中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2終

1、4.求下列函數(shù)的最大值、最小值：（1）； （2） ； （3） ； （4）。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的基本方法是先求的點(diǎn)或者不存在的點(diǎn)，然后求這些點(diǎn)處的函數(shù)值及其閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較函數(shù)值，最大的即是在該閉區(qū)間上的最大值，最小的即是在該閉區(qū)間上的最小值。解：（1）在上令，得，； ，比較可得的最小值為，最大值為。（2） 在上，令，得，；，比較可得的最小值為，最大值為。（3）在上，得；，比較可得的最小值為，最大值為。（4）在上令，得； ，比較可得的最小值為，最大值為。5.求下列數(shù)列的最大項(xiàng)：（1） ； （2）。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：求數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng)問題可轉(zhuǎn)化為求函

2、數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問題；若為在區(qū)間內(nèi)的最小值點(diǎn)，則與中最小的一個(gè)為數(shù)列中的最小項(xiàng)；若為在區(qū)間內(nèi)的最大值點(diǎn)，則與中最大的一個(gè)為數(shù)列中的最大項(xiàng)。解：設(shè)，則在區(qū)間內(nèi)，令，得唯一駐點(diǎn)； 由，得，（或者說：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）為在區(qū)間內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；，且，當(dāng)時(shí)，取得最大項(xiàng)。（2）設(shè)，則在區(qū)間內(nèi)，令，得唯一駐點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有， 為在區(qū)間內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；，且，當(dāng)時(shí)，取得最大項(xiàng)。6.從一個(gè)邊長為的正方形鐵皮的四角上截去同樣大小的正方形，然后按虛線把四邊折起來做成一個(gè)無蓋的盒子（見圖），問要截去多大的小方塊，才能使盒子的容量最大？ 圖3-5-6知識(shí)點(diǎn)：求最值問題。思路：根據(jù)題意建

3、立數(shù)學(xué)函數(shù)模型，根據(jù)實(shí)際意義，確定自變量范圍，在所確定的范圍上求最值。特別地，在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)，且是函數(shù)的極值點(diǎn)，則當(dāng)是極大值時(shí)，就是在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)是極小值時(shí)，就是在該區(qū)間上的最小值；在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)，且在該區(qū)間上確實(shí)存在最值，則就是在該區(qū)間上的最值。解：設(shè)截去的小正方形的邊長為，則根據(jù)題意，得，；令，得（舍去），；，可得，當(dāng)一個(gè)邊長為的正方形的四角上截去一塊邊長為的小方塊，才能使盒子的容量最大。7.欲制造一個(gè)容積為的圓柱形有蓋容器，問如何設(shè)計(jì)可使材料最省？解：設(shè)圓柱形容器的底為，高為，則表面積，又，得，令，得唯一的駐點(diǎn)；又由，知，為的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)

4、；當(dāng)，時(shí)，可使材料最省，即圓柱形容器的底和半徑相等時(shí)，可使材料最省。8.從一塊半徑為的圓片中應(yīng)切去怎樣的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（見圖）容積為最大？解：設(shè)漏斗的半徑為，高為，容積為，根據(jù)題意，得，從而有 ；令，得（舍去），（舍去），；漏斗的最大容積確實(shí)存在，即最大值確實(shí)存在，又的駐點(diǎn)唯一，時(shí)，取得最大值，即當(dāng)切去圓心角為的扇形時(shí)，余下的部分卷成的漏斗容積最大。9.設(shè)有重量為的物體，置于水平面上，受力的作用而開始移動(dòng)（見圖），設(shè)磨擦系數(shù)，問力與水平線的交角為多少時(shí)，才可使力的大小為最??？解：根據(jù)題意，得，從而有， 即，令，則由，得在內(nèi)唯一的駐點(diǎn)；，且力與水平線的交角時(shí)，才可使力的大小為最

5、小。10.有一杠桿，支點(diǎn)在它的一端，在距支點(diǎn)處掛一重量為的物體，加力于杠桿的另一端使杠桿保持水平（見圖），如果杠桿的線密度為，求最省力的桿長。解：設(shè)杠桿長為，則根據(jù)題意和力的平衡關(guān)系，得，即；令，得唯一的駐點(diǎn)；最省力的杠桿長確實(shí)存在，當(dāng)杠桿長時(shí)最省力。圖3-5-8 圖3-5-9 0.1m圖3-5-10 圖3-5-1111.光源的光線射到平面鏡的哪一點(diǎn)再反射到點(diǎn)，光線所走的路徑最短（見圖）？解：設(shè)入射點(diǎn)為，則所走的路程令，得在區(qū)間內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，最短的距離確實(shí)存在，當(dāng)入射點(diǎn)在上的點(diǎn)為時(shí)，光源的光線所走的路徑最短；容易驗(yàn)證，此時(shí)入射角（記為）等于反射角（記為），即，此為著名的光的反射定律。12.甲船

6、以每小時(shí)里的速度向東行駛，同一時(shí)間乙船在甲船正北里處以每小時(shí)里的速度向南行駛，問經(jīng)過多少時(shí)間兩船距離最近？解：設(shè)兩船的距離為，且經(jīng)過小時(shí)兩船距離最近，則根據(jù)題意得令，得在區(qū)間內(nèi)唯一的駐點(diǎn)；兩船最短的距離確實(shí)存在，時(shí)，取得最小值，即經(jīng)過小時(shí)后兩船距離最近。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.6）3.6 函數(shù)圖形的描繪漸近線的概念：1）水平漸近線：若函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間，且，則稱直線為曲線的水平漸近線；2）鉛直漸近線：若函數(shù)在處間斷，且，則稱直線為曲線的鉛直漸近線；3）斜漸近線：設(shè)函數(shù)，若，則稱為的斜漸近線，其中。注：若不存在，或雖然它存在但不存在，則不存在斜漸近線。函數(shù)圖形描繪的步驟：1）確定函數(shù)的定

7、義域，求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；2）求出和的全部零點(diǎn)，的間斷點(diǎn)，和不存在的點(diǎn)；用這些點(diǎn)把函數(shù)定義域劃分成若干個(gè)部分區(qū)間；3）確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性和凹凸性，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；4）確定函數(shù)圖形的漸近線以及其他變化趨勢；5）算出和的全部零點(diǎn)及其不存在時(shí)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，有時(shí)適當(dāng)補(bǔ)充一些輔助點(diǎn)，根據(jù)以上步驟畫出函數(shù)大致圖形。習(xí)題3-61.求下列曲線的漸近線：（1）； （2） ； （3） 。知識(shí)點(diǎn)：漸近線的概念。思路：求出函數(shù)定義域；在間斷點(diǎn)處或無窮大時(shí)，討論的極限情況，用以求出的水平漸近線和垂直漸近線；討論、無窮大時(shí)的極限，用以求出斜漸近線

8、。解：（1）的定義域?yàn)?；，為鉛直漸近線，為水平漸近線，容易驗(yàn)證該函數(shù)沒有斜漸近線。（2） 的定義域?yàn)?；，為鉛直漸近線，為水平漸近線，容易驗(yàn)證該函數(shù)沒有斜漸近線。（3）的定義域?yàn)?；，函?shù)不存在鉛直漸近線及水平漸近線，而，為函數(shù)的斜漸近線。2.描繪下列函數(shù)的圖形：（1） ； （2） ； （3）； （4） ； （5）。知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：根據(jù)函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性和極值、凹凸性和拐點(diǎn)、漸近線及其關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，描繪函數(shù)圖形。解：（1）1）的定義域?yàn)椋?）令，得駐點(diǎn)；時(shí)不存在；無解；3）現(xiàn)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點(diǎn)：不存在不存在不存在不存在不存在極大值點(diǎn)不存在4

9、），為鉛直漸近線，為水平漸近線，容易驗(yàn)證，函數(shù)沒有斜漸近線；5）根據(jù)以上討論，可描繪出函數(shù)的圖形如下：圖3-6-2-1注：也可以利用函數(shù)的奇偶性，只討論函數(shù)在內(nèi)的情況，描繪出此區(qū)間上函數(shù)圖形，然后再利用圖像的對(duì)稱性，將函數(shù)圖形補(bǔ)充完整。（2）1）的定義域?yàn)椋?）令，得駐點(diǎn)；令，得，；3）為奇函數(shù)，在內(nèi)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點(diǎn)：極大點(diǎn)拐點(diǎn)4），為水平漸近線，容易驗(yàn)證，函數(shù)沒有斜漸近線；5）根據(jù)以上討論和函數(shù)的奇偶性，可描繪出該函數(shù)的圖形如下：011/2.圖3-6-2-2（3）1）的定義域?yàn)椋?）令，得駐點(diǎn)，；時(shí)，不存在；無解；3）現(xiàn)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點(diǎn)：不存在不存在極

10、大點(diǎn)不存在極小點(diǎn)4），為鉛直漸近線，容易驗(yàn)證，函數(shù)沒有水平漸近線；而，為斜漸近線。又5）根據(jù)以上討論，可描繪出該函數(shù)的圖形如下：1350圖3-6-2-3（4） 1）的定義域?yàn)椋?）令，得駐點(diǎn)；時(shí)，不存在；在上無解；3）現(xiàn)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點(diǎn)：不存在不存在極大值點(diǎn)4）容易驗(yàn)證，函數(shù)沒有漸近線。又5）根據(jù)以上討論，可描繪出該函數(shù)的圖形如下：0圖3-6-2-4（5）1）的定義域?yàn)椋?）令，得駐點(diǎn)；令，得；3）現(xiàn)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點(diǎn)：極大值點(diǎn)拐點(diǎn)4），為鉛直漸近線，為水平漸近線；函數(shù)無斜漸近線。 5）根據(jù)以上討論，可描繪出該函數(shù)的圖形如下：0圖3-6-2-5內(nèi)容概要名稱

11、主要內(nèi)容(3.7)3.7 曲率弧微分計(jì)算公式：，其中為弧函數(shù)，其性質(zhì)為單調(diào)增加。曲率計(jì)算公式：設(shè)曲線方程為，具有二階導(dǎo)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率計(jì)算公式為。1） 曲率圓與曲率半徑：設(shè)曲線在點(diǎn)處的曲率為，在點(diǎn)處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取點(diǎn)，使得。以為圓心，為半徑的圓成為曲線在點(diǎn)處的曲率圓。曲率圓的圓心稱為曲線在點(diǎn)處的曲率圓心。曲率圓的半徑稱為曲線在點(diǎn)處的曲率半徑。2） 在點(diǎn)處的曲率圓的圓心記為，則其計(jì)算公式為：。習(xí)題3-71.求曲線的最大曲率。知識(shí)點(diǎn)：曲率的計(jì)算公式及最值的應(yīng)用。思路：根據(jù)曲率計(jì)算公式，計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其二階導(dǎo)數(shù)，代入公式，得關(guān)于的曲率函數(shù)，然后求該函數(shù)的最大值，便得原來函數(shù)的最大

12、曲率，最小值便為原來函數(shù)的最小曲率。解：，得函數(shù)在處的曲率為，下面求的最大值：由，得；舍去當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)取得極大值，也是在內(nèi)的最大值，即曲線的最大曲率為。2.求拋物線在點(diǎn)處的曲率和曲率半徑。知識(shí)點(diǎn)：曲率和曲率半徑的計(jì)算公式。思路：利用曲率及曲率半徑的公式即可。解：，函數(shù)在處的曲率和曲率半徑分別為，將分別代入、中，得曲率和曲率半徑為，。3.計(jì)算擺線在處的曲率。解： ，； 在處的曲率為。4.曲線弧上的哪一點(diǎn)處的曲率半徑最小？求出該點(diǎn)處的曲率半徑。知識(shí)點(diǎn)：同1。思路：同1。解：，得函數(shù)在處的曲率半徑為，和的單調(diào)性一致，可通過求的最值得到的最值得唯一的駐點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，也是在內(nèi)取得

13、極小值，也是在內(nèi)的最小值，即曲線弧在處的曲率半徑最小，且該點(diǎn)處的曲率半徑為。注：此題也可通過求曲率的最大值點(diǎn)和最大值得到結(jié)果。5.求曲線在處的曲率。解： ，； 曲線在處的曲率為。6.汽車連同載重共，在拋物線拱橋上行駛，速度為，橋的跨度為，拱的矢高為，求汽車越過橋頂時(shí)對(duì)橋的壓力。知識(shí)點(diǎn)：曲率在物理中的應(yīng)用。思路：根據(jù)題意，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合物理問題，建立數(shù)學(xué)模型。解：取橋頂為原點(diǎn)，垂直向下為軸正向，則拋物線方程為，從而橋端點(diǎn)坐標(biāo)為在拋物線上，；，頂點(diǎn)處拋物線的曲率半徑；利用物理知識(shí)，得頂點(diǎn)處汽車的離心力，得汽車越過橋頂時(shí)對(duì)橋的壓力為。7.求曲線在其與軸的交點(diǎn)處的曲率圓方程。知識(shí)點(diǎn)：曲率圓的概念和

14、計(jì)算公式。思路：先根據(jù)曲率半徑公式，計(jì)算曲率圓半徑，然后再根據(jù)漸屈線的方程求曲率圓的圓心，得出曲率圓方程。解： 與軸的交點(diǎn)為， ，曲率圓的半徑為；又由漸屈線方程的參數(shù)方程得，即曲率圓的圓心為，從而曲線在其與軸的交點(diǎn)處的曲率圓方程為。8.求曲線的漸屈線方程。知識(shí)點(diǎn)：漸屈線的概念。思路：根據(jù)漸屈線的參數(shù)方程公式求方程。解： 由，得，；，即所求漸屈線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）?？偭?xí)題三1.證明下列不等式：（1） 設(shè)，證明：；（2）設(shè)，證明：。知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路：關(guān)鍵是尋找，用公式，當(dāng)確定了的范圍，即可定的范圍，從而證明結(jié)論。證明：設(shè) ，易見在連續(xù)，在可導(dǎo)，且， 由拉格朗日中值定理可知，至少

15、存在一使 即，又 ，故 。2.設(shè)在上可導(dǎo)，且，對(duì)于任何，都有，試證：在內(nèi)，有且僅有一個(gè)數(shù)，使。知識(shí)點(diǎn)：零點(diǎn)定理，羅爾中值定理或者單調(diào)性的應(yīng)用。思路：從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造輔助函數(shù)，利用零點(diǎn)定理證明存在性，利用反證法和羅爾中值定理證明唯一性；或者是利用單調(diào)性證明唯一性。證明：1）存在性。設(shè)，易見函數(shù)在上連續(xù)，且 ，由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)，使 ，即。2）唯一性。假設(shè)存在另一點(diǎn)，使，則在上連續(xù)，在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理可知，至少存在某，使，從而，這與矛盾，故有且僅有一個(gè)數(shù)，使。3.若時(shí)，可微函數(shù)有，則方程在內(nèi)（）（A） 無實(shí)根； （B） 有且僅有一實(shí)根； （C） 有且僅有二實(shí)根； （D）至少

16、有二實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)：極限的保號(hào)性，零點(diǎn)定理，羅爾中值定理。思路：根據(jù)保號(hào)性及零點(diǎn)定理，可得在內(nèi)有零點(diǎn)，再兩次利用中值定理便得結(jié)論。解：由得根據(jù)保號(hào)性，知，當(dāng)時(shí)，有從而有，取，則有；同理，由可知，當(dāng)時(shí)，有，取，則有；由零點(diǎn)定理，至少有一點(diǎn)，使；易知，在、在上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理，知至少有一點(diǎn)、，使得，；故選（D）。4.設(shè)于上連續(xù)，于內(nèi)可導(dǎo)，求證：存在，使得知識(shí)點(diǎn)：羅爾定理思路：設(shè)置輔助函數(shù)，使其滿足羅爾定理。解：設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且，即；由羅爾定理，至少存在一，即，又，故。注：輔助函數(shù)可通過如下推導(dǎo)獲得：設(shè)5.設(shè)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且，試證：對(duì)任意給定的正數(shù)在內(nèi)存在不同的，使。

17、知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路：證明在至少存在不相等的，滿足某種關(guān)系式，一般不構(gòu)造輔助函數(shù)，而是依據(jù)結(jié)論中各部分的特點(diǎn)分別利用微分中值定理。證明：顯然，；又由在上連續(xù)，且，根據(jù)介值定理，至少存在一點(diǎn)，使；易知在、上滿足拉格朗日中值定理，從而存在，分別使 （1）； （2），將（1）（2）兩式相加，消去即得。6.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：在內(nèi)存在點(diǎn)和，使。知識(shí)點(diǎn)：同5。思路：同5。證明：易知，、在上滿足柯西中值定理，從而，使得 （1）又由朗格朗日中值定理知，使得 （2）由（1）（2）兩式相比得即。7.證明多項(xiàng)式在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理。思路：反證法。解：假設(shè)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨

18、設(shè)，易知在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，由羅爾定理，至少存在一，使得 ，即 ，但，矛盾。故多項(xiàng)式在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。8.設(shè)可導(dǎo)，試證的兩個(gè)零點(diǎn)之間一定有函數(shù)的零點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路：對(duì)于證明至少有一點(diǎn)，使得，一般從結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)具體的條件使用零點(diǎn)定理，證明；或者使用羅爾中值定理，證明。 ，故可構(gòu)造輔助函數(shù)證明：設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，再令，易知，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又，從而，由羅爾中值定理知，至少有一點(diǎn)，使得，又，從而有，結(jié)論成立。9.設(shè)，證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理。思路：構(gòu)造輔助函數(shù)，證明輔助函數(shù)有駐點(diǎn)。證明：設(shè)，易知在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，由羅

19、爾中值定理知，至少存在，使得 ，又，故 在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。10.設(shè)在上處處有，且，證明在內(nèi)方程僅有一實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)：零點(diǎn)定理及其函數(shù)的單調(diào)性。思路：利用零點(diǎn)定理，或者證明有實(shí)根；再利用函數(shù)單調(diào)性證明根唯一。證明：由泰勒公式得：；在上處處有，從而；取，則有，又，由零點(diǎn)定理知，使得，根的存在性成立；下證唯一性：在上處處有，在上單調(diào)遞減，從而在上，有，在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，從而僅有一實(shí)根。11.設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且.若，證明：至少存在一點(diǎn)，使得。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理。思路：證明至少存在一點(diǎn)，使得的命題，可考慮連續(xù)次使用羅爾中值定理。證明：由題意可知在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且 ，由羅爾定理，至少存在，使得

20、；又，由題意在上連續(xù)，在上可導(dǎo)， 且，即 ，由羅爾定理，至少存在，使得。12.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則在內(nèi)存在一點(diǎn)，使得。知識(shí)點(diǎn)：費(fèi)馬引理。思路：可導(dǎo)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，所以證明在內(nèi)存在極值點(diǎn)即可。證明：，不妨設(shè)，；，由極限的保號(hào)性知，當(dāng)時(shí)，有，即有： （1）同理由知，當(dāng)時(shí)，有，即有 （2）易知，在上連續(xù)，從而在上必有最值，且由（1）（2）知，的最小值點(diǎn)必在內(nèi)取得，設(shè)為，則由費(fèi)馬引理知，結(jié)論成立。13.用洛必達(dá)法則求下列極限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 。知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則。思路：注意洛必達(dá)法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題，基本形式為：型與型未

21、定式，對(duì)于這種形式可連續(xù)使用洛必達(dá)法則；對(duì)于型與型的未定式，可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式；對(duì)于型、型與型的未定式，可通過取對(duì)數(shù)等手段化為未定式；此外，還可以結(jié)合等價(jià)無窮小替換、兩個(gè)重要的極限、換元等手段使問題簡化。解：（1）。（2）。（3）。（4）（5）方法一：方法二： 又，故 。（6）。14.設(shè)，求。知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路：結(jié)論中含有函數(shù)改變量，可聯(lián)想到利用中值定理求得結(jié)論。解： 由朗格朗日中值定理得，（介于與之間），從而有 。15.當(dāng)與為何值時(shí)，。知識(shí)點(diǎn)：極限和洛必達(dá)法則。思路：根據(jù)題意和已有的結(jié)論得關(guān)于與等式，求得與的值。解：由題意知，在該式左邊應(yīng)用洛必達(dá)法則可得 ，上

22、式成立，必須 ，故，代入上式后，左邊再應(yīng)用洛必達(dá)法則，得，從而有，。16.設(shè)，由拉格朗日中值定理得：使得，證明： 。知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)已知條件，求出的表達(dá)式，再利用求極限的方法求出極限。證明：由題意知，。17.設(shè)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且，求。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義。思路：求抽象函數(shù)在具體某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)定義，分別求出各階導(dǎo)數(shù)值。解： 由，可得，從而；在的某個(gè)鄰域內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，有，從而有；再由，知，從而有。18.求的三階麥克勞林公式。知識(shí)點(diǎn)：麥克勞林公式。思路：利用公式直接展開。解：，從而得的三階麥克勞林公式為。19.證明：。證明：設(shè)，則，從而有。20.設(shè)，證明

23、：。知識(shí)點(diǎn)：麥克勞林公式的應(yīng)用。思路：泰勒公式（麥克勞林公式）可以應(yīng)用于證明不等式；將函數(shù)展開到適當(dāng)?shù)男问?，然后利用已知條件和結(jié)論得到結(jié)果。證明：由麥克勞林公式，得，從而有；，又，有，結(jié)論成立。21.證明不等式：。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：拉格朗日中值定理，函數(shù)單調(diào)性，泰勒公式等都是常用的證明不等式的方法；根據(jù)此題特點(diǎn)，可以用拉格朗日中值定理或函數(shù)單調(diào)性的判定定理。證明：方法一： 令 ，則易知在上連續(xù)；當(dāng)時(shí)，有，由拉格朗日中值定理，易知，即有： ；又有即： ；從而由知，當(dāng)時(shí)，有，即，結(jié)論成立。方法二：令 ，則易知在上連續(xù)當(dāng)時(shí)，有嚴(yán)格單調(diào)降，得證22.利用函數(shù)的泰勒展開式求下列極限：（1） ；

24、（2）。知識(shí)點(diǎn)： 泰勒公式的應(yīng)用。思路：間接展開法。利用已知的結(jié)論將函數(shù)展開到適當(dāng)?shù)男问?，然后利用極限的運(yùn)算性質(zhì)得到結(jié)果。解：（1）由泰勒公式得 有。（2）由泰勒公式得 ，從而。23.求一個(gè)二次多項(xiàng)式，使式中代表時(shí)比高階的無窮小。知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式的應(yīng)用。思路：將函數(shù)的麥克勞林公式展開，再根據(jù)已知條件即得結(jié)果。解：由麥克勞林公式得：，再由可知。24.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）； （2）； （3）。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列

25、表討論，使得思路更清晰一些。解：（1）的定義域?yàn)?；令，得駐點(diǎn)為；不可導(dǎo)點(diǎn)為，。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴(yán)格單增，而在內(nèi)嚴(yán)格單減。（2），令，得，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為。（3）由知，；當(dāng)時(shí)，令，得，并且當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得；并且當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上可知，函數(shù)的增區(qū)間為，函數(shù)的減區(qū)間為。25.證明下列不等式：（1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，。知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。思路：利用函數(shù)單調(diào)性是證明不等式常用的方法。證明：（1）令，則在內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)， ，在上嚴(yán)格單增；從而，即，結(jié)論成立。（2）令，則在內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)，且僅在可數(shù)的

26、孤立點(diǎn)處成立，在上嚴(yán)格單增，從而，即；令，則在內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)，且，從而在上嚴(yán)格單增，從而，即；綜上可知，結(jié)論成立。26.設(shè)證明：。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：可以將看作變量，利用函數(shù)單調(diào)性證得結(jié)論。證明：設(shè)，則，在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，從而有在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，即有，結(jié)論成立。27.求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間：（1） ； （2） ； （3） 。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間，用二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1）的定義域

27、為，令，得；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的凸區(qū)間為，凹區(qū)間為，拐點(diǎn)為。（2）的定義域?yàn)椋?，得；?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的凸區(qū)間為，凹區(qū)間為，拐點(diǎn)為。（3） 的定義域?yàn)椋瑸椴淮嬖诘狞c(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為。28.利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：（1） ； （2）。知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)凹凸性的概念。證明：（1）令，在內(nèi)是凹的。利用凹函數(shù)的定義，有，從而有，結(jié)論成立。（2）令，由，可知在內(nèi)是凸的；又，由凸函數(shù)的定義知，即，結(jié)論成立。（也可用單調(diào)性證明）29.設(shè)在處有極值，試確定系數(shù)，并求出的所有極值點(diǎn)及拐點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：根據(jù)題意，得關(guān)于的關(guān)系式，確定的值；利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值（可

28、導(dǎo)的駐點(diǎn)還有第二充分條件）；利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求函數(shù)的凹凸和拐點(diǎn)。解：，根據(jù)題意有，即有，解得，從而；令，得；當(dāng)或者時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而知，為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)；令，得；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而知為拐點(diǎn)。30.求下列函數(shù)的極值：（1） ；（2） ； （3） 。知識(shí)點(diǎn)：極值的充分條件。思路：求的點(diǎn)或者不存在的點(diǎn)，然后利用極值的第一或者第二充分條件進(jìn)行判斷。當(dāng)所有的極值可疑點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí)，若利用第一充分條件，可列表討論；第二充分條件僅用來對(duì)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)進(jìn)行判斷。解：（1）的定義域?yàn)?，令，得；?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極大值為。（2）的定義域?yàn)?，令，得，又，從而在處取得極小值為。（3） 的定義域?yàn)?，沒有極值點(diǎn)。31

29、.研究函數(shù)的極值。思路：先去掉函數(shù)的絕對(duì)值，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，然后再求極值。解： ，定義域?yàn)椋?，令，得駐點(diǎn)；在處，有，在處不可導(dǎo)，同理，在也處不可導(dǎo)；易知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極大值為；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值為；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極大值為。32.求下列函數(shù)的最大值、最小值：（1）； （2） 。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。解：（1），令，得；，在區(qū)間上的最大值為，最小值為。（2） ，令，得唯一駐點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有， 為在區(qū)間內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)，從而在區(qū)間內(nèi)的最大值為，沒有最小值。33.設(shè)，求的最大值。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：先去掉函數(shù)的絕對(duì)值，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，然后再求最值。

30、解：，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，在定義域上的最大值即為在上的最大值；令，得，又，且，函數(shù)在定義域上的最大值為。34. 求數(shù)列的最小項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)及該項(xiàng)的數(shù)值。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：求數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng)問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問題；若為在區(qū)間內(nèi)的最值點(diǎn)，則與其中之一為數(shù)列中的最值項(xiàng)。解：設(shè)，則在區(qū)間內(nèi)，令，得唯一駐點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為在區(qū)間內(nèi)唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，取得最小項(xiàng)，且該項(xiàng)的數(shù)值為。35. 證明：。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值。證明：設(shè)，則，令，得；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，又，在上的最小值為，最大值為，從而有。36.

31、某商店每年銷售某種商品件，每次購進(jìn)的手續(xù)費(fèi)為元，而每件的庫存費(fèi)為元/年，若該商品均勻銷售，且上批銷售完后，立即進(jìn)下一批貨，問商店應(yīng)分幾批購進(jìn)此種商品，能使所用的手續(xù)費(fèi)及庫存費(fèi)總和最少？知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：根據(jù)題意，建立函數(shù)模型，求函數(shù)的最值。解：設(shè)商店分批購進(jìn)商品，則所用手續(xù)費(fèi)為元，因?yàn)樯唐肪鶆蜾N售，所以商店的庫存量為件，庫存費(fèi)為元，從而手續(xù)費(fèi)和庫存費(fèi)總和函數(shù)為；令，得；又，為的極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)；從而可知，商店應(yīng)分批購進(jìn)此種商品，能使所用的手續(xù)費(fèi)及庫存費(fèi)總和最少。37. 以汽船拖載重相等的小船若干只，在兩港之間來回運(yùn)送貨物。已知每次拖4只小船一日能來回16次，每次拖7只小船則一日能來回10次。如果小船增多的只數(shù)與來回減少的次數(shù)成正比，問每日來回多少次，每次拖多少只小船能使運(yùn)貨總量達(dá)到最大？知識(shí)點(diǎn)：同36。思路：同36。解：設(shè)每日來回次，每次拖只小船，每只小船運(yùn)貨為，則每日的運(yùn)貨總量為，又根據(jù)題意（小船增多的只數(shù)與來回減少的次數(shù)成正比）可得， ，從而得每日運(yùn)貨總量函數(shù)為，令，得；又，為的極大值