的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。設 a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 決定，又 2b 是偶數， a,

6、c 同奇或同偶，即：從 1， 3， 5， 19 或 2， 4， 6， 8， 20 這十個數中選出兩個數進行排列，由此就可確定等差數列，如： a=1， =7，則 b=4（即每一組 a,c 必對應唯一的 b，另外 1、4、7 和 7、 4、 1 按同一種等差數列處理） C210 10×990，同類（同奇或同偶）相加，即本題所求 =2× 90180?！纠?2】某城市有 4 條東西街道和 6 條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從 M到 N 有多少種不同的走法?分析：對實際背景的分析可以逐層深入（一）從 M 到 N 必須向上走三步，

7、向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實上，當把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數，3 本題答案為： C8=56 。2.注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合。采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前后統一。注意排列組合的區(qū)別與聯系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段(排序 )可轉化為排列問題?！纠?3】在一塊并排的10 壟田地中，選擇二壟分別種植A ，B 兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，

8、要求A， B 兩種作物的間隔不少于6 壟，不同的選法共有_ 種。分析： 條件中“要求 A、B 兩種作物的間隔不少于6 壟”這個條件不容易用一個包含排列數，組合數的式子表示，因而采取分類的方法。第一類： A 在第一壟， B 有 3 種選擇；第二類： A 在第二壟， B 有 2 種選擇；第三類： A 在第三壟， B 有 1 種選擇，同理 A 、B 位置互換，共 12 種。1 恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位數有多少個?【分析與解】 6 、 7、 8、 9 的最小公倍數是504，五位數中，最小的是10000，最大為 99999因為 10000÷504：19 424，99999&#

9、247;504=198 207所以，五位數中，能被504 整除的數有198-19=179 個所以恰好能被6， 7， 8，9 整除的五位數有179 個2小明的兩個衣服口袋中各有13 張卡片，每張卡片上分別寫著1， 2，3， 13如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數的乘積，可以得到許多不相等的乘積那么，其中能被6 整除的乘積共有多少個?【分析與解】這些積中能被6 整除的最大一個是13×12=26×6，最小是6但在 l ×626×6 之間的 6 的倍數并非都是兩張卡片上的乘積，其中有 25×6，23×6，21×6，1

10、9×6，17×6這五個不是 所求的積共有26-5=21 個3 1，2， 3，4，5，6 這6 個數中，選3 個數使它們的和能被3 整除那么不同的選法有幾種?【分析與解】被3除余 1的有被 3除余 2的有能被 3 整除的有1， 4；2,5 ；3， 6從這 6 個數中選出3 個數，使它們的和能被3 整除，則只能是從上面3 類中各選一個，因為每類中的選擇是相互獨立的， 共有 2×2× 2=8 種不同的選法4 同時滿足以下條件的分數共有多少個?大于 1 ，并且小于 1 ；分子和分母都是質數；分母是兩位數65【分析與解】由知分子是大于1，小于 20 的質數如果分子

11、是2，那么這個分數應該在2 與 2 之間，在這之間的只有2符合要求10811如果分子是 3，那么這個分數應該在3與 3之間， 15 與 18之間只有質數17，所以分數是3 151817同樣的道理，當分子是5， 7， 11， 13， 17， 19 時可以得到下表分子分數分子分數221111,11115961331313,13,1317677173551717,1729899773 , 71919374197于是，同時滿足題中條件的分數共13個5一個六位數能被11 整除，它的各位數字非零且互不相同的將這個六位數的6 個數字重新排列，最少還能排出多少個能被11 整除的六位數?【分析與解】設這個六位數

12、為abcdef ，則有 (ace) 、 (bdf ) 的差為 0 或 11 的倍數且 a 、 b 、 c 、 d 、 e、 f 均不為 0，任何一個數作為首位都是一個六位數先考慮 a 、 c 、 e 偶數位內， b 、 d 、 f 奇數位內的組內交換，有P33× P33=36 種順序；再考慮形如badcfe這種奇數位與偶數位的組間調換，也有333 ×3 =36 種順序PP所以，用均不為0 的 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 最少可以排出36+36=72 個能被 11 整除的數 ( 包含原來的 abcdef ) 所以最少還能排出72-1=71 個能被 11 整除的

13、六位數6在大于等于 1998 ，小于等于 8991 的整數中，個位數字與十位數字不同的數共有多少個?【分析與解】先考慮 2000 8999 之間這 7000 個數，個位數字與十位數字不同的數共有2=63007×10× P10但是 1998，8992 8998 這些數的個位數字與十位數字也不同，且1998 在 1998 8991 內， 8992 8998 這 7 個數不在 1998 8991 之內所以在 1998 8991 之內的個位數字與十位數字不同的有6300+1-7=6294 個7 個位、十位、百位上的3 個數字之和等于12 的三位數共有多少個 ?【分析與解】 12=0

14、+6+6=0+5+7=0+4+8=0+3+9=1+5+6=1+4+7=1+3+8=1+2+9=2+5+5=2+4+6=2+3+7=2+2+8=3+4+5=3+3+6=4+4+4其中三個數字均不相等且不含0的有 7組，每組有 P33 種排法，共 7× P33=42 種排法；其中三個數字有只有 2 個相等且不含 0的有 3 組，每組有 P33 ÷2種排法，共有3× P33 ÷ 2=9 種排法；其中三個數字均相等且不含0的只有 1組，每組只有 1 種排法；在含有 0 的數組中，三個數字均不相同的有3 組，每組有2 P22 種排法，共有3× 2

15、5; P22=12 種排法；在含有 0 的數組中，二個數字相等的只有1 組，每組有 2P22÷2種排法，共有 2 種排法所以，滿足條件的三位數共有42+9+1+12+2=66個8一個自然數，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數為“回文數”例如 1331， 7， 202 都是回文數，而220 則不是回文數問：從一位到六位的回文數一共有多少個?其中的第1996 個數是多少 ?【分析與解】我們將回文數分為一位、二位、三位、六位來逐組計算所有的一位數均是“回文數”，即有9 個；在二位數中，必須為aa 形式的，即有 9個 ( 因為首位不能為 0，下同 ) ；在三位數中，必須為aba

16、( a 、 b 可相同，在本題中，不同的字母代表的數可以相同) 形式的，即有 9×10 =90 個；在四位數中，必須為abba 形式的，即有9× 10 個；在五位數中，必須為abcba 形式的，即有9× 10× 10=900 個；在六位數中，必須為abccba 形式的，即有 9×10×10 =900 個所以共有 9+9+90+90+900+900=1998個，最大的為 999999，其次為998899，再次為 997799而第 1996 個數為倒數第 3 個數，即為 997799所以，從一位到六位的回文數一共有1998個，其中的第19

17、96 個數是 9977999 一種電子表在6 時24 分30 秒時的顯示為6:2430 ，那么從8 時到9 時這段時間里，此表的5 個數字都不相同的時刻一共有多少個?【分析與解】設 A:BC DE是滿足題意的時刻，有A 為8，B、 D 應從0， 1，2， 3， 4， 5這 6 個數字中選擇兩個不同的數字，所以有P62 種選法，而C、 E 應從剩下的7 個數字中選擇兩個不同的數字，所以有P72種選法，所以共有P62× P72=1260 種選法，即從8 時到9 時這段時間里，此表的5 個數字都不相同的時刻一共有1260 個10有些五位數的各位數字均取自1， 2， 3， 4，5，并且任意相

18、鄰兩位數字( 大減小 ) 的差都是1問這樣的五位數共有多少個?【分析與解】如下表，我們一一列出當首位數字是5， 4，3 時的情況首位數字543所有滿足題意的數字列表55545454454533545544454433333444332221331453224331232211321滿足題意的6912數字個數因為對稱的緣故，當首位數字為1 時的情形等同與首位數字為5 時的情形，首位數字為2 時的情形等同于首位數字為4 時的情形所以，滿足題意的五位數共有6+9+12+9+6=42個11 用數字 1， 2 組成一個八位數，其中至少連續(xù)四位都是1 的有多少個 ?【分析與解】當只有四個連續(xù)的 1 時，可

19、以為 11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112，* * * 21111，因為 *號處可以任意填寫 1 或 2，所以這些數依次有 23， 22， 22，22， 23 個，共 28 個；當有五個連續(xù)的l時，可以為111112 * *， 2111112 * ， *2111112 ， * * 211111，依次有 22， 2， 2， 22 個，共 12 個；當有六個連續(xù)的1時，可以為1111112 * ， 21111112， * 2111111 ，依次有 2， 1，2 個，共 5 個；當有七個連續(xù)的1時，可以為11111112， 21111111，共 2

20、 個：當有八個連續(xù)的l時，只能是11111111，共 1 個所以滿足條件的八位數有 28 + 12 + 5 + 2 + 1=48個12在 1001， 1002， 2000 這 1000 個自然數中，可以找到多少對相鄰的自然數，滿足它們相加時不進位?【分析與解】設 1bcd , xyzw為滿足條件的兩個連續(xù)自然數，有xyzw =1bcd +1我們只用考察1bcd 的取值情況即可我們先不考慮數字9的情況(因為d取，則 w 為0，也有可能不進位)，9則 d 只能取 0， 1， 2，3， 4； c 只能取 0， 1， 2，3， 4； b 只能取 0，1， 2， 3，4；對應的有 5×5

21、15;5=125 組數當d =9時，有 1bc9 的下一個數為 1b(c1)0 ，要想在求和時不進位，必須c ( c 1) ，9所以c 此時只能取0， 1，2， 3， 4；而b 也只能取0，1， 2， 3，4；共有5× 5=25 組數當 cd =99 時，有1b99 的下一個數為1(b1)00 ，要想在求和時不進位，必須b +(b +1) 9，所以 b 此時只能取0， 1， 2，3， 4；共有 5 組數所以，在1001， 1002， 2000 這 1000 個自然數中，可以找到滿足它們相加時不進位125+25+5=155對相鄰的自然數，13把 1995， 1996，1997， 199

22、8， 1999 這 5 個數分別填入圖使橫、豎3 個數的和相等那么共有多少種不同填法?20-1中的東、南、西、北、中5 個方格內，【分析與解】顯然只要有“東” +“西” =“南” +“北”即可，剩下的一個數字即為“中”因為題中五個數的千位、百位、十位均相同，所以只用考慮個位數字，顯然有 5+9=6+8，5+8=6+7，6+9=7+8先考察 5 + 9 =6 + 8，可以對應為“東” +“西” =“南” +“北”，因為“東”、“西”可以調換，可以對調，有2×2=4 種填法，而“東、西”，“南、北”可以整體對調，于是有4×2=8 種填法5 + 8 = 6 + 7， 6 + 9

23、= 7 + 8同理均有8 種填法，所以共有8×3=24 種不同的填法“南”、“北”14 在圖 20-2小，并且方格內的的空格內各填人一個一位數，使同一行內左面的數比右面的數大，同一列內上面的數比下面的數6 個數字互不相同，例如圖20-3 為一種填法那么共有多少種不同的填法?23圖 20-2642753圖 20-3【分析與解】為了方便說明，標上字母：CDAB23要注意到， A 最大， D 最小， B、 C 的位置可以互換但是， D 只能取 4， 5， 6，因為如果取7，就找不到當 D取 4，5， 6 時分別剩下5，4， 3 個一位大數有3 個比它大的一位數了B、 C可以互換位置所有不同

24、的填法共C53 × 2+ C43 × 2+ C33 × 2=10 × 2+4 × 2+1×2=30 種補充選講問題(2003 年一零一中學小升初第 12 題) 將一些數字分別填入下列各表中， 要求每個小格中填入一個數字， 表中的每橫行中從左到右數字由小到大，每一豎列中從上到下數字也由小到大排列(1) 將 1 至 4 填入表 1 中，方法有 _ 種：(2) 將 1 至 6 填入表 2 中，方法有 _ 種；(3) 將 1 至 9 填入表 3 中，方法有 _ 種【分析與解】(1)2種：如圖， 1 和 4 是固定的，另外兩格任意選取，故有2

25、種；(2)5 種： 1 和 6 是固定的，其他的格子不確定有如下5 種：(3)42種：由 (2) 的規(guī)律已經知道， 3×2 是 5 種：1 、2、 3 確定后，剩下的6 個格子是3×2，為 5 種如下：同理也各對應5 種；注意到例外，對應的不是5 種，因為第一排右邊的數限制了其下方的數字，滿足條件的只有如下幾種：共計 5+5+5+4+2=21種另外，將以上所有情況翻轉過來，也是滿足題意的排法，所以共21×2=42 種15從 1 至9 這9 個數字中挑出6 個不同的數填在圖204 的6 個圓圈內，使任意相鄰兩個圓圈內數字之和都是質數那么共能找出多少種不同的挑法(6

26、個數字相同、排列次序不同的都算同一種)?【分析與解】顯然任意兩個相鄰圓圈中的數一奇一偶，因此，應從2、4、 6、8 中選3 個數填入3 個不相鄰的圓圈中第一種情況：填入2、4、6，這時3 與9 不能同時填入( 否則總有一個與6 相鄰，和3+6 或9+6 不是質數) 沒有 3、9 的有1 種；有3 或9 的，其他3 個奇數l 、 5、 7 要去掉1 個，因而有2× 3=6 種，共1+6 7 種第二種情況：填入2、 4、 8這時7 不能填入( 因為7+2，7+8都不是質數) ，從其余4 個奇數中選3 個，有4種選法，都符合要求第三種情況 ：填入 2、 6、 8這時 7不能填入，而3與 9

27、 只能任選 1 個，因而有 2 種選法第四種情況 ：填入 4、 6、 8這時 3與 9 只能任選1個， 1 與 7 也只能任選 1 個因而有 2× 2=4 種選法總共有 7+4+2+4=17種選法20一個骰子六個面上的數字分別為0，1，2，3，4， 5，現在擲骰子，把每次擲出的點數依次求和，當總點數超過12 時就停止不再擲了，這種擲法最有可能出現的總點數是幾？1.從甲地到乙地有2 種走法，從乙地到丙地有4 種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3 種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有種2. 甲、乙、丙 3 個班各有三好學生 3，5， 2 名，現準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好

28、學生代表大會，共有種不同的推選方法3. 從甲、乙、丙三名同學中選出兩名參加某天的一項活動，其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動有種不同的選法4.從 a、b、 c、 d 這 4 個字母中，每次取出3 個按順序排成一列，共有種不同的排法5.若從 6 名志愿者中選出4 人分別從事翻譯、 導游、導購、保潔四項不同的工作，則選派的方案有種6.有 a，b， c， d，e 共5個火車站，都有往返車，問車站間共需要準備種火車票7.某年全國足球甲級聯賽有14 個隊參加，每隊都要與其余各隊在主、客場分別比賽一場，共進行場比賽8.由數字 1、 2、 3、 4、5、6 可以組成個沒有重復數字的正整數9.用 0 到 9 這 10 個數字可以組成個沒有重復數字的三位數10.（1）有 5本不