二項(xiàng)式定理(三)楊輝三角ppt課件

1、11.1.二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理：011()nnnrn rrn nnnnna bC aC abC abC b 2.2.通項(xiàng)規(guī)律：通項(xiàng)規(guī)律：1,(0,1,2,)rn rrrnTC abrn 3.3.二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)：rnC第第( (r+1)+1)項(xiàng)項(xiàng)此法我們稱為：賦值法此法我們稱為：賦值法4.4.特殊地：特殊地：12211nrrn nnnnnxC x C xC xC x （）012(11)nnnnnnCCCC 2n 注注: :項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念x=1=1得得課前復(fù)習(xí)：課前復(fù)習(xí)：23 把（把（a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)取出來，當(dāng)展開式的

2、二項(xiàng)式系數(shù)取出來，當(dāng)n依次取依次取1，2，3，時(shí)，可列成下表：時(shí)，可列成下表：(a+b)11 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1上面的表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表上面的表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角楊輝三角)1 在我國在我國, ,很早就有人研究過二很早就有人研究過二項(xiàng)式系數(shù)表項(xiàng)式系數(shù)表, ,南宋數(shù)學(xué)家楊輝在南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其所著的其所著的詳解九章算法詳解九章算法中就中就有出現(xiàn)有出現(xiàn). .4 (a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6

3、 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1觀察二項(xiàng)式系數(shù)表，尋求其規(guī)律：觀察二項(xiàng)式系數(shù)表，尋求其規(guī)律：31015 不難發(fā)現(xiàn)不難發(fā)現(xiàn), ,表中每行兩端都是表中每行兩端都是1 1，而且除，而且除1 1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和. .事實(shí)上，事實(shí)上，設(shè)表中任一不為設(shè)表中任一不為1 1的數(shù)為的數(shù)為Cn+1r，那么它肩上的兩個(gè)數(shù)分別為，那么它肩上的兩個(gè)數(shù)分別為Cnr-1及及Cnr，知道，知道Cn+1+1r = Cnr-1-1+ +Cnr 這這就是組合數(shù)的性質(zhì)就是組合數(shù)的性質(zhì)2.2.除了這個(gè)性質(zhì)外除了這個(gè)性質(zhì)外,

4、 ,該表還蘊(yùn)藏該表還蘊(yùn)藏有什么性質(zhì)呢有什么性質(zhì)呢? ?5(1)(1)對稱性對稱性: : 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等( (a+ +b) )n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是: : 012,.rnnnnnnCCCCC， , ,(3)(3)增減性與最大值增減性與最大值. . 增減性的實(shí)質(zhì)是比較增減性的實(shí)質(zhì)是比較 的大小的大小. . 1kknnCC 與與(2)(2)遞推性遞推性: : 除除1 1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和. .從第一項(xiàng)起至中間項(xiàng)從第一項(xiàng)起至中間項(xiàng), ,二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大二項(xiàng)式

5、系數(shù)逐漸增大, ,隨后又逐漸減小隨后又逐漸減小. .(4)(4)各二項(xiàng)式系數(shù)的和各二項(xiàng)式系數(shù)的和. . 0122rnnnnnnnCCCCC 6(5)(5)一連串系數(shù)的和一連串系數(shù)的和. . 0122rnnnnnnnCCCCC 1111121231knnCCCCCC 22223231knnCCCCC 33334341knnCCCCC 7 可運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)，結(jié)合可運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)，結(jié)合“楊輝三角楊輝三角”和函數(shù)圖象，研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象，研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) ( (a+ +b) )n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是 可看成是以可看成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù)f( (r),)

6、,其定義域是其定義域是0,1,2,0,1,2, ,n,當(dāng)當(dāng)n=6=6時(shí)，其圖象是右圖中的時(shí)，其圖象是右圖中的7 7個(gè)孤立點(diǎn)個(gè)孤立點(diǎn). .012,.rnnnnnnCCCCC， , ,rnC.-1084621620f(r).369r8繼續(xù)思考繼續(xù)思考1: 1: 試證明在試證明在( (a+ +b) )n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和. .即證：即證：021312nnnnnCCCC 證明：在展開式證明：在展開式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b 0123(11)( 1)nnnn

7、nnnnCCCCC 02130nnnnCCCC 即即0213nnnnCCCC 啟示：在二項(xiàng)式定理中，對啟示：在二項(xiàng)式定理中，對a, ,b賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式有關(guān)問題的一種重要方法賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式有關(guān)問題的一種重要方法賦值法。賦值法。9思考思考2: 求證：求證： 01212312 2nnnnnnCCCnCn 10思考思考2:求證：求證：012123122nnnnnnCCCnCn證明：證明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01212311 2nnnnnnCCCnCn倒

8、序相加法倒序相加法11 1. 1.當(dāng)當(dāng)n n 1010時(shí)常用楊輝三角處理二項(xiàng)式系數(shù)問題時(shí)常用楊輝三角處理二項(xiàng)式系數(shù)問題; ; 2. 2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性、增減性和最大值利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性、增減性和最大值; ; 3. 3.常用賦值法解決二項(xiàng)式系數(shù)問題常用賦值法解決二項(xiàng)式系數(shù)問題. .12 類似上面的表類似上面的表, ,早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝12611261年所著的年所著的詳解九章算法詳解九章算法一書里就已經(jīng)出一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個(gè)表稱為楊輝三角。在書中，還說明了表里現(xiàn)了，這個(gè)表稱為楊輝三角。在書中，還說明了表里“一一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于釋鎖釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元1111世紀(jì)）世紀(jì)）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于1111世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（斯卡（1623-16621623-1662）首先發(fā)