1.7定積分的簡單應(yīng)用第2課時精品教案

1、1.7定積分的簡單應(yīng)用【課題】：1.7.2定積分在物理中的應(yīng)用【學(xué)情分析】：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡單的物理問題，但是還沒有接觸到使用高等數(shù)學(xué) 中的定積分解決問題（中學(xué)物理不會涉及），所以對于學(xué)生而言，本節(jié)是他們 在中學(xué)階段利用微積分理解和解決物理問題的唯一的一節(jié)課.學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)， 如果教師引導(dǎo)得當(dāng)，那么學(xué)生無論是對數(shù)學(xué)的微積分的理解，還是對物理問 題的看法都會產(chǎn)生質(zhì)的飛躍（由現(xiàn)象到本質(zhì)）.另 外，學(xué)生在進行本節(jié)的內(nèi)容 之前，應(yīng)該復(fù)習(xí)一些力學(xué)的相關(guān)知識，例如功，胡克定律，萬有引力定律， 電場力等等.要注意從定積分的意義入手，說明不少物理量都可以用定積分 進行計算（量的累積）.【教學(xué)目標(biāo)】：（1）知

2、識與技能：通過舉例復(fù)習(xí)變速直線運動的路程，引導(dǎo)學(xué)生解決變力所 作的功等一些簡單的物理問題.（2）過程與方法：利用問題的物理意義，有時也要注意借助于定積分的幾何 意義，用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法解決問題.（3）情感態(tài)度與價值觀：體會數(shù)學(xué)在物理的應(yīng)用，也即是在客觀物質(zhì)世界的 應(yīng)用。【教學(xué)重點】：解決變力所作的功等一些簡單的物理問題.進一步鞏固利用定積分解決 實際問題的思路和方法.【教學(xué)難點】：理解問題的物理意義，并且轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，借助于定積分解決.【課前準(zhǔn)備】：Powerpoint （或投影片）【教學(xué)過程設(shè)計】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖變速 直線 運動 的路 程問題師：在我們這一節(jié)課里，我們一起來

3、討論幾個常 見的物理問題，解決這些問題，將要使用到微積 分的知識.在這些問題，我們自然很少用到的變 量X,而是會使用到不同的字母（代表不同的物理 量）作為變量進行研究和計算.1.變速直線運動的路程我們知道，作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v =v（t）（v之0）在時間區(qū)間la,b b上的定積分，即s = 1v（t）dt.簡單的說就是路程是速度的積分.（課本P65 ）例題3 一輛汽車的速度一時間曲線 如圖所示.求汽車在這1min行駛的路程.-10 -巡視，具體指導(dǎo) 學(xué)生.找特別的解法.師（分析）：我們?nèi)绻軌蛑浪俣群瘮?shù)，就能應(yīng) 用公式計算.請大家獨立思考一下應(yīng)該如何解決. 生

4、：獨立解答后再相互交流.生：根據(jù)O, A, B, C四點坐標(biāo)，確定OA, AB, BC所在的直線方程，寫出分段函數(shù)v（t）的解析式. 分段函數(shù)，分段求定積分.生（總結(jié)）：首先要根據(jù)圖象寫出解析式，然后用 變速直線運動的路程公式求出路程.師：還有其他想法嗎？生：（思考）生：可以由變速直線運動的路程公式和定積分的幾何意義，也就是速度函數(shù)圖象與x軸的面積即可以用提問的 方式讓學(xué)生思 考、討論，使學(xué) 生進一步從數(shù) 形結(jié)合”的角度 理解定積分的 概念并解決問 題.路程，可以直觀地得出路程即為圖所示的梯形OABC 的面積.即 s = S弟形oabc J3060/30 =1350(m)師（點評）：我們從“數(shù)

5、形結(jié)合”的角度理解定積 分的概念并解決問題，這種解法更為簡潔.但是般只適用于容易求出面積的圖形.變力作功由學(xué)生熟悉的 物理背景引入. 恒力作功的問 題是學(xué)生熟悉 的，變力作功的 問題是恒力作 功問題的自然 引申.與求變速 直線運動的路 程一樣.引導(dǎo)學(xué) 生類比求變速 直線運動路程 的過程，自己推 導(dǎo)出變力作功 的公式.進一步 體驗用定積分 解決問題的思 想方法.2.變力作功師：我們知道一物體在恒力F (單位：N )的作用 下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移 動s (單位：m),則力F所作的功為W = Fs.現(xiàn)在問題拓展：如果這個力F是一個變力，即物 體在變力F(x)的作用下做直線運動，并

6、且物體沿著 與F(x)相同的方向從x=a移動到x = b(a <b),那么 如何計算變力F (x)所作的功W呢？師：我們知道在求變速直線運動的路程，在下圖 之中速度v(t)曲線與x軸的所為的面積為路程s,如果 把下圖的變力F類比為上圖的速度v,位移x類比 為時間t,那么在下圖中，變力作功的問題完全跟變速直線運動相類似，可 以用“四部曲一分割，近似代替，求和，取極限”, 解決變力作功的問題.b即 W u i F (x)dx a師：變力做功還有一個常見的例子，就是關(guān)于彈 簧.我們用壓縮一個彈簧，彈簧要恢復(fù)原長，就 要給我們手掌彈力.彈簧壓縮越厲害，彈力越 大.胡克定律就是說明這樣一個事實：在

7、彈性限度 內(nèi)，拉伸(或壓縮)彈簧所需的力F(x)與彈簧拉伸(或壓縮)的長度x成正比，即F(x) = kx.師：其中常數(shù)k是比例系數(shù)，稱為彈性系數(shù)(倔強系數(shù)) ， 恒為正值.不同類型的彈簧有不同的 k值.例如汽車的底盤 的避震系統(tǒng)的彈簧有很大的 k值，我們平時使用的活動圓珠 筆的彈簧只有很小的 k值.學(xué)生對彈簧的例題4 :如圖，在彈性限度內(nèi)，將一彈黃從平衡位 置拉到離平衡位置l m處，求克服彈力所作的功.教學(xué)環(huán)節(jié)解：在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力 F（x）與 彈簧拉伸（或壓縮）的長度 x成正比，即F（x）=kx,其中 常數(shù)k是比例系數(shù). 由變力作功公式，得到112W = .okxdx=

8、2kx1120 =kl (J)2答：克服彈力所作的功為k12 J.2教學(xué)活動平衡位置和伸長（壓縮）量、彈性限度、彈性系數(shù)、胡克定律需要有正確的認識，教師在需要 的時候要恰當(dāng) 補充提示.設(shè)計意圖實踐新知題，作業(yè)B組第4題作一個鋪墊練習(xí)：1、由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為m1,m2相距為 為練習(xí)A組2r的兩個質(zhì)點之間的萬有引力的大小為F=Gmm2,其中G為引力常數(shù)，引力的方向沿著 r兩質(zhì)點的連線方向.那么，把質(zhì)量分別為m1, m2的兩個物體從相距a拉近到相距b ,萬有引力所作的功是多少？miam2 mi b m2解：依題意得，w = g m1m2dr =Gm1m2|_|Jb 二2drc1 1 111Gm

9、im2(ab)=Gmim2 G =Gmim2=I r Jb(ba )ab四、鞏固 新知1. P67 練習(xí) 1, 22. P67習(xí)題A組2五、總結(jié)歸納1 .作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其 速度函數(shù)v=v(t)(v(t)之0)在時間區(qū)間a,b上的定b積分，即 s = v(t)dx . 3a2 .如果這個力F是一個變力，即物體在變力F(x)的 作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的 方向從x=a移動到x =b(a <b)，那么變力F (x)所作b的功 W = F(x)dx .3 .在彈性限度內(nèi)，拉伸(或壓縮)彈簧所需的力F(x)與彈簧拉伸(或壓縮)的長度x成正比，即F(x)

10、=kx,其中常數(shù)k是比例系數(shù).1. P67 習(xí)題 A 組 3 , 4 , 5 , 6六、2. P67習(xí)題B組4B組題4平行班布置作業(yè)可以作為選做設(shè)計反思同步練習(xí)(簡單題)1 .如果1N能拉長彈簧1cm,為了彈簧拉長6cm,所耗費的功為()(A)0.18J(B)0.26J(C)0.12J(D)0.28J答案：A解釋：設(shè)F(x) =kx,當(dāng)F =1N時,0.062x= 0.01m,則 k=100. W = ( 100xdx = 50x0.060= 0.18(J)2 .將一彈簧壓縮x厘米，需要4x牛頓的力，將它從自然長度壓縮5厘米，作的功為 答案：0.5焦耳55 5解釋：由 F(x) =kx= k

11、=0.04 牛頓/米，F(xiàn) (x) =0.04x ,，W = 14d xxj = 役 了 (焦耳)3、如果10N的力能使彈簧壓縮10cm,為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長6cm,則力所做的功為( )A. 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18J答案：D0.062 0.06解釋：設(shè) F(x) =kx，當(dāng) F =10 N 時，x =0.1m,貝U k =100。W = ( 100xdx = 50x 0 =0.18(J)4、物體作變速直線運動的速度為v(t),當(dāng)t=0時，物體所在的位置為 So ,則在t1秒末時它所在的位置為()t1t1A"。出Bs0十1v出t1t1C& v

12、出s0Ds0 - v(t)dt答案：B解釋：設(shè)ti秒末時它所在的位置為 S,又在時間 htj段的位移s(t)=SS0，又sto =V)t ,.八ti S =So + 0 v(t)dt。(難題)5、汽車以每小時32公里的速度行駛，到某處需要減速停車， 設(shè)汽車以勻減速a =2米/秒2剎車，則從開始剎車到停車汽車走了約()A. 19.75 米 B , 20.76 米 C , 22.80 米 D . 24.76 米答案：A80 .t 80斛釋：已知 V0 =一米/秒，= a(t) =v'(t) =-2 ,，v(t) =V0 + J0 a(t)dt= - 2t ,停車時 v = 0,404040802 ；9 1600t =4° , s(t) = i9 v(t)dt = t -t219.7539019 .J。8126、物體A以速度R=3t +1 (米/秒)在一直線上運動，同時物體 B也以速度r=10t (米/ 秒)在同一直線上與 A同方向運動，問多少時間后 A比B多運動5米，此時，A、B走的 距離各是多少？解析 依題意物體 A、B均作變速直線運動，所以可借助