3微分中值定理與導數(shù)的應用1

1、第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用【考試要求】1掌握羅爾中值定理、拉格朗日中值定理并了解它們的幾何意義2熟練掌握洛必達法則求“”、“”、“”、“”、“”、“”和“”型未定式極限的方法3掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式4理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最值（最大值和最小值）的方法，并且會解簡單的應用問題5會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點6會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線【考試內(nèi)容】一、微分中值定理1羅爾定理如果函數(shù)滿足下述的三個條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導；（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即，那么在內(nèi)至少有一

2、點（），使得說明：通常稱導數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點，臨界點），即若，則稱點為函數(shù)的駐點2拉格朗日中值定理如果函數(shù)滿足下述的兩個條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導，那么在內(nèi)至少有一點（），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：說明：當時，上式的左端為零，右端式不為零，則只能，這就說明羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形此外，由于拉格朗日中值定理在微分學中占有重要的地位，因此有時也稱這定理為微分中值定理3兩個重要推論（1）如果函數(shù)在區(qū)間上的導數(shù)恒為零，那么在區(qū)間上是一個常數(shù)證：在區(qū)間上任取兩點、（假定，同樣可證），應用拉格朗日中值公式可得 （）由假定，所以 ，即 因為、是上任意

3、兩點，所以上式表明在區(qū)間上的函數(shù)值總是相等的，即在區(qū)間上是一個常數(shù)（2）如果函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)的導數(shù)恒有，則這兩個函數(shù)在內(nèi)至多相差一個常數(shù)，即（為常數(shù)）證：設，則，根據(jù)上面的推論（1）可得，即，故二、洛必達法則1時“”型未定式的洛必達法則如果函數(shù)及滿足下述的三個條件：（1）當時，函數(shù)及都趨于零；（2）在點的某個去心鄰域內(nèi)及都存在且；（3）存在（或為無窮大），那么 說明：這就是說，當存在時，也存在且等于；當為無窮大時，也是無窮大2時“”型未定式的洛必達法則如果函數(shù)及滿足下述的三個條件：（1）當時，函數(shù)及都趨于零；（2）當時及都存在且；（3）存在（或為無窮大），那么 說明：我們指出，對于或時的未定式“

4、”，也有相應的洛必達法則3使用洛必達法則求“”型或“”型極限時的注意事項（1）使用洛必達法則之前要先判斷所求極限是不是“”型或“”型，如果不是則不能使用洛必達法則例如：就不能運用洛必達法則，直接代入求極限即可，故（2）洛必達法則可多次連續(xù)使用，也就是說，如果使用一次洛必達法則后算式仍然是“”型或“”型，則可再次使用洛必達法則，依此類推（3）洛必達法則是求“”型或“”型未定式極限的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用，例如能化簡時應盡可能先化簡，可以應用等價無窮小替代或重要極限時，應盡可能應用，這樣可以使運算簡便例如：求時，可先用進行無窮小的等價替換，然后再用洛必達法則，故 （4）如

5、果求極限的式子中含有非零因子，則可以對該非零因子單獨求極限（即可以先求出這部分的極限），然后再利用洛必達法則，以便簡化運算例如：求時，從第二步到第三步的過程中，分子上的因子和分母上的因子當時極限均為，故可先求出這兩部分的極限以便化簡運算（5）當洛必達法則的條件不滿足時，所求極限不一定不存在，也即是說，當不存在時（等于無窮大的情況除外），仍可能存在例如：極限， 極限是不存在的，但是原極限是存在的，4其他類型的未定式除了“”型或“”型未定式之外，還有其他類型的未定式，如“”、“”、“”、“”及“”型等對于“”和“”型的未定式，處理方法為將它們直接轉(zhuǎn)化成“”或“”型；對于“”、“”及“”型的未定式，

6、處理方法為先取對數(shù)將它們轉(zhuǎn)化成“”型，然后再轉(zhuǎn)化成“”型或“”型未定式三、函數(shù)單調(diào)性的判定法1單調(diào)性判定法設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，（1）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少說明： 如果把這個判定法中的閉區(qū)間改為其他各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結(jié)論也成立； 若判定法中在內(nèi)只有有限個點上，而在其余點上恒有（或），則函數(shù)在區(qū)間上仍然是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的2單調(diào)區(qū)間的求法設函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù)，則求函數(shù)的單調(diào)性的步驟如下：（1）求出函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，并令求出函數(shù)的駐點；此外，再找出導數(shù)不存在的點（一般是使得

7、分母為零的點）；（3）用函數(shù)的所有駐點和導數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)的定義區(qū)間，然后用單調(diào)性判定定理逐個判定各個部分區(qū)間的單調(diào)性3用單調(diào)性證明不等式函數(shù)的單調(diào)性還可以用來證明不等式，步驟如下：（1）將不等式的一邊變?yōu)榱悖坏扔诹愕囊贿呍O為，根據(jù)要證明的式子找出不等式成立的的范圍；（2）求的導數(shù)，判斷在上述范圍內(nèi)的符號（即正負）；（3）根據(jù)范圍的邊界值與的情況，導出所需要證明的不等式即可例如：試證明當時，證明：原不等式即為 ，故令，則 ，在上連續(xù)，在內(nèi)，因此在上單調(diào)增加，從而當時，又由于，故，即 ，亦即 四、函數(shù)的凹凸性與拐點1函數(shù)凹凸性的定義設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果對上任意兩點、，恒有，那么稱在上

8、的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有，那么稱在上的圖形是（向上）凸的（或凸?。┤绻瘮?shù)在內(nèi)具有二階導數(shù)，那么可以利用二階導數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性，如下所示2函數(shù)凹凸性的判定法設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么（1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的說明：若在內(nèi)除有限個點上外，其它點上均有（或），則同樣可以判定曲線在上為凹曲線（或凸曲線）3曲線的拐點的求法一般地，設在區(qū)間上連續(xù)，是的內(nèi)點（除端點外內(nèi)的點）如果曲線在經(jīng)過點時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點為這曲線的拐點我們可以按照下述步驟求區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的拐點：（1）求；（2）令，解出這方程在區(qū)間

9、內(nèi)的實根，并求出在區(qū)間內(nèi)不存在的點；（3）對于（2）中求出的每一個實根或二階導數(shù)不存在的點，檢查在左、右兩側(cè)鄰近的符號，當兩側(cè)的符號相反時，點是拐點，當兩側(cè)的符號相同時，點不是拐點在上單3基本初等函數(shù)的微分公式說明：若要求函數(shù)的凹凸區(qū)間，則用（2）中求出的每一個實根或二階導數(shù)不存在的點把區(qū)間分成若干部分區(qū)間，然后在這些部分區(qū)間上判定的符號，若，則該部分區(qū)間為凹區(qū)間，若，則該部分區(qū)間為凸區(qū)間五、函數(shù)的極值與最值1函數(shù)極值的定義設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于去心鄰域內(nèi)任一，有（或），那么就稱是函數(shù)的一個極大值（或極小值）函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點說明：

10、函數(shù)的極大值與極小值概念是局部性的，如果是函數(shù)的一個極大值，那只是就附近的一個局部范圍來說，是的一個最大值，如果就的整個定義域來說，不見得是最大值關(guān)于極小值也類似2函數(shù)取得極值的必要條件設函數(shù)在處可導，且在處取得極值，那么說明：這也就是說，可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點但反過來，函數(shù)的駐點卻不一定是極值點例如，的導數(shù)，因此是這函數(shù)的駐點，但卻不是這函數(shù)的極值點，所以，函數(shù)的駐點只是可能的極值點此外，函數(shù)在它的導數(shù)不存在的點處也可能取得極值例如，函數(shù)在點處不可導，但函數(shù)在該點取得極小值3判定極值的第一充分條件設函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心鄰域內(nèi)可導（1）若時，而時，則在處取得極大值；（2）若時，而

11、時，則在處取得極小值；（3）若時，的符號保持不變，則在處沒有極值4用第一充分條件求極值點和極值的步驟設函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)連續(xù)，除個別點外處處可導，則用第一充分條件求極值點和相應的極值的步驟如下：（1）求出導數(shù)；（2）求出的全部駐點與不可導點；（3）考查的符號在每個駐點或不可導點的左右鄰近的情形，以確定該點是否為極值點；如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；（4）求出各極值點的函數(shù)值，就得函數(shù)的全部極值5判定極值的第二充分條件設函數(shù)在處具有二階導數(shù)且，那么（1）當時，函數(shù)在處取得極大值；（2）當時，函數(shù)在處取得極小值說明：該極值判定條件表明，如果函數(shù)在駐點處的二階導數(shù)，那么該駐點一定

12、是極值點，并且可按二階導數(shù)的符號來判定是極大值還是極小值但如果，則該判定條件失效事實上，當，時，在處可能有極大值，可能有極小值，也可能沒有極值例如，這三個函數(shù)在處就分別屬于上述三種情況因此，如果函數(shù)在駐點處的二階導數(shù)為零，那么還得用一階導數(shù)在駐點左右鄰近的符號來判定6求在區(qū)間上的最值的步驟設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)除有限個點外可導，且至多有有限個駐點，則求在閉區(qū)間上的最值的步驟如下：（1）求出在內(nèi)的駐點， 及不可導點，；（2）計算（），（）及 ，；（3）比較（2）中諸值的大小，其中最大的便是在上的最大值，最小的便是在上的最小值說明：在實際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定可導函數(shù)確有最

13、大值或最小值，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得這時如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點，那么不必討論是不是極值，就可以斷定是最大值或最小值六、函數(shù)的漸近線的求法1水平漸近線若（包括或），則直線就是函數(shù)的水平漸近線2垂直漸近線（或稱鉛直漸近線）若（包括或），則直線就是函數(shù)的垂直（鉛直）漸近線【典型例題】【例3-1】驗證羅爾定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性解：顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，且，故滿足羅爾定理的條件，由定理可得至少存在一點，使得，即，即為滿足條件的點【例3-2】驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性解：顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，根據(jù)拉格朗日中值定理可得至少存在一點，使得，即

14、，可得，即為滿足條件的點【例3-3】不求導數(shù)，判斷函數(shù)的導數(shù)有幾個零點，這些零點分別在什么范圍解：顯然是連續(xù)可導的函數(shù)，且，故在區(qū)間，上滿足羅爾定理的條件，所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，即是的一個零點；在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，即是的一個零點；又在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，即也是的一個零點又因為是三次多項式，最多只能有三個零點，故恰好有三個零點，分別在區(qū)間，和內(nèi)【例3-4】證明，其中證明：設 ，因為 ，所以 ，又因為 ，即 ，故 說明：同理可證，【例3-5】求下列函數(shù)的極限1求 解：該極限為時的“”型未定式，由洛必達法則可得原式2求 解：本題為時的“”型未定式，由洛必達法則可得原式3求 解

15、：該極限為時的“”型未定式，由洛必達法則可得原式4求 解：本題為時的“”型未定式，由洛必達法則可得原式5求 解：該極限為時的“”型未定式，結(jié)合等價無窮小的替換，運用洛必達法則可得原式說明：此題也可這樣求解（運用公式和等價無窮小替換來簡化運算）：原式6求 解：該極限為時的“”型未定式，解決方法為先化為“”型，然后通分化為“”型，故原式7求 解：該極限為時的“”型未定式，解決方法為取對數(shù)化為“”型，進而化為“”型，故原式8求 解：原式，最后的極限不存在，不滿足洛必達法則的條件，實際上，原式【例3-6】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1解：因 ，令 ，得，用，將函數(shù)的定義域分成三個區(qū)間，其討論結(jié)果如下表所示：由

16、上表可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為2 解：函數(shù)的定義域為， （），當時導數(shù)不存在將函數(shù)定義域分成兩個區(qū)間和，討論結(jié)果如下表所示：所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【例3-7】利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式1試證當時，成立證明：設，則 ，因在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導，且 ，故在區(qū)間上單調(diào)增加，又因為，所以當時，即 ，也即 成立2試證當時，證明：令 ，則 ，因在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導且，故在區(qū)間上單調(diào)增加，又因為，所以當時，即 ，也即 成立【例3-8】證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根證明：令，因為在閉區(qū)間上連續(xù)，且，根據(jù)零點定理，在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點另一方面，對于任意實數(shù)，有，所以在內(nèi)

17、單調(diào)增加，因此曲線與軸至多有一個交點綜上所述，方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根【例3-9】求下列函數(shù)的極值1解：函數(shù)的定義域為，且有，令，得駐點，列表討論如下：極大值極小值由上表可得，函數(shù)的極大值為，極小值為2解：函數(shù)的定義域為，且有，令，得駐點，當時不存在，駐點以及不可導點將定義域分成三個區(qū)間，列表討論如下：極大值不存在極小值由上表可得，函數(shù)的極大值為，極小值為【例3-10】求函數(shù)在區(qū)間上的最值解：因為，令，得 ，計算 ，比較上述結(jié)果可知，最大值為，最小值為【例3-11】求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點1解：函數(shù)的定義域為，且有，令，得，列表討論如下：對應拐點對應拐點凹凸凹由上表可得，曲線的凹區(qū)間為和

18、，凸區(qū)間為，拐點為和2解：函數(shù)的定義域為，當時有，當時，和均不存在，但在區(qū)間內(nèi)，故曲線在上是凹的；在區(qū)間內(nèi)，故曲線在上是凸的所以曲線的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為【歷年真題】一、選擇題1（2009年，1分）若函數(shù)滿足，則必為的（ ）（A）極大值點 （B）極小值點 （C）駐點 （D）拐點解：若，則必為的駐點，選（C）2（2009年，1分）當時，曲線（ ）（A）沒有水平漸近線 （B）僅有水平漸近線（C）僅有鉛直漸近線 （D）既有水平漸近線，又有鉛直漸近線解：由可知，為曲線的水平漸近線；，故曲線無鉛直漸近線選項（B）正確3（2008年，3分）函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日公式中的等于（ ）（A） （B） （

19、C） （D）解：對函數(shù)在區(qū)間上應用拉格朗日中值定理，即 ，故 選（D）4（2007年，3分）曲線上切線平行于軸的點為（ ）（A） （B） （C） （D）解：切線平行于軸的點即為一階導數(shù)等于零的點由可得，；時，時，故曲線上切線平行于軸的點為和選項（D）正確5（2007年，3分）若在區(qū)間內(nèi)，導數(shù)，二階導數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)（ ）（A）單調(diào)增加，曲線為凸的 （B）單調(diào)增加，曲線為凹的（C）單調(diào)減少，曲線為凸的 （D）單調(diào)減少，曲線為凹的解：可得單調(diào)增加，可得曲線為凸的，故選（A）二、填空題1（2010年，2分）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 解：令，得駐點和；當時，當時，當時，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為2（2009

20、年，2分）當時，是 函數(shù)（填“單調(diào)遞增”、“單調(diào)遞減”）解：當時，；當時，；故當時，是單調(diào)遞減函數(shù)3（2009年，2分）函數(shù)在區(qū)間上的最大值點是 解：令，得駐點和比較函數(shù)值，可知，函數(shù)的最大值為，故函數(shù)的最大值點為4（2007年，4分）曲線在處的切線方程為 解：將代入?yún)?shù)方程可得切點為，切線斜率，故切線方程為 ，即 5（2005年，3分）的凸區(qū)間是 解： ， 令 可得，且當時，當時，故函數(shù)的凸區(qū)間是6（2005年，3分）曲線通過點的切線方程為 解：因 ，故切線斜率 ，所以切線方程為 ，即 三、應用題或綜合題1（2010年，10分）現(xiàn)有邊長為厘米的正方形紙板，將其四角各剪去一個大小相同的小正方形

21、，折做成無蓋紙箱，問剪區(qū)的小正方形邊長為多少時做成的無蓋紙箱容積最大？解：設剪區(qū)的小正方形邊長為，則紙盒的容積，令 ，可得 （舍去）因只有唯一的駐點，且原題中容積最大的無蓋紙箱一定存在，故當剪區(qū)的小正方形邊長為厘米時，做成的無蓋紙箱容積最大2（2010年，10分）設函數(shù)在上連續(xù)，并且對于上的任意所對應的函數(shù)值均為，證明：在上至少存在一點，使得解：令，由于在上連續(xù)，故在上也連續(xù)，而對，故，若，即，則；若，即，則；當，時，而在上連續(xù)，故根據(jù)零點定理可得，至少存在一點，使得，即，綜上，在上至少存在一點，使得3（2009年，10分）某工廠需要圍建一個面積為的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊

22、需要砌新的墻壁問堆料場的長和寬各為多少時，才能使砌墻所用的材料最?。拷猓涸O堆料場的寬為，則長為，設砌墻周長為，則，令，得 ，（舍去）因只有一個駐點，且原題中最值一定存在，故當時，函數(shù)有最小值即當寬為，長為時，才能使砌墻所用的材料最省4（2009年，10分）當，時，解：原不等式即為 設，則（1）當時，即成立；（2）當時，故單調(diào)增加，可得，即成立；（3）當時，故單調(diào)減少，可得，即成立綜上，當，時，不等式成立，即5（2008年，8分）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間與拐點解：函數(shù)的定義域為先求單調(diào)區(qū)間和極值令，得駐點，用駐點將整個定義域分為三個區(qū)間，當時，函數(shù)單調(diào)減少；當時，函數(shù)單調(diào)增加；當時，函數(shù)單調(diào)減少故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為，單調(diào)減少區(qū)間為和