大學(xué)物理實驗電子書(一)

1、緒 論0.1 物理實驗的地位和作用實驗是人們認(rèn)識自然規(guī)律、改造客觀世界的基本手段。借助于實驗，人們可以突破感官的限制，擴(kuò)展認(rèn)識的境界，揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系。近代科學(xué)歷史表明，自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的所有研究成果都是理論和實驗密切結(jié)合的結(jié)晶。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，實驗的運用日益廣泛和復(fù)雜，實驗的精確程度越來越高，實驗環(huán)節(jié)在科學(xué)技術(shù)的重大突破中所起的作用也越來越大。物理實驗是科學(xué)實驗的重要組成部分之一。物理實驗本質(zhì)上是一門實驗科學(xué)。在物理學(xué)的發(fā)展中一直起著重要的作用。物理概念的確立、物理規(guī)律的發(fā)展、物理理論的建立都有賴于物理實驗，并受物理實驗的檢驗。物理學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)，人類文明史上的每次重大的技術(shù)革命

2、都是以物理學(xué)的進(jìn)步為先導(dǎo)的，物理實驗在其中起著獨特的作用。如，法拉第等人進(jìn)行電磁學(xué)的實驗研究促使了電磁學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，導(dǎo)致了電力技術(shù)與無線電技術(shù)的誕生，形成了電力與電子工業(yè)；放射性實驗的研究和發(fā)展導(dǎo)致原子核科學(xué)的誕生與核能的運用，使人類進(jìn)入了原子能時代；固體物理實驗的研究和發(fā)展導(dǎo)致晶體管與集成電路的問世，進(jìn)而形成了強(qiáng)大的微電子工業(yè)與計算機(jī)產(chǎn)業(yè)，使人類步入信息時代。當(dāng)今科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以學(xué)科互相滲透、交叉與綜合為特征。物理實驗作為有力的工具，其構(gòu)思、方法和技術(shù)與其他學(xué)科的相互結(jié)合已經(jīng)取得巨大的成果。不容置疑，今后在探索和開拓新的科技領(lǐng)域中，物理實驗仍然是有力的工具。0.2 物理實驗的任務(wù)和目的物理

3、實驗是對工科學(xué)生進(jìn)行科學(xué)實驗基本訓(xùn)練的一門獨立的必修基礎(chǔ)課程，是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后受到系統(tǒng)實驗方法和實驗技能訓(xùn)練的開端，是工科類專業(yè)對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)實驗訓(xùn)練的重要基礎(chǔ)。本課程的具體任務(wù)是：（1）通過對實驗現(xiàn)象的觀察、分析和對物理量的測量，學(xué)習(xí)物理實驗知識，加深對物理學(xué)原理的理解。（2）培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實驗?zāi)芰?。其中包括?能夠自行閱讀實驗教材或資料，作好實驗前的準(zhǔn)備。 能夠借助教材或儀器說明書正確使用常用儀器。 能夠運用物理學(xué)理論對實驗現(xiàn)象進(jìn)行初步分析判斷。 能夠正確記錄和處理實驗數(shù)據(jù)，繪制曲線，說明實驗結(jié)果，撰寫合格的實驗報告。 能夠完成簡單的設(shè)計性實驗。（3）培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實驗素養(yǎng)。要

4、求學(xué)生具有理論聯(lián)系實際和實事求是的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)肅認(rèn)真的工作作風(fēng)，主動研究的探索精神和遵守紀(jì)律、愛護(hù)公共財產(chǎn)的優(yōu)良品德。0.3 物理實驗課的基本程序物理實驗多數(shù)是測量某一物理量的數(shù)值，也有研究某一物理量隨另一物理量變化的規(guī)律性。對同一物理量雖可用不同方法來測定，但是，無論實驗內(nèi)容如何，也不論采用哪一種實驗方法，物理實驗課的基本程序大都相同,一般分為如下三個階段：0.3.1 實驗課前的預(yù)習(xí)由于實驗課時間有限，而熟悉儀器和測量數(shù)據(jù)的任務(wù)比較重，因此必須在實驗課前認(rèn)真預(yù)習(xí)實驗課本，明確實驗的目的和實驗的基本原理，了解實驗的內(nèi)容和基本方法。預(yù)習(xí)時，應(yīng)以理解所述原理為主，其次是明確實驗?zāi)康暮鸵?。對于實?/p>

5、過程的具體要求只作粗略了解，以便能抓住實驗的關(guān)鍵。為了使測量結(jié)果一目了然，防止漏測數(shù)據(jù)，預(yù)習(xí)時應(yīng)根據(jù)實驗要求在記錄紙上畫好數(shù)據(jù)表格（表格的畫法請參見l.3.1節(jié)列表法）。在達(dá)到預(yù)習(xí)要求的基礎(chǔ)上，要求寫好預(yù)習(xí)報告（統(tǒng)一寫在實驗報告紙上），其內(nèi)容包括：（1）實驗名稱。（2）實驗?zāi)康?。?）實驗原理（只要求寫出原理摘要）。（4）實驗儀器的概述。（5）實驗內(nèi)容（概要地寫出主要內(nèi)容和步驟）。（6）注意事項（只寫需要特別注意的事項）。0.3.2 進(jìn)行實驗先對照課本了解儀器的結(jié)構(gòu)原理和使用方法，再將儀器安裝調(diào)試好，或開始接線，準(zhǔn)備就緒后開始測量或觀察。測量時，應(yīng)按有效數(shù)字規(guī)則讀數(shù)和記錄數(shù)據(jù)，其位數(shù)不能任意增

6、減。實驗數(shù)據(jù)應(yīng)經(jīng)教師審閱認(rèn)可，否則應(yīng)重做或補做。0.3.3 撰寫報告在原預(yù)習(xí)報告的基礎(chǔ)上充實以下幾部分內(nèi)容：（1）數(shù)據(jù)記錄與處理（包括記錄表格、誤差估算及最后結(jié)果的表示等，運算步驟應(yīng)完整，并注意有效數(shù)字）。（2）誤差分析和問題討論等。問題討論中，包括回答實驗思考題，分析實驗中觀察到的異?，F(xiàn)象，以及對實驗課的意見、建議等。實驗報告是實驗工作的書面總結(jié)，也是今后書寫科研論文的基礎(chǔ)，應(yīng)保持字跡端正、書寫整潔、條理清楚、內(nèi)容正確和完整。如實驗報告不符合要求，教師可要求學(xué)生重寫。上 篇1 物理實驗的基礎(chǔ)知識（上）1.1 測量、誤差、不確定度1.1.1 測量與誤差1）測量物理實驗是將物質(zhì)的運動形態(tài)按人們的

7、意愿在一定的實驗條件下再現(xiàn)，以找出各物理量間的關(guān)系，確定它們的數(shù)值大小，從中獲取規(guī)律性認(rèn)識的過程。而要在實驗中得到這種定量化的認(rèn)識，測量是必不可少的。測量從本質(zhì)上講是人們對自然界中的客體獲取數(shù)量概念的一種認(rèn)識過程。這一過程，總是通過一定的實驗者，運用一定的方法，使用一定的儀器實現(xiàn)的。在測量過程中，為確定被測對象的測量值，首先要選定一個單位，然后將待測量與這個單位進(jìn)行比較，得到比值（倍數(shù)）即為測量值的數(shù)值。顯然，數(shù)值的大小與所選的單位有關(guān)，因此表示一測量值數(shù)值時必須附以單位。2）直接測量與間接測量所謂直接測量就是將待測量與預(yù)先選定好的儀器、量具比較，直接從儀器上讀出測量量的大小。例如，用米尺測長

8、度，用天平測質(zhì)量，用電流表測電流等。應(yīng)該指出的是，能直接測量的物理量并不多。對大多數(shù)物理量來說，沒有可供直接進(jìn)行測量、讀數(shù)用的儀器。只能用間接的方法進(jìn)行測量，即將待測量表示成另外幾個可直接測量量的函數(shù)。根據(jù)可直接測量的物理量的測量值通過一定的函數(shù)運算，最終計算出待測量。這樣的一類測量稱為間接測量。例如，直接測量出銅柱體的高和直徑，便可間接測出其體積。如再直接測出其質(zhì)量m，便又可間接測出其密度。3）真值與誤差一個待測的物理量，客觀上在一定條件下都有一定的大小，我們稱之為“真值”。顯然，我們測量的目的也正是為了尋求這一真值。但具體的測量由于總要使用一定的儀器，通過一定的方法，在一定的環(huán)境條件下，由

9、一定的觀測者去完成，而儀器、方法、環(huán)境和測量者都不可能是盡善盡美，沒有缺陷的。因此，得到的測量值和真值之間總不可避免地存在著或多或少的差異這種差異就是所謂的誤差。如果用A表示待測量的真值，X表示具體的測量值，則可將測量的誤差X表示為（1）測量得到的一切值，都毫無例外地存在誤差，誤差存在于一切測量之中，而且貫穿于測量過程的始末。在誤差無法避免的情況下，我們所做的工作應(yīng)該是：第一，盡量設(shè)法減小測量中的誤差；第二，找到在同一測量條件下，最接近于真值的最佳近似值；第三，估計最佳值的可靠程度或者說明一個值域范圍內(nèi)包含真值的可能程度。4）誤差的分類根據(jù)誤差形成的不同原因及表現(xiàn)出的不同特性通常將其分為系統(tǒng)誤

10、差、隨機(jī)誤差和過失誤差三類。（1）系統(tǒng)誤差。在一定的實驗條件下，對同一物理量進(jìn)行多次測量時，誤差的絕對值和符號總保持不變或總按某一特定的規(guī)律變化，這一類誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因可歸結(jié)為以下幾個方面： 儀器本身的缺陷。如刻度不準(zhǔn)確，零點未校準(zhǔn)，儀器未按要求調(diào)到最佳測量狀態(tài)等。 理論與方法上的不完善。例如，用伏安法測電阻沒有考慮電表內(nèi)阻的影響，進(jìn)行熱學(xué)實驗時有熱量的散失等。 外界環(huán)境因素的影響。例如，金屬尺的熱脹冷縮，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢隨溫度的改變而發(fā)生變化。 測量者的習(xí)慣和偏向。例如，有的測量者習(xí)慣于側(cè)坐斜視讀數(shù)，有的在記錄信號時總是偏快等。系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)、減小或修正是一項重要的實驗課

11、題，對于廣大學(xué)生來說，則是需要通過具體的實驗訓(xùn)練逐步培養(yǎng)的一種重要的實驗技能。原則上講，系統(tǒng)誤差的分析處理可以根據(jù)具體情況在實驗前、實驗中或?qū)嶒灪筮M(jìn)行。例如，實驗前選擇合適的測量方法，對測量儀器進(jìn)行校準(zhǔn)；在實驗中可采取一定的方法和手段使測量中的系統(tǒng)誤差消除或減??；在實驗測量后可對實驗值進(jìn)行理論修正等。關(guān)于系統(tǒng)誤差知識的較詳細(xì)的介紹，請參閱本教材下篇“物理實驗的基礎(chǔ)知識（下）”。（2）隨機(jī)誤差。在相同的條件下，多次測量同一物理量時誤差時大時小，時正時負(fù)，以一種不可預(yù)定的方式隨機(jī)變化著，這類誤差稱為隨機(jī)誤差。它是由一系列隨機(jī)的、不確定的因素所形成的。例如： 人的感官判斷力的隨機(jī)性，在測量與讀數(shù)時總

12、難免存在時大時小的偏差。 外界因素的起伏不定，如溫度的或高或低，電源電壓的不穩(wěn)定等。 儀器內(nèi)部存在的一些偶然因素，如零部件配合的不穩(wěn)定等。在實驗過程中，上述因素往往混雜出現(xiàn)，難以預(yù)知，難以控制，所以，對待隨機(jī)誤差，不可能像對系統(tǒng)誤差那樣，找出原因，一一加以分析處理。習(xí)慣上，隨機(jī)誤差又被稱為“偶然誤差”，但在理解這一概念時要注意，所謂隨機(jī)誤差（偶然誤差）僅僅是指在某一次具體的測量中，其誤差的大小與正負(fù)帶有偶然性（隨機(jī)性），而不能理解為在測量過程中，這類誤差只是偶然出現(xiàn)的，也不能理解為“隨機(jī)誤差是完全偶然的，隨機(jī)性的，沒有什么規(guī)律可循”。事實上，當(dāng)測量次數(shù)充分多時，隨機(jī)誤差必然顯示出其特有的規(guī)律性

13、。這一問題，我們將在下一節(jié)中討論。（3）過失誤差。過失誤差又稱為粗大誤差。它是由于不正確地使用儀器，粗心大意觀察錯誤或記錯數(shù)據(jù)等不正常情況引起的誤差。只要實驗者有嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，一絲不茍的工作作風(fēng)，過失誤差是可以避免的，即使不小心出現(xiàn)了，也應(yīng)能在分析后立即予以剔除。5）精密度、正確度和精確度為了能正確評價實驗中測量結(jié)果的好壞，可引入精密度、正確度和精確度這三個概念。（1）精密度表示重復(fù)測量所得的各測量值相互接近的程度，它描述了測量結(jié)果的重復(fù)性的優(yōu)劣，反映了測量中隨機(jī)誤差的大小，所謂測量精密度高，就是指測量數(shù)據(jù)的離散性小，即隨機(jī)誤差?。ǖ到y(tǒng)誤差的大小不明確）。（2）正確度表示測量結(jié)果與真值

14、相接近的程度，它描述了測量結(jié)果的正確性的高低，反映了測量中系統(tǒng)誤差的大小程度，所謂測量的正確度高就是指最后的測量結(jié)果與真值的偏差小，即系統(tǒng)誤差?。ǖS機(jī)誤差的大小不確定）。（3）精確度是對測量結(jié)果的精密性與正確性的綜合評定，因而反映了總的誤差情況，所謂測量的精確度高，就是指測量值集中于真值附近，即測量的隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差都較小。圖11所示子彈打靶時的著彈點的分布情況可形象地說明上述三個量的意義。圖11圖（a）表明數(shù)據(jù)的精密度高，但正確度低，相當(dāng)于隨機(jī)誤差小而系統(tǒng)誤差大；圖（b）則表示數(shù)據(jù)的正確度高而精密度低，即系統(tǒng)誤差小而隨機(jī)誤差大；圖（c）則代表精密度和正確度都較高，即精確度高，總誤差小。1

15、.1.2 直接測量的結(jié)果及不確定度的分析在直接對一個物理量進(jìn)行測量時，測量值中往往同時存在系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。在本節(jié)中，我們將首先討論隨機(jī)誤差的分析方法，然后引入不確定度的概念并說明如何表示直接測量的結(jié)果。1）隨機(jī)誤差的統(tǒng)計規(guī)律如前所述，就每一次測量而言，其隨機(jī)誤差的大小和符號都是不可預(yù)知的，具有“偶然性”或“隨機(jī)性”。但理論和實踐都證明，如果對某一物理量在同一條件下進(jìn)行多次測量，則當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，這一組等精度測量數(shù)據(jù)（稱為一個測量列）其隨機(jī)誤差一般服從如圖12所示的統(tǒng)計規(guī)律，圖中橫坐標(biāo)表示誤差，縱坐標(biāo)表示一個與該誤差出現(xiàn)的幾率相關(guān)的幾率密度函數(shù)。圖-2可以證明：這種分布稱為正態(tài)分布（高斯

16、分布），其中的為分布函數(shù)的特征量，其值為服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有以下一些特征：（1） 單峰性。絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的出現(xiàn)的概率大。（2） 對稱性。絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。（3） 有界性。在一定的測量條件下，誤差的絕對值不超過一定限度。（4） 抵償性。隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨測量次數(shù)的增加而趨向于零。即2）測量結(jié)果的最佳值算術(shù)平均值在測量不可避免地存在隨機(jī)誤差的情況下，每次測量值各有差異，那么，怎樣的測量值是最接近于真值的最佳值呢?我們可以利用上面所討論的隨機(jī)誤差的統(tǒng)計規(guī)律來分析怎樣確定測量結(jié)果的最佳值。設(shè)對某一物理量進(jìn)行了次等精度測量，得到的測量列為。設(shè)測量中的系統(tǒng)

17、誤差可忽略，每次測量的隨機(jī)誤差分別為則上式中的顯然為次測量值的算術(shù)平均值，即（3）按隨機(jī)誤差的抵償性，時，因此，由此可見，在測量次數(shù)充分多時測量列的算術(shù)平均值趨向于真值。所以，在相同條件下進(jìn)行多次測量后，我們總是取測量列的算術(shù)平均值作為測量列的最佳近似值（最佳值），因為，從統(tǒng)計上講，測量列的算術(shù)平均值比任何一個測量值更接近于真值。此結(jié)論也適用于隨機(jī)誤差遵從其他分布規(guī)律的情況。3）多次測量的隨機(jī)誤差估計當(dāng)我們在相同條件下對同一物理量進(jìn)行了次測量后，我們已經(jīng)得到了真值的最佳近似值算術(shù)平均值。那么，應(yīng)如何表示測量中的隨機(jī)誤差呢?目前，最通用的方法是采用與隨機(jī)誤差的正態(tài)分布函數(shù)密切相關(guān)的“標(biāo)準(zhǔn)誤差”來

18、表示隨機(jī)誤差。現(xiàn)在讓我們來分析式（2）中的特征量的物理意義。圖13表示的是不同值時圖線。由圖可見，值小，則曲線較陡，說明這組測量數(shù)據(jù)的分散性小，重復(fù)性好；而值大，則曲線較平坦分布較寬，說明測量數(shù)據(jù)的重復(fù)性差。由此可見，這一特征量可用來反映一組測量數(shù)據(jù)的重復(fù)性的好壞（精密度的高低），即隨機(jī)誤差的大小，故將定義為這組測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差。其值為（4）應(yīng)該指出，標(biāo)準(zhǔn)誤差和各測量值的誤差有著完全不同的意義，并不是一個具體的測量的誤差值，而是一個統(tǒng)計性的特征量。當(dāng)測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差為時，該測量列中各測量值的誤差很可能都不等于，但可以證明，該測量列中任一測量值的隨機(jī)誤差落在區(qū)間內(nèi)的幾率為683%。還應(yīng)該指出的是

19、，在實際測量中，真值是無法確知的，我們只能用多次測量的算術(shù)平均值來近似地代表真值。因而只能用各測量值與算術(shù)平均值之差（稱為殘差）來估計誤差?？梢宰C明，在這種情況下，測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式應(yīng)修改為（5）上式表示的是一測量列中各測量值所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，那么各測量值的算術(shù)平均值的隨機(jī)誤差如何估算呢?如前所述，從統(tǒng)計上講應(yīng)比每一個測量值都更接近于真值，應(yīng)用誤差理論可以證明，算術(shù)平均值的隨機(jī)誤差為（6）注意，也是一個統(tǒng)計性的特征量，它表示在區(qū)間內(nèi)的幾率為68.3%。由上式可知，隨著測量次數(shù)的增加，將減小，這就是通常所說的增加測量次數(shù)可以減少隨機(jī)誤差的意義所在。但在后，變化很慢，所以，測量次數(shù)過多也沒有多少

20、實際意義，綜合各種因素考慮，在我們的實驗中一般取。4）單次測量的誤差估計在實際測量中，經(jīng)常會遇到?jīng)]有必要或不可能對某一被測物理量進(jìn)行多次測量的情況，這時我們就對待測量進(jìn)行單次測量。單次測量沒有測量列，沒有算術(shù)平均值，我們只能將這一測量值本身作為真值的近似值。同時，單次測量也不存在所謂數(shù)據(jù)的發(fā)散性問題，但這絕不意味著單次測量不存在誤差。事實上，單次測量的誤差與所用儀器的精度，測量者的實驗技能等均有關(guān)系，當(dāng)作粗略估計時常取儀器的最大誤差們作為單次測量的誤差估計值。所謂儀器的最大誤差就是指在正確使用儀器的條件下，測量值的最大誤差，它一般同時包含著系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差兩種成分。一般的計量儀器上都標(biāo)明了儀

21、器的“準(zhǔn)確度級別”，它通常是由制造工廠和計量機(jī)構(gòu)使圖1-3用更精確的儀器、量具經(jīng)過檢定比較后得出的，在測量時可根據(jù)準(zhǔn)確度的級別推算出儀器的最大誤差（具體內(nèi)容參見下一章）。對一些連續(xù)刻度的儀器，儀器的最大誤差常簡單取作最小刻度的一半。例如，米尺的儀器誤差常取為05mm。如果要較細(xì)致地分析儀器誤差，則應(yīng)注意到一般測量時儀器誤差的概率分布規(guī)律呈現(xiàn)圖14所示的均勻分布特征。例如，眼睛引起的瞄準(zhǔn)誤差，機(jī)械圖1-4秒表在其分度值內(nèi)不能分辨引起的誤差都具有圖示的均勻分布特征?？梢宰C明，服從均勻分布的儀器的最大誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為（7）5）直接測量量的不確定度的分析（1）不確定度的概念。我們知道，測量的目的

22、是為了尋求真值。但我們通過實驗無法真正得到真值，我們能得到的，只是真值的最佳近似值，這一方面說明實驗中必然存在誤差，另一方面同時說明了誤差也并不能通過實驗或計算而準(zhǔn)確得到。所以，80年代以來在工程技術(shù)測量、計量工作和實驗中等各領(lǐng)域已開始根據(jù)國際計量委員會（BIPM）所通過的關(guān)于“實驗不確定度表示的說明建議書”的精神，采用不確定度來評價測量的準(zhǔn)確性。所謂不確定度，簡單理解就是測量值不確定的程度，是對測量誤差大小取值的測度，或者說，是對待測量的真值的可能范圍的估計。不確定度是測量結(jié)果表述中的一個重要參數(shù)，此參數(shù)合理地說明測量值的分散程度和真值所在范圍的可靠程度。不確定度亦可理解為，一定置信概率下誤

23、差限的絕對值，記作。不確定度和誤差是兩個不同的概念，它們之間既有聯(lián)系，又有本質(zhì)區(qū)別。誤差是指測量值與真值之差，一般來說，它是未知的，無法確切表達(dá)的量。而不確定度是指誤差可能存在的范圍，這一范圍的大小能夠用數(shù)值表達(dá)。（2）直接測量量的不確定度計算。為綜合考慮實驗中的各種誤差情況，通常將不確定度分為兩類分量：不確定度A類分量：指多次重復(fù)測量后用統(tǒng)計方法算出的分量，用表示。不確定度8類分量：指不能用統(tǒng)計方法計算而需用其他方法估算的分量，用表示。當(dāng)兩類不確定度都存在時，總不確定度為它們的方和根合成。（8） 多次測量的不確定度計算。在物理實驗教學(xué)中，當(dāng)對某一物理量進(jìn)行多次直接測量后，我們約定?。?）（1

24、0）即取多次重復(fù)測量的平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為不確定度A類分量，取儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差為不確定度B類分量，則 （11） 單次測量的不確定度計算。對單次測量，不存在不確定度的A類分量，而B類分量可取為儀器的最大誤差，為（12）有時，式（12）算出的單次測量的不確定度可能會小于用式（11）算出的多次測量的不確定度，但這并非說明單次測量反而比多次測量準(zhǔn)確。實際上，兩者的“置信概率”不等，即在所計算出的不確定度內(nèi)包含真值的概率不等。另外，多次測量后如果測量列中各數(shù)據(jù)基本一樣或完全相同。這并不能說明測量得非常準(zhǔn)確，以至于不存在不確定度的A類分量，而只說明儀器的精度太低，多次測量已沒有意義，在這種情況下取是合理的選擇

25、。6）相對誤差與相對不確定度上面所講的標(biāo)準(zhǔn)誤差、儀器誤差等都是以誤差的絕對大小來反映誤差情況的，它們與被測量有相同的單位，稱為絕對誤差。但是，為了更全面地評定測量結(jié)果的優(yōu)劣，還需考慮這一絕對誤差對測量值本身的大小產(chǎn)生的相對影響，為此，引入相對誤差的概念。即（13）當(dāng)待測量有公認(rèn)值或理論值時，為衡量實驗結(jié)果的優(yōu)劣，可將測量值與公認(rèn)值或理論值進(jìn)行比較，用百分誤差表示實驗的誤差情況，可寫為即與誤差情況類似，為了更全面、準(zhǔn)確地反映實驗的精度，還需考慮“相對不確定度”，它實際上就是相對誤差范圍的估計值。即（14）1.1.3 間接測量的結(jié)果與不確定度的合成1）間接測量的結(jié)果與誤差的傳遞物理實驗中的大部分物

26、理量都需由間接計算得到，即在直接測量的基礎(chǔ)上，通過一定的函數(shù)運算得到。顯然，將各直接測量的結(jié)果（多次測量的平均值或單次測量的測量值）代入相應(yīng)的測量公式就可得到所謂“間接測量的結(jié)果”。用表示各獨立的直接測量量，表示間接測量量，則可表示為（15）由于各直接測量量都帶有一定的誤差，所以在此基礎(chǔ)上得到的間接測量量也必然帶有誤差，這就是“誤差的傳遞”問題。當(dāng)各直接測量量的絕對誤差分別是時，間接測量量的誤差如何呢?為回答這一問題，可考慮對上式進(jìn)行全微分，即（16）眾所周知，上式的數(shù)學(xué)意義是當(dāng)分別有微小偏差時，有相應(yīng)的偏差。由于一般情況下，誤差遠(yuǎn)小于測量值，故可將視為各直接測量量的誤差，而將視為間接測量的誤

27、差，則有（17）上式可視為誤差傳遞的基本公式。若先對式（15）取自然對數(shù)后再全微分，則同理可得（18）上式可視為相對誤差的基本傳遞公式。2）間接測量量的不確定度的合成當(dāng)我們用不確定度來反映測量的誤差情況時，上面的誤差傳遞問題實際上也就是不確定度的傳遞問題，或者也可以說，是不確定度的合成問題，因為從上面討論的公式來看，間接測量量的不確定度總是由各個獨立的直接測量量的不確定度合成的，但具體的合成方法不止一種。（1）不確定度的絕對值合成法不確定度合成公式之一。間接測量的不確定度就是對間接測量誤差的一種測度，當(dāng)我們不知道各直接測量量的誤差的符號時，為避免對間接測量的誤差估算不足，最保險的辦法是將式（1

28、7）或式（18）中各項取絕對值，分別用不確定度替換誤差由此得到的不確定度的合成公式為 （19）（20）這種合成過程計算較簡便，但計算結(jié)果往往偏大。一般適用于儀器較粗糙，實驗精確度較低，系統(tǒng)誤差較大的實驗。（2）不確定度的方和根合成法不確定度合成公式之二。對儀器精度較高，系統(tǒng)誤差較小的實驗，考慮不確定度的合成時，則應(yīng)注意到，事實上各分項誤差的符號總有正有負(fù)，它們傳遞給間接測量量時總會抵消一部分，所以，上面的不確定度合成公式夸大了間接測量量的不確定度。對以隨機(jī)誤差為主的不確定度的傳遞問題，更合理的合成方法是方和根合成法。即用以下兩個公式計算問接測量量的不確定度和相對不確定度，即（21）（22）為較

29、科學(xué)地反映實驗中的誤差和不確定度情況，考慮到物理實驗是基礎(chǔ)課程的特殊性，建議一般采用方和根合成法計算間接測量量的不確定度。計算過程分為三步： 先分析確定各直接測量量的不確定度。 根據(jù)函數(shù)關(guān)系寫出的全微分式（16）。 用式（21）或式（22）計算N的不確定度或相對不確定度。例11 用不確定度的方和根合成法推導(dǎo)加減運算和乘除運算的不確定度的合成公式解（1）設(shè)，則，應(yīng)有，而（2）設(shè)，則，仍有，而（3）設(shè)，則，應(yīng)有，而或因故（4）設(shè),則，應(yīng)有而或故一般函數(shù)的不確定度合成公式也可用相類似的方法得到，現(xiàn)將一些常用的不確定度的方和根合成公式列入表l1中。表11 常用函數(shù)的不確定度傳遞公式從上面的討論中可以看

30、出： 對加減運算，總是先算不確定度，而對乘除運算，總是先算相對不確定度較方便。 和差的不確定度的平方總是等于參與運算的各量的不確定度的平方和。 積商的相對不確定度的平方總是等于參與運算的各量的相對不確定度的平方和。 以上所述的加減運算或乘除運算，均指獨立測量量間的運算，若是稍復(fù)雜些的四則運算，或一般的函數(shù)運算，則應(yīng)根據(jù)式（19）、（20）和（21）、（22）進(jìn)行運算。例12 設(shè)，試用方和根合成法推導(dǎo)不確定度傳遞公式。解 12 有效數(shù)字與測量結(jié)果的表述1.2.1 有效數(shù)字及其運算1）有效數(shù)字的概念物理實驗離不開物理量的測量，直接測量需要記錄數(shù)據(jù)，間接測量既要記錄數(shù)據(jù)，又要進(jìn)行數(shù)據(jù)的運算。記錄時取

31、幾位數(shù)字，運算后保留幾位數(shù)字，這是實驗中面臨的一個十分重要的問題，為了正確地反映測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，需引入有效數(shù)字的概念。我們把正確和有效地表示測量結(jié)果（即大小與不確定度）的數(shù)字稱為有效數(shù)字。例如，我們用最小分度為1 mm的米尺去測量一物體的長度，始端和米尺零線對齊，終端落在21.7cm和21.8cm圖15之間（圖15），可最終讀數(shù)為21.78cm。顯然前三位是按米尺的刻度直接讀出的，是可靠的，準(zhǔn)確的。最后一位是在最小分度之間估讀的，是存有誤差的，不確定的，或者說是可疑的，盡管可疑，讀出這一位比不讀出這一位要準(zhǔn)確些，所以這一位仍是有效的。這樣，21.78cm即為正確表示測量結(jié)果的有效數(shù)字。如果我

32、們再在第四位后估讀一位或幾位數(shù)字，就沒有什么實際意義了，因為第四位已是可疑數(shù)字，其后面的數(shù)字將更可疑，甚至是無效的。此可見，有效數(shù)字總是由若干位準(zhǔn)確數(shù)和最后一位欠準(zhǔn)數(shù)（可疑數(shù)）構(gòu)成的，所以有效數(shù)字的位數(shù)就等于全部的準(zhǔn)確數(shù)的位數(shù)加l。2）有效數(shù)字的意義有效數(shù)字當(dāng)然能表示測量結(jié)果的大小，這一點與普通數(shù)字是一樣的。那么，有效數(shù)字與普通的數(shù)字相比，究竟有什么不同呢?我們知道，對普通的數(shù)學(xué)意義上的數(shù)字而言，l.55=1.550=1.5500，但是，對物理實驗中的測量值而言，l.551.550l.5500，因為即使認(rèn)為它們有相同的數(shù)值大小，它們的準(zhǔn)確度不同，或者說，它們的測量誤差不同。可見，有效數(shù)字的意義

33、在于，它除了具有普通數(shù)字所具有的表示測量值大小的功能外，還具有另一項重要的功能反映測量結(jié)果的不確定度的情況，而這兩點，對一測量數(shù)據(jù)而言是缺一不可的。下面我們就來分析一下怎樣通過有效數(shù)字來反映不確定度的情況。（1）有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系。我們知道，有效數(shù)字的前若干位都是準(zhǔn)確數(shù)，只有最后一位是欠準(zhǔn)的，而誤差就發(fā)生在這一位上。顯然，欠準(zhǔn)位在哪一位上，直接反映了測量值的不確定度的大小，兩單位相同的數(shù)字欠準(zhǔn)位愈靠前不確定度愈大；反之，不確定度愈小。所以，我們可以這樣來表述有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系：有效數(shù)字中欠準(zhǔn)位所在位置反映了不確定度的大小。例如l28 cm與1284 mm相比，前者的不確定度比后者大

34、。（2）有效數(shù)字與相對不確定度的關(guān)系。我們知道，對一個測量值的準(zhǔn)確性進(jìn)行評價時，除了要看其不確定度外，更要看其相對不確定度的情況。顯然，一個測量值的有效數(shù)字位數(shù)愈多，最后一位上的不確定量對整個測量值的影響就愈小，這個數(shù)所反映的相對不確定度就愈小。所以，我們可以這樣來表述有效數(shù)字與相對不確定度的關(guān)系；有效數(shù)字的位數(shù)反映了相對不確定度的大小。例如，23mm與223 mm相比，兩者的不確定度處于同一量級，但相對不確定度前者比后者大一個量級。再如l28 mm和1128 mm相比，前者的不確定度小于后者，而相對不確定度大于后者。3）有效數(shù)字的運算間接測量的結(jié)果總是通過一定的運算得到的，那么運算中間及運算

35、后結(jié)果的有效數(shù)字如何取舍呢?這就是有效數(shù)字的運算問題。進(jìn)行有效數(shù)字運算的總的原則有兩條：（1）由不確定度決定有效數(shù)字（其位數(shù)及欠準(zhǔn)位位置）。（2）最后運算結(jié)果的有效數(shù)字中也只有一位欠準(zhǔn)數(shù)。有些情況下，我們不知道各直接測量量的不確定度的大小，而無法進(jìn)行不確定度的合成計算，還有些情況，我們希望不作不確定度的計算，直接進(jìn)行有效數(shù)字的簡化運算。為此，我們先來討論一些簡單的有效數(shù)字運算規(guī)則。（1）加減運算?？偨Y(jié)上面關(guān)于加減運算的不確定度汁算法則可知：幾個量相加減后，所得結(jié)果的不確定度總是大于參與運算的各個量中任一個量的不確定度。而我們知道，不確定度直接決定了有效數(shù)字的最后一位欠準(zhǔn)位的位置，由此不難理解有

36、效數(shù)字的加減運算的近似運算法則為：幾個數(shù)相加減，最后結(jié)果的欠準(zhǔn)位與各數(shù)中最靠前的那一欠準(zhǔn)位對齊。例如： 24.8+3.96288 537-61.28476在運算過程中，多余的數(shù)字按尾數(shù)舍法處理，通常的做法是：小于5則舍，大于5則人，剛好等于5則把尾數(shù)湊成偶數(shù)（4舍6入逢5湊偶）這樣可使舍和入的機(jī)會均等。例如，將以下各數(shù)約簡到小數(shù)點后第一位則有： 37.8437.8 16.7816.8 l0.7510.8 2.252.2 2.25123（2）乘除運算。由乘除運算的不確定度計算法則可知，幾個量相乘除后，積或商的相對不確定度總是大于參與運算的任一量的相對不確定度，而相對不確定度直接決定了有效數(shù)字的位

37、數(shù)，由此我們不難理解乘除運算的有效數(shù)字近似運算法則是：幾個數(shù)相乘除后，最后結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)以各數(shù)中位數(shù)最少的一個為準(zhǔn)。例如： 1.72×4.171 5.39÷230.23對既有加減，又有乘除運算的混合運算，則可逐步按上述有效數(shù)字運算規(guī)則處理，以確定最后的有效數(shù)字。例如（3）其他運算。 乘方、開方運算。不難理解，乘方、開方運算后的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與其底的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如： 對數(shù)運算?？梢宰C明：對數(shù)運算后，其小數(shù)部分的位數(shù)可取得與真數(shù)的位數(shù)相同。例如：對其他函數(shù)運算（例如三角函數(shù)運算）原則上都遵循由不確定度決定有效數(shù)字的原則，即通過不確定度的傳遞運算，由的不確定度確定的

38、不確定度，最后確定的有效數(shù)字位數(shù)。4）關(guān)于有效數(shù)字的幾點說明（1）在數(shù)字中間或數(shù)字后面的“0”都是有效數(shù)字，不能任意取舍。例如，l.005 cm,，15.0 mm與l5.00mm中的“0”都是有效數(shù)字，特別是要注意l5.0mm與15.00mm是兩個不同的有效數(shù)字，因為它們的測量精度不同，前者可能是用米尺測定的，后者可能是用游標(biāo)卡尺測定的?？傊粋€有效數(shù)字究竟取幾位，是一件很嚴(yán)肅的事，所以，其后“0”絕不是可有可無，可多可少的。（2）用以表示小數(shù)點位置的“0”不是有效數(shù)字，因為有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān)，也與十進(jìn)制單位的變換無關(guān)。例如，均為三位有效數(shù)字。如果要以km為單位表示應(yīng)為L=000

39、0 012 8 km，但這樣書寫很不方便，通常改寫成L=128×10-5km。同樣，若以為單位則可寫成L=128×l04,但決不可寫L=12800。由此可見，當(dāng)數(shù)字很大或很小時，用l0的冪指數(shù)來表示較方便又科學(xué)，且不易出錯，這種方法稱為“科學(xué)計數(shù)法”。例如，地球質(zhì)量可表示為kg。電子的電荷e=-16022×10-9 C。其中有效數(shù)字部分是l0的冪指數(shù)的系數(shù)部分。一般規(guī)定小數(shù)點在第一位后面，而整個數(shù)的量級由l0的冪次體現(xiàn)。（3）有效數(shù)字是對存在測量誤差的測量值而言的，對參與運算的常數(shù)如、等，其有效數(shù)字位數(shù)均可認(rèn)為是無窮的，需要取幾位就可取幾位，一般情況下，像、這樣的

40、無理數(shù)在運算中可適當(dāng)多取一位。（4）不要因為計算過程處理不當(dāng)而損失有效數(shù)字位數(shù)，所以，在中間運算過程中，為避免由于舍人過多而造成的不確定度進(jìn)位，一般可先多保留一位，而在最后結(jié)果中仍只保留一位欠準(zhǔn)數(shù)。例如：1.2.2 測量結(jié)果的完整表述1）測量結(jié)果的文字表述綜上所述，在物理實驗中，要完整地表述一個已經(jīng)測量好的物理量，應(yīng)同時指明這個物理的測量值和不確定度（當(dāng)然，一般情況下還應(yīng)注明其單位）。具體地說，我們應(yīng)將測量結(jié)果用文字表述成如下形式：其中代表待測量，為該待測量的測量值，它既可以是單次的直接測量值，也可以是相同條件下多次直接測量的算術(shù)平均值（最佳近似值），還可以是在直接測量后經(jīng)過函數(shù)運算得到的間接

41、測量值，則為測量的不確定度，它是一恒為正的量。很多情況下，為了更準(zhǔn)確地反映測量結(jié)果的優(yōu)劣，還應(yīng)同時注明測量值的相對不確定度。即結(jié)合前面討論過的關(guān)于不確定度的計算方法，我們可以將各種情況下測量結(jié)果的完整文字表述總結(jié)如下：（1）對單次直接測量（2）對多次直接測量（3）對問接測量這里是由具體的函數(shù)運算得到的間接測量值，由不確定度的合成公式計算得到。最后需要指出的是：我們將測量結(jié)果寫成式（22）的真實含義是：待測量的真值在一定的概率水平上落在的范圍內(nèi)，或者說，區(qū)間以一定的概率包圍真值。這里所說的一定的概率即為“置信概率”，而區(qū)間稱為“置信區(qū)間”?？梢岳斫猓眯鸥怕逝c置信區(qū)間之間存在單一的對應(yīng)關(guān)系，置信

42、區(qū)間大，相應(yīng)地置信概率就高，置信區(qū)間小，則置信概率低。在可忽略不確定度的類分量的前提下，對應(yīng)于正態(tài)分布，可以證明若用標(biāo)準(zhǔn)誤差代表不確定度，則置信概率為68.3%；當(dāng)用代表不確定度時，置信概率為95.4%；而用代表不確定度時，置信概率為99.7%，已很接近100%。2）測量結(jié)果的有效數(shù)字表述實驗中的每一個測量值都要用有效數(shù)字表示，當(dāng)然，最終的測量結(jié)果也應(yīng)該用有效數(shù)字表述。那么，怎樣正確地寫出測量結(jié)果的有效數(shù)字表達(dá)式呢?或者說，怎樣正確地確定測量值及不確定度的有效數(shù)字位數(shù)呢?首先，由于不確定度是對誤差的估計值。因此，一般只能取一到兩位，多取了是無意義的。為統(tǒng)一和簡單起見，我們規(guī)定不確定度只取一位有

43、效數(shù)字。其次，根據(jù)有效數(shù)字的基本概念，測量值的有效數(shù)字應(yīng)該由若干位準(zhǔn)確數(shù)與最后一位欠準(zhǔn)數(shù)所組成，而誤差就發(fā)生在最后的欠準(zhǔn)位上。所以，確定測量值X的有效數(shù)字位數(shù)的原則是“使的最后一位與的所在位對齊”。例如，是正確的表達(dá)式，而和V=7832 V±0.5 V都不正確。如果在實驗中要同時表示出相對不確定度，則一般情況下，我們規(guī)定相對不確定度也只取一位有效數(shù)字，只有在它的首位是l或2時才可考慮多取一位。如前所述，由不確定度決定有效數(shù)字是處理一切有效數(shù)字問題的基本原則，如果已知各直接測量量的完整表達(dá)式（測量值與不確定度），則應(yīng)在計算出間接測量的不確定度以后再確定間接測量值的有效數(shù)字位數(shù)，并最終寫

44、出間接測量的結(jié)果表達(dá)式。例1.3 已知且，求的結(jié)果表達(dá)式。解 先將的測量值代人計算出的測量值。再計算不確定度，顯然，這里應(yīng)先計算相對不確定度：所以最后寫出的結(jié)果表達(dá)式為例1.4 已知金屬環(huán)的外徑，內(nèi)徑，高，求金屬環(huán)體積的測量結(jié)果表達(dá)式。解 ，代入數(shù)據(jù)有又而所以所以所以例1.5 已知一圓柱體的質(zhì)量，高，用千分尺測得直徑的數(shù)據(jù)，如下表：求其密度的測量結(jié)果。解將6次測量的標(biāo)準(zhǔn)差作為不確定度類分量，即將儀器標(biāo)準(zhǔn)誤差作為不確定度B類分量，即所以所以根據(jù)圓柱體的密度公式其密度的測量值為 而所以故測量結(jié)果應(yīng)表示為1.3 數(shù)據(jù)處理的基本方法我們做物理實驗，一般都要進(jìn)行定量的測量，得到一定的測量數(shù)據(jù)，但我們知道

45、，一個完整的實驗過程并不就此為止，我們還應(yīng)對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計算、作圖與分析，即進(jìn)行數(shù)據(jù)處理工作，從而尋求測量對象的內(nèi)在規(guī)律，正確地給出實驗結(jié)果，下面介紹幾種常用的數(shù)據(jù)處理方法。1.3.1 列表法列表法是數(shù)據(jù)處理的基本方法，它能使測量數(shù)據(jù)表達(dá)清晰醒目，富于條理，有助于反映出物理量間的對應(yīng)關(guān)系，同時，它還有利于提高處理數(shù)據(jù)的效率，減小和避免錯誤。數(shù)據(jù)在列表處理時，應(yīng)遵循以下原則：（1）各欄目均應(yīng)標(biāo)明名稱和單位，單位寫在標(biāo)題欄中，不要重復(fù)記在每個數(shù)字上。（2）列入表中的數(shù)據(jù)主要是原始數(shù)據(jù)，處理過程中一些重要的中間結(jié)果也可列入表中。 （3）欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算的程序，力求簡

46、明、齊全、有條理。（4）表中的數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字。能在實驗測量后做出一張規(guī)范的數(shù)據(jù)處理表格，雖不是一件很困難的事情，但也不是一蹴而就的，需要實驗者在實驗過程中進(jìn)行認(rèn)真的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練。1.3.2 作圖法作圖在實驗中也是常用的數(shù)據(jù)處理方法，通過作圖可以把測量數(shù)據(jù)間的關(guān)系及其變化情況直觀地表示出來，特別是對很難找到解析函數(shù)式的實驗結(jié)果，可從圖線上反映實驗結(jié)果并尋求相應(yīng)的經(jīng)驗公式。按作圖目的不同，作圖法可分為圖示法和圖解法兩類。1）圖示法一組測量數(shù)據(jù)以及物理量之間的關(guān)系，可以用圖線的形式表現(xiàn)出來，稱為圖示法。物理實驗中常用到兩種圖線，一種是表示在一定條件下兩量之間依賴關(guān)系的圖線，這種關(guān)系大

47、都有一定的規(guī)律。例如，電阻的阻值隨溫度變化滿足線性關(guān)系；二極管具有特定的伏安特性。畫這類圖線的方法是：依據(jù)觀測的實驗點，注意其變化的趨勢，畫出光滑的曲線。由于測量值存在誤差，所以不能強(qiáng)求觀測點都在曲線上，但應(yīng)使不在曲線上的點大致均勻分布在曲線兩側(cè)（圖16（a）。另一種圖線表示的是兩個無依賴關(guān)系的量之間的變化關(guān)系，例如，氣溫隨時間變化的圖線，電表的校正曲線等。畫這類圖線時圖線必須過觀測點，由于觀測值不可能無限多且相鄰觀測點間兩個量的關(guān)系并不清楚，因此，只能用直線將相鄰觀測點連接起來，使所作實驗圖線成為一條折線（圖16（b）。圖16為盡可能準(zhǔn)確反映各物理量間的對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)按以下原則作圖：（1）作圖

48、需用坐標(biāo)紙。一般選用直角坐標(biāo)紙，有時，根據(jù)需要也可選用對數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙等。（2）坐標(biāo)軸的選擇和坐標(biāo)軸單位的標(biāo)定。要根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)來確定，、原則上數(shù)據(jù)中可靠的數(shù)字在圖中亦是可靠的。數(shù)據(jù)中有誤差的一位，在圖中應(yīng)是估計的，即應(yīng)使坐標(biāo)紙中的一小格對應(yīng)于數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位。要適當(dāng)確定坐標(biāo)軸的比例和起點，坐標(biāo)軸的起點不一定取為零，以避免圖紙上出現(xiàn)大片的空白區(qū)（圖17（a）；同時注意選擇橫、縱軸的比例以使所作圖線比較對稱地充滿大部分坐標(biāo)紙空間（圖17（b）。圖17（3）標(biāo)點與連線。在坐標(biāo)紙上，實驗點要以一定的符號，比如用*、×、等表示出來，然后，在兼顧各數(shù)據(jù)點的基礎(chǔ)上，擬合

49、成一條光滑的曲線或直線。2）圖解法圖解法就是利用已作好的圖線，定量地求解一些問題。特別是當(dāng)所作圖線為直線時，采用此法尤為方便。例如，測量某電阻的阻值隨溫度的變化情況，已知阻值與溫度成線性關(guān)系 。這樣，在實驗中測出一系列不同溫度下的電阻值后，可作出一條直線，從直線上求出截距即得，求出斜率后即得。由于通過求直線的斜率和截距進(jìn)而求得一些物理參數(shù)是很方便的，所以，在實際問題中當(dāng)被測量間的關(guān)系為非線性關(guān)系時，我們總是想辦法將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系。例如， 在用單擺測重力加速度的實驗中已知，只要令，則作出直線，求其斜率即可求得重力加速度。再如，在測加速度實驗中可將改寫成，作出直線，由此可求出和，這樣的方法在圖解法中稱為“曲線改直”法。1.3.3 最小二乘法和直線擬合作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一種很直觀、方便的方法，但在圖線的繪制上帶有一定的主觀隨意性。同一組數(shù)據(jù)，不同的人作圖