多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

1、第十五章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性§ 1 平面點(diǎn)集1. 設(shè)二xn, yn ?是平面點(diǎn)列，R = Xo，yo是平面上的點(diǎn).證明limPg的充 要條件是 lim Xn = Xo，且 lim yn 二 yo.n 匸n：；2. 設(shè)平面點(diǎn)列fPj收斂，證明巳？有界.3. 判別以下平面點(diǎn)集哪些是開集、閉集、有界集和區(qū)域，并分別指出它們的聚點(diǎn)：(1)E Jx, y | y ：x； E X x, y |x2 y2 = C ;(3)E x, y |xy = 0?； E = ' x, y |xy = 0f;(5) E -; x, y |0 _ y _ 2,2y _ x _ 2y 2-；f11 E

2、= x, y | y =sin ,x 0 ； LxJ E = 1 x, y | x2 y2 =1 或y = 0,0 一 x 一 1?；(8) E =Ix, y | x, y均為整數(shù) /.4. 設(shè)F是閉集，G是開集，證明F G是閉集，G F是開集.5證明開集的余集是閉集.6設(shè)E是平面點(diǎn)集.證明P是E的聚點(diǎn)的充要條件是 E中存在點(diǎn)列只，滿足R = P n =1,2，川且im PnP0.7.用平面上的有限覆蓋定理證明致密性定理&用致密性定理證明柯西收斂原理.9設(shè)E是平面點(diǎn)集，如果集合 E的任一覆蓋都有有限子覆蓋，那么稱E是緊集.證明緊集是有界閉集.10. 設(shè)E是平面上的有界閉集，d E是E的

3、直徑，即d E sup r P',P''.p,p"走1.2.(8)求證：存在 R, F2乏E，使得r (RR )= d ( E ).11仿照平面點(diǎn)集，表達(dá)n維歐氏空間中點(diǎn)集的有關(guān)概念(如鄰域、極限、開集、聚點(diǎn)、閉集、區(qū)域、有界以及一些根本定理等).12表達(dá)并證明三維空間的波爾察諾-魏爾斯特拉斯致密性定理§ 2多元函數(shù)的極限與連續(xù)性表達(dá)以下定義：Ximx f x,y =：:;xxo y 沁X%f (x,y)=A ；ylim f x, y 二 A ；x_a-y jlimx a:求以下極限(包括非正常極限)r x2+y2linxN|x|+|ylinx_0y

4、 josin x3y3x2y2lim:備1x2y2lim x y siny jo2 2 2 2 lim x y ln x y ; x0y Qlim二00 cosx -sin y2 2limx )0 y )ox y4x ylim sin xyXQy2In (x +ey (9)lim ;xm Jx2+y2(10)lim 1;U2x-yxy +1(11)lim4 ；少+y2 21+x+y(12)lim 2廠;馮x+y(13)上緊以2 +y2憐嚴(yán)；y_耘(14)/ <2 xy lim 二逵lx +y丿3討論以下函數(shù)在0,0點(diǎn)的全面極限和兩個(gè)累次極限:(1)2r ,xf x,y22 ；x + y1

5、1f x, y = x y sin sin ；xy_exeyf x,y ：sin(xy)2 2f X,y2 2 y2 ；x y +(x_y)33x + yf x,y =2 y ；x + y2 2f x,y3 y 3 ；x +yf x,y * 3化到；(x2+y2 )(8)44ftx yf x,y -24 3 .(x2+y4)4.5.6.7.(8)(9)&表達(dá)并證明二元函數(shù)極限的局部有界性定理和局部保號(hào)性定理 表達(dá)并證明lim f x, y存在的柯西收斂準(zhǔn)那么0 * /y_y°試作出函數(shù)f X, y，使當(dāng)x,x0,y0時(shí)，全面極限和兩個(gè)累次極限都不存在；全面極限不存在，兩個(gè)累次

6、極限存在但不相等；全面極限和兩個(gè)累次極限都存在.討論以下函數(shù)的連續(xù)范圍：£ 1f x,y = ' 2 ；x/x +yf x,y1)= : sin xsin yf x,y = x y 1；f x,ysin (xy )0,y ",y = 0；sin xy f (x,y )才広盲x2y2 = 0,Qx2+y2=0;f (x,y )=嚴(yán)y,x為無(wú)理數(shù)X為有理數(shù)f x,yy2 ln x2y20,22小xy - 0,22小xy 0;x2 2 Pf (x,y )=<(x +y )Qx2 y2 = 0,(P>0).x2 y2 =0,假設(shè)f x,y在某區(qū)域G內(nèi)對(duì)變量x連續(xù)，對(duì)變量y滿足利普希茨條件，即對(duì)任意 x,y' G 和 x,y'' G ,f (x,y')f (x,y“)EL|y'y ,其中L為常數(shù)，求證f x, y在G內(nèi)連續(xù).9證明有界閉集上二元連續(xù)函數(shù)的最值定理和一致連續(xù)性定理10 .設(shè)二元函數(shù)f x, y在全平面上連續(xù),y = A，求證: f x,y在全平面有界;(2) f x,y在全