質(zhì)量常用統(tǒng)計技術(shù)(共92頁).ppt

1、質(zhì)量常用統(tǒng)計技術(shù)質(zhì)量常用統(tǒng)計技術(shù) 方差分析方差分析 回歸分析回歸分析 試驗設(shè)計試驗設(shè)計上海質(zhì)量教育培訓中心上海質(zhì)量教育培訓中心2005年年第一節(jié)第一節(jié) 方差分析方差分析 一、幾個概念一、幾個概念二、單因子方差分析二、單因子方差分析 一、幾個概念一、幾個概念 在試驗中改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫在試驗中改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫英文字母英文字母A、B、C、等表示。等表示。 因子在試驗中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。因子在試驗中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。用代表因子的字母加下標表示，記為用代表因子的字母加下標表示，記為A1，A2，Ak。 試驗中所考察的指標（可以是質(zhì)量特性也可試驗中所考察的指標

2、（可以是質(zhì)量特性也可以是產(chǎn)量特性或其它）用以是產(chǎn)量特性或其它）用Y表示。表示。Y是一個隨機變是一個隨機變量。量。單因子試驗：單因子試驗：若試驗中所考察的因子只有一個。若試驗中所考察的因子只有一個。例例2.1-1 現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一種零現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一種零件，為了了解不同工廠的零件的強度有無明顯的差件，為了了解不同工廠的零件的強度有無明顯的差異，現(xiàn)分別從每一個工廠隨機抽取四個零件測定其異，現(xiàn)分別從每一個工廠隨機抽取四個零件測定其強度，數(shù)據(jù)如表所示，試問三個工廠的零件的平均強度，數(shù)據(jù)如表所示，試問三個工廠的零件的平均強度是否相同？強度是否相同？ 工廠工廠 量件強度量件強度

3、 甲甲 乙乙 丙丙 103 101 98 110 113 107 108 116 82 92 84 86三個工廠的零件強度三個工廠的零件強度 在這一例子中，考察一個因子：在這一例子中，考察一個因子： 因子因子A：工廠：工廠該因子有三個水平：甲、乙、丙該因子有三個水平：甲、乙、丙試驗指標是：零件強度試驗指標是：零件強度 這是一個單因子試驗的問題。每一水平下的這是一個單因子試驗的問題。每一水平下的試驗結(jié)果構(gòu)成一個總體，現(xiàn)在需要比較三個總體試驗結(jié)果構(gòu)成一個總體，現(xiàn)在需要比較三個總體均值是否一致。如果每一個總體的分布都是正態(tài)均值是否一致。如果每一個總體的分布都是正態(tài)分布，并且各個總體的方差相等，那么比

4、較各個分布，并且各個總體的方差相等，那么比較各個總體均值是否一致的問題可以用方差分析方法來總體均值是否一致的問題可以用方差分析方法來解決。解決。二、單因子方差分析二、單因子方差分析 假定因子假定因子A有有r個水平，在個水平，在Ai水平下指標服水平下指標服從正態(tài)分布，其均值為從正態(tài)分布，其均值為 ，方差為，方差為 ，i=1,2, , r。每一水平下的指標全體便構(gòu)成一個總體，共。每一水平下的指標全體便構(gòu)成一個總體，共有有r個總體，這時比較各個總體的問題就變成比個總體，這時比較各個總體的問題就變成比較各個總體的均值是否相同的問題了，即要檢驗較各個總體的均值是否相同的問題了，即要檢驗如下假設(shè)是否為真：

5、如下假設(shè)是否為真：i2r:H 210 當當 不真時，表示不同水平下的指標的均不真時，表示不同水平下的指標的均值有顯著差異，此時稱因子值有顯著差異，此時稱因子A是顯著的，否則是顯著的，否則稱因子稱因子A不顯著。檢驗這一假設(shè)的分析方法便不顯著。檢驗這一假設(shè)的分析方法便是方差分析。是方差分析。0H 方差分析的三個基本假定方差分析的三個基本假定1. 在水平在水平 下，指標服從正態(tài)分布下，指標服從正態(tài)分布 ；iA),(Ni2 2. 在不同水平下，各方差相等；在不同水平下，各方差相等；3. 各數(shù)據(jù)各數(shù)據(jù) 相互獨立。相互獨立。ijy 設(shè)在一個試驗中只考察一個因子設(shè)在一個試驗中只考察一個因子A，它有，它有r個

6、個水平，在每一水平下進行水平，在每一水平下進行m次重復試驗，其結(jié)果用次重復試驗，其結(jié)果用 表示，表示，i=1,2, , r。 常常把數(shù)據(jù)列成常常把數(shù)據(jù)列成如下表格形式：如下表格形式：imiiy,y,y21單因子試驗數(shù)據(jù)表單因子試驗數(shù)據(jù)表水平水平試驗數(shù)據(jù)試驗數(shù)據(jù)和和均值均值A(chǔ)1myyy11211,T11yA2myyy22221,T22yArrmrryyy,21Trry 記第記第i水平下的數(shù)據(jù)均值為水平下的數(shù)據(jù)均值為 ，總均值為，總均值為 。此。此時共有時共有n=rm個數(shù)據(jù)，這個數(shù)據(jù)，這n個數(shù)據(jù)不全相同，它們的個數(shù)據(jù)不全相同，它們的波動（差異）可以用總離差平方和波動（差異）可以用總離差平方和ST去

7、表示去表示iyy rimjijT)yy(S112記第記第i 水平下的數(shù)據(jù)和為水平下的數(shù)據(jù)和為Ti， ； mjijiyT1引起數(shù)據(jù)波動（差異）的原因不外如下兩個：引起數(shù)據(jù)波動（差異）的原因不外如下兩個： 一是由于因子一是由于因子A的水平不同，當假設(shè)的水平不同，當假設(shè)H0不真不真時，各個水平下指標的均值不同，這必然會使試時，各個水平下指標的均值不同，這必然會使試驗結(jié)果不同，我們可以用組間離差平方和來表示，驗結(jié)果不同，我們可以用組間離差平方和來表示，也稱因子也稱因子A的離差平方和：的離差平方和： riiAyymS12這里乘以這里乘以m是因為每一水平下進行了是因為每一水平下進行了m次試驗。次試驗。 二

8、是由于存在隨機誤差，即使在同一水平下二是由于存在隨機誤差，即使在同一水平下獲得的數(shù)據(jù)間也有差異，這是除了因子獲得的數(shù)據(jù)間也有差異，這是除了因子A的水平的水平外的一切原因引起的，我們將它們歸結(jié)為隨機誤外的一切原因引起的，我們將它們歸結(jié)為隨機誤差，可以用組內(nèi)離差平方和表示：差，可以用組內(nèi)離差平方和表示： rimjiijeyyS112 Se：也稱為誤差的離差平方和：也稱為誤差的離差平方和可以證明有如下平方和分解式：可以證明有如下平方和分解式：eATSSS ST、SA、Se 的自由度分別用的自由度分別用 、 、 表示，它們也有分解式：表示，它們也有分解式： ，其中：，其中：TfAfefeATfff 1

9、 試試驗驗數(shù)數(shù)Tf1 水水平平數(shù)數(shù)AfATefff 因子或誤差的離差平方和與相應的自由度因子或誤差的離差平方和與相應的自由度之比稱為因子或誤差的均方和，并分別記為：之比稱為因子或誤差的均方和，并分別記為：AAAfSMS eeefSMS 兩者的比記為：兩者的比記為：eAMSMSF 當當 時認為在顯著性水平時認為在顯著性水平 上因上因子子A是顯著的。其中是顯著的。其中 是自由度為是自由度為 的的F分布的分布的1-分位數(shù)。分位數(shù)。),(1eAffFF ),(1eAffF eAff ,單因子方差分析表單因子方差分析表 來來源源偏偏差差平平方方和和自自由由度度均均方方和和F比比因因子子A誤誤差差eSAS

10、e1 rfArnfe AAAfSMS eeefSMS eAMSMSF 總總計計TST1 nfT各個離差平方和的計算：各個離差平方和的計算： nTyyySrimjijrimjijT2112112 r1i22i2ir1iAnTmTyymSATeSSS 其中其中 是第是第i個水平下的數(shù)據(jù)和；個水平下的數(shù)據(jù)和；T表示表示所有所有n=rm個數(shù)據(jù)的總和。個數(shù)據(jù)的總和。 iT進行方差分析的步驟如下：進行方差分析的步驟如下： （1）計算因子）計算因子A的每一水平下數(shù)據(jù)的和的每一水平下數(shù)據(jù)的和T1，T2，Tr及總和及總和T； （2）計算各類數(shù)據(jù)的平方和）計算各類數(shù)據(jù)的平方和 ； 222,TTyiij （3）依次

11、計算）依次計算ST，SA，Se； （4）填寫方差分析表；）填寫方差分析表； （5）對于給定的顯著性水平）對于給定的顯著性水平，將求得的，將求得的F值與值與F分布表中的臨界值分布表中的臨界值 比較，當比較，當 時認為因子時認為因子A是顯著的，否則認為是顯著的，否則認為因子因子A是不顯著的。是不顯著的。 eAffF,1 eAffFF,1 對上例的分析對上例的分析 （1）計算各類和：）計算各類和： 每一水平下的數(shù)據(jù)和為：每一水平下的數(shù)據(jù)和為： 344,444,412321 TTT數(shù)據(jù)的總和為數(shù)據(jù)的總和為T=1200 （2）計算各類平方和：）計算各類平方和： 原始數(shù)據(jù)的平方和為：原始數(shù)據(jù)的平方和為：

12、1214922ijy每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為 4852162 iT（3）計算各離差平方和：）計算各離差平方和： ST=121492-12002/12=1492， fT=34-1=11SA=485216/4-12002/12=1304, fA=3-1=2Se= 1492-1304=188, fe=11-2=9（4）列方差分析表：）列方差分析表： 例例2.1-1的方差分析表的方差分析表 來源來源偏差平方和偏差平方和自由度自由度均方和均方和F比比因子因子A1304AS2Af652 AMSF=31.21誤差誤差e188eS9ef920.MSe 總計總計T1492TS11Tf

13、（5） 如果給定如果給定 =0.05，從，從F分布表查得分布表查得 26. 4)9 , 2(95. 0 F 由于由于F4.26，所以在，所以在 =0.05水平上結(jié)論是因水平上結(jié)論是因子子A是顯著的。這表明不同的工廠生產(chǎn)的零件強是顯著的。這表明不同的工廠生產(chǎn)的零件強度有明顯的差異。度有明顯的差異。 當因子當因子A是顯著時，我們還可以給出每一水是顯著時，我們還可以給出每一水平下指標均值的估計，以便找出最好的水平。在平下指標均值的估計，以便找出最好的水平。在單因子試驗的場合，第單因子試驗的場合，第i個水平指標均值的估計個水平指標均值的估計為：為： iiy ， ri, 2 , 1 在本例中，三個工廠生

14、產(chǎn)的零件的平均強度在本例中，三個工廠生產(chǎn)的零件的平均強度的的估計分別為：的的估計分別為： 86,111,103321 由此可見，乙廠生產(chǎn)的零件的強度的均值由此可見，乙廠生產(chǎn)的零件的強度的均值最大，如果我們需要強度大的零件，那么購買最大，如果我們需要強度大的零件，那么購買乙廠的為好；而從工廠來講，甲廠與丙廠應該乙廠的為好；而從工廠來講，甲廠與丙廠應該設(shè)法提高零件的強度。設(shè)法提高零件的強度。 誤差方差的估計：這里方差誤差方差的估計：這里方差 的估計是的估計是MSe。在本例中：在本例中： 的估計是的估計是20.9。 2 2 的估計是的估計是 57. 49 .20 例例2.1-2 略（見教材略（見教材

15、P92）三、重復數(shù)不等的情況三、重復數(shù)不等的情況 若在每一水平下重復試驗次數(shù)不同，假定若在每一水平下重復試驗次數(shù)不同，假定在在Ai水平下進行水平下進行 次試驗，那么進行方差分次試驗，那么進行方差分析的步驟仍然同上，只是在計算中有兩個改動：析的步驟仍然同上，只是在計算中有兩個改動： im imnnTmTSriiiA212 例例2.1-3 某型號化油器原中小喉管的結(jié)構(gòu)使某型號化油器原中小喉管的結(jié)構(gòu)使油耗較大，為節(jié)約能源，設(shè)想了兩種改進方案以油耗較大，為節(jié)約能源，設(shè)想了兩種改進方案以降低油耗。油耗的多少用比油耗進行度量，現(xiàn)在降低油耗。油耗的多少用比油耗進行度量，現(xiàn)在對用各種結(jié)構(gòu)的中小喉管制造的化油器

16、分別測定對用各種結(jié)構(gòu)的中小喉管制造的化油器分別測定其比油耗，數(shù)據(jù)如表所列，試問中小喉管的結(jié)構(gòu)其比油耗，數(shù)據(jù)如表所列，試問中小喉管的結(jié)構(gòu)（記為因子（記為因子A）對平均比油油耗的影響是否顯著。）對平均比油油耗的影響是否顯著。（這里假定每一種結(jié)構(gòu)下的油耗服從等方差的正（這里假定每一種結(jié)構(gòu)下的油耗服從等方差的正態(tài)分布）態(tài)分布） 例例2.1-3的試驗結(jié)果的試驗結(jié)果 水平水平試驗結(jié)果（比油耗試驗結(jié)果（比油耗-220）A1：原結(jié)構(gòu)：原結(jié)構(gòu)11.0 12.8 7.6 8.3 4.7 5.5 9.3 10.3A2：改進方案：改進方案12.8 4.5 -1.5 0.2A3：改進方案：改進方案24.3 6.1 1.

17、4 3.6 （為簡化計算，這里一切數(shù)據(jù)均減去（為簡化計算，這里一切數(shù)據(jù)均減去220，不，不影響影響F比的計算及最后分析因子的顯著性）比的計算及最后分析因子的顯著性） （1）各水平下的重復試驗次數(shù)及數(shù)據(jù)和分別為：）各水平下的重復試驗次數(shù)及數(shù)據(jù)和分別為： A1：m1=8,T1=69.5A2：m2=4,T2=6.0A3：m3=4,T3=15.4總的試驗次數(shù)總的試驗次數(shù)n=16，數(shù)據(jù)的總和為，數(shù)據(jù)的總和為T=90.9 （2）計算各類平方和：）計算各類平方和： 41.7572 ijy07.6722 iimT43.5162 nT（3）計算各離差平方和：）計算各離差平方和： ST=757.41-516.43

18、=240.98， fT=16-1=15SA=672.07-516.43=155.64, fA=3-1=2Se= 240.98-155.64=85.34, fe=15-2=13（4）列方差分析表：）列方差分析表： 例例2.1-3方差分析表方差分析表 來源來源偏差平方和偏差平方和自由度自由度均方和均方和F 比比因子因子 A64.155 AS2 Af8277.MSA 86.11 F誤差誤差 e34.85 eS13 ef566.MSe 總計總計 T98.240 TS15 Tf（5） 如果給定如果給定 =0.05，從，從F分布表查得分布表查得 81. 3)13, 2(95. 0 F 由于由于F3.81，

19、所以在，所以在=0.05水平上我們水平上我們的結(jié)論是因子的結(jié)論是因子A是顯著的。這表明不同的中小是顯著的。這表明不同的中小喉管結(jié)構(gòu)生產(chǎn)的化油器的平均比油耗有明顯喉管結(jié)構(gòu)生產(chǎn)的化油器的平均比油耗有明顯的差異。的差異。 我們還可以給出不同結(jié)構(gòu)生產(chǎn)的化油器的平我們還可以給出不同結(jié)構(gòu)生產(chǎn)的化油器的平均比油耗的估計：均比油耗的估計： 69.22822069. 81 50.22122050. 12 85.22322085. 33 這里加上這里加上220是因為在原數(shù)據(jù)中減去了是因為在原數(shù)據(jù)中減去了220的緣故。的緣故。 由此可見，從比油耗的角度看，兩種改進由此可見，從比油耗的角度看，兩種改進結(jié)構(gòu)都比原來的好

20、，特別是改進結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)都比原來的好，特別是改進結(jié)構(gòu)1。 在本例中誤差方差的估計為在本例中誤差方差的估計為6.56，標準差，標準差的估計為的估計為2.56。 第二節(jié)第二節(jié) 回歸分析回歸分析 例例2.2-1 合金的強度合金的強度y與合金中的碳含量與合金中的碳含量x有有關(guān)。為了生產(chǎn)出強度滿足顧客需要的合金，在冶關(guān)。為了生產(chǎn)出強度滿足顧客需要的合金，在冶煉時應該如何控制碳含量？如果在冶煉過程中通煉時應該如何控制碳含量？如果在冶煉過程中通過化驗得到了碳含量，能否預測合金的強度？過化驗得到了碳含量，能否預測合金的強度？ 這時需要研究兩個變量間的關(guān)系。首先是收這時需要研究兩個變量間的關(guān)系。首先是收集數(shù)據(jù)集數(shù)據(jù)

21、(xi,yi)，i=1,2, ,n?，F(xiàn)從生產(chǎn)中收集到表?，F(xiàn)從生產(chǎn)中收集到表2.2-1所示的數(shù)據(jù)。所示的數(shù)據(jù)。 表表2.2-1 數(shù)據(jù)表數(shù)據(jù)表 序號序號xy10.1042.020.1143.530.1245.040.1345.550.1445.060.1547.570.1649.080.1753.090.1850.0100.2055.0110.2155.0120.2360.0一、散布圖一、散布圖 6050400.150.200.10 xy例例2.2-1的散布圖的散布圖 二、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù) 1相關(guān)系數(shù)的定義相關(guān)系數(shù)的定義 在散布圖上在散布圖上 n 個點在一條直線附近，但又個點在一條直線附近，但

22、又不全在一條直線上，稱為兩個變量有線性相關(guān)不全在一條直線上，稱為兩個變量有線性相關(guān)關(guān)系，可以用相關(guān)系數(shù)關(guān)系，可以用相關(guān)系數(shù) r 去描述它們線性關(guān)系去描述它們線性關(guān)系的密切程度的密切程度 yyxxxyLLLr 其中其中 nTTyxyyxxLyxiiiixy)( nTxxxLxiixx222 nTyyyLyiiyy222 iyixyTxT,性質(zhì)：性質(zhì)： 1 r 表示表示n個點在一條直線上，這時兩個個點在一條直線上，這時兩個變量間完全線性相關(guān)。變量間完全線性相關(guān)。 1r r0表示當表示當x增加時增加時y也增大，稱為正相關(guān)也增大，稱為正相關(guān) r0.576，說明兩個變量間有（正）線性相關(guān)關(guān)系。說明兩個變

23、量間有（正）線性相關(guān)關(guān)系。 576. 0)10(975. 0 r四、一元線性回歸方程四、一元線性回歸方程 1. 一元線性回歸方程的求法：一元線性回歸方程的求法： 一元線性回歸方程的表達式為一元線性回歸方程的表達式為 bxay 其中其中a與與b使下列離差平方和達到最?。菏瓜铝须x差平方和達到最?。?2)(),(iibxaybaQ通過微分學原理，可知通過微分學原理，可知 xxxyLLb ， xbya 稱這種估計為最小二乘估計。稱這種估計為最小二乘估計。 b 稱為回歸系數(shù)；稱為回歸系數(shù)；a一般稱為常數(shù)項。一般稱為常數(shù)項。 求一元線性回歸方程的步驟如下：求一元線性回歸方程的步驟如下： （1）計算變量）計

24、算變量x與與y的數(shù)據(jù)和的數(shù)據(jù)和Tx，Ty；（2）計算各變量的平方和與乘積和；）計算各變量的平方和與乘積和；（3）計算）計算Lxx,Lxy；（4）求出）求出b與與a；利用前面的數(shù)據(jù)，可得：利用前面的數(shù)據(jù)，可得： b=2.4392/0.0186=130.6022 a=590.5/12-130.6022 1.90/12=28.5297 （5）寫出回歸方程：）寫出回歸方程： xy6022.1305340.28 畫出的回歸直線一定通過（畫出的回歸直線一定通過（0，a）與）與 兩點兩點 ),(yx上例：上例： bxay 或或 xxbyy 2. 回歸方程的顯著性檢驗回歸方程的顯著性檢驗 有兩種方法：有兩種方

25、法： 一是用上述的相關(guān)系數(shù)；一是用上述的相關(guān)系數(shù)； 二是用方差分析方法（為便于推廣到多元二是用方差分析方法（為便于推廣到多元線性回歸的場合），將總的離差平方和分解成線性回歸的場合），將總的離差平方和分解成兩個部分：回歸平方和與離差平方和。兩個部分：回歸平方和與離差平方和。 總的離差平方和：總的離差平方和： 2yySiT回歸平方和：回歸平方和： xyiRbLyyS 2離差平方和：離差平方和： RTiiESSyyS 2且有且有ST=SR+SE，其中，其中 iibxay 它們的自由度分別為：它們的自由度分別為： fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-fR 計算計算F比，比， EERRfSfSF

26、/ 對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平 ，當，當 時認為回歸方程是顯著的，即回歸方程是有意時認為回歸方程是顯著的，即回歸方程是有意義的。一般也列成方差分析表。義的。一般也列成方差分析表。 )2, 1(1 nFF 對上面的例子，作方差分析的步驟如下：對上面的例子，作方差分析的步驟如下： 根據(jù)前面的計算根據(jù)前面的計算 （1）計算各類平方和：）計算各類平方和： ST=Lyy=335.2292， fT=12-1=11SR=bLxy=130.60222.4292=317.2589，fR=1SE=335.2292-317.2589=17.9703， fE=11-1=10 （2）列方差分析表：）列方差分析

27、表： 例例2.2-1的方差分析表的方差分析表 來源來源 偏差平方和偏差平方和自由度自由度均方和均方和F比比回歸回歸317.25891317.2589 176.55殘差殘差17.9703101.7970T335.229211對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平 =0.05，有，有 F0.95(1,10)=4.96 由于由于F4.96，所以在，所以在0.05水平上認為回歸水平上認為回歸方程是顯著的（有意義的）。方程是顯著的（有意義的）。 3利用回歸方程進行預測利用回歸方程進行預測 對給定的對給定的 ，y的預測值為的預測值為 0 xx 00bxay 1概率為概率為 的的y的預測區(qū)間是的預測區(qū)間是 )

28、,(00 yy其中其中 xxLxxnnt2021112 EEfS 當當n較大，較大， 與與 相差不大，那么可給出相差不大，那么可給出近似的預測區(qū)間，此時近似的預測區(qū)間，此時 0 xx21 u進行預測的步驟如下：進行預測的步驟如下： （1）對給出的）對給出的x0求預測值求預測值 上例，設(shè)上例，設(shè)x0 =0.16，則，則 43.4916. 06022.1305364.280 y（2）求）求 的估計的估計 上例有上例有 34. 1109703.17 （3）求）求 上例上例n=12，如果求概率為，如果求概率為95%的預測區(qū)的預測區(qū)間，那么間，那么t0.975(10)=2.228，所以，所以 11. 3

29、0186. 0)1583. 016. 0(1211228. 234. 12 （4）寫出預測區(qū)間）寫出預測區(qū)間 ),(00 yy上例為上例為(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54) 由于由于u0.975=1.96，故概率為，故概率為0.95的近似的預測的近似的預測區(qū)間為：區(qū)間為：63. 234. 196. 1 所求區(qū)間：所求區(qū)間：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（46.80，52.06） 相差較大的原因總相差較大的原因總n較小。較小。四、可化為一元線性回歸的曲線回歸四、可化為一元線性回歸的曲線回歸 在兩個重復的散布圖上，在兩個重復的散布圖上，n個

30、點的散布不一個點的散布不一定都在一條直線附近波動，有時可能在某條曲線定都在一條直線附近波動，有時可能在某條曲線附近波動，這時以建立曲線回方程為好。附近波動，這時以建立曲線回方程為好。 1. 確定曲線回歸方程形式確定曲線回歸方程形式 2. 曲線回歸方程中參數(shù)的估計曲線回歸方程中參數(shù)的估計 通過適當?shù)淖儞Q，化為一元線性回歸的形通過適當?shù)淖儞Q，化為一元線性回歸的形式，再利用一元線性回歸中的最小二乘估計方式，再利用一元線性回歸中的最小二乘估計方法獲得。法獲得。 回歸曲線的形式：回歸曲線的形式：（1） ，（，（a0，b0） xbay11 （2） ，（，（b0） )lg(xbay （3） ，（，（b0）

31、xbay （4） ，（，（b0） xbay/exp100 3. 曲線回歸方程的比較曲線回歸方程的比較 常用的比較準則：常用的比較準則： （1）要求相關(guān)指數(shù)）要求相關(guān)指數(shù)R大，其平方也稱為決大，其平方也稱為決定系數(shù)，它被定義為：定系數(shù)，它被定義為： 222)(1yyyyRiii（2）要求剩余標準差）要求剩余標準差s小，它被定義為：小，它被定義為： 2n)y y(s2ii 第三節(jié)第三節(jié) 試驗設(shè)計試驗設(shè)計 一、試驗設(shè)計的基本概念與正交表一、試驗設(shè)計的基本概念與正交表 （一）試驗設(shè)計（一）試驗設(shè)計 多因素試驗遇到的最大困難是試驗次數(shù)太多，多因素試驗遇到的最大困難是試驗次數(shù)太多，若十個因素對產(chǎn)品質(zhì)量有影

32、響，每個因素取兩個若十個因素對產(chǎn)品質(zhì)量有影響，每個因素取兩個不同狀態(tài)進行比較，有不同狀態(tài)進行比較，有210=1024、如果每個因素、如果每個因素取三個不同狀態(tài)取三個不同狀態(tài)310=59049個不同的試驗條件個不同的試驗條件 選擇部分條件進行試驗，再通過數(shù)據(jù)分析選擇部分條件進行試驗，再通過數(shù)據(jù)分析來尋找好的條件，這便是試驗設(shè)計問題。通過少來尋找好的條件，這便是試驗設(shè)計問題。通過少量的試驗獲得較多的信息，達到試驗的目的。量的試驗獲得較多的信息，達到試驗的目的。 利用正交表進行試驗設(shè)計的方法就是正交利用正交表進行試驗設(shè)計的方法就是正交試驗設(shè)計。試驗設(shè)計。 （二）正交表（二）正交表 493L試驗號列號

33、試驗號列號1 12 23 34 41 11 11 11 11 12 21 12 22 22 23 31 13 33 33 34 42 21 12 23 35 52 22 23 31 16 62 23 31 12 27 73 31 13 32 28 83 32 21 13 39 93 33 32 21 1 “L”表示正交表，表示正交表，“9”是表的行數(shù)，在試驗是表的行數(shù)，在試驗中表示試驗的條件數(shù)，中表示試驗的條件數(shù)，“4”是列數(shù)，在試驗中是列數(shù)，在試驗中表示可以安排的因子的最多個數(shù)，表示可以安排的因子的最多個數(shù)，“3”是表的是表的主體只有三個不同數(shù)字，在試驗中表示每一因主體只有三個不同數(shù)字，在試

34、驗中表示每一因子可以取的水平數(shù)。子可以取的水平數(shù)。 正交表具有正交性，這是指它有如下兩個特點：正交表具有正交性，這是指它有如下兩個特點： （1）每列中每個數(shù)字重復次數(shù)相同。）每列中每個數(shù)字重復次數(shù)相同。 在表在表L9(34)中，每列有中，每列有3個不同數(shù)字：個不同數(shù)字：1,2,3，每一個出現(xiàn)每一個出現(xiàn)3次。次。 （2）將任意兩列的同行數(shù)字看成一個數(shù)對，那）將任意兩列的同行數(shù)字看成一個數(shù)對，那 么一切可能數(shù)對重復次數(shù)相同。么一切可能數(shù)對重復次數(shù)相同。 在表在表L9(34)中，任意兩列有中，任意兩列有9種可能的數(shù)對：種可能的數(shù)對： (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,

35、3),(3,1),(3,2),(3,3)每一對出現(xiàn)一次。每一對出現(xiàn)一次。 常用的正交表有兩大類常用的正交表有兩大類 （1） 一類正交表的行數(shù)一類正交表的行數(shù)n，列數(shù)，列數(shù)p，水平數(shù)，水平數(shù)q 間有如下關(guān)系：間有如下關(guān)系： n=qk, k=2,3,4, p=(n-1)/(q-1) 如：如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，等，可以考察因子間的交互作用?？梢钥疾煲蜃娱g的交互作用。 （2）另一類正交表的行數(shù)，列數(shù)，水平數(shù)之間）另一類正交表的行數(shù)，列數(shù)，水平數(shù)之間 不滿足上述的兩個關(guān)系不滿足上述的兩個關(guān)系 如：如： L12(211)，L18(37)，L20(219)，L

36、36(313)等等 這類正交表不能用來考察因子間的交互作用這類正交表不能用來考察因子間的交互作用 常用正交表見附錄常用正交表見附錄二、無交互作用的正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析二、無交互作用的正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 試驗設(shè)計一般有四個步驟：試驗設(shè)計一般有四個步驟： 1. 試驗設(shè)計試驗設(shè)計 2. 進行試驗獲得試驗結(jié)果進行試驗獲得試驗結(jié)果 3. 數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析 4. 驗證試驗驗證試驗 例例2.3-1 磁鼓電機是彩色錄像機磁鼓組件磁鼓電機是彩色錄像機磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應大的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應大于于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項指標的合格率。某生產(chǎn)廠過去這項指標的合格率

37、較低，從而希望通過試驗找出好的條件，以提較低，從而希望通過試驗找出好的條件，以提高磁鼓電機的輸出力矩。高磁鼓電機的輸出力矩。 （一）試驗的設(shè)計（一）試驗的設(shè)計 在安排試驗時，一般應考慮如下幾步：在安排試驗時，一般應考慮如下幾步： （1）明確試驗目的）明確試驗目的 （2）明確試驗指標）明確試驗指標 （3）確定因子與水平）確定因子與水平 （4）選用合適的正交表）選用合適的正交表,進行表頭設(shè)計，進行表頭設(shè)計，列出試驗計劃列出試驗計劃 在本例中：在本例中： 試驗目的：提高磁鼓電機的輸出力矩試驗目的：提高磁鼓電機的輸出力矩 試驗指標：輸出力矩試驗指標：輸出力矩 確定因子與水平：經(jīng)分析影響輸出力矩的可能因

38、確定因子與水平：經(jīng)分析影響輸出力矩的可能因 子及水平見表子及水平見表2.3-2 表表2.3-2 因子水平表因子水平表 因因子子水水平平一一二二三三A A：充充磁磁量量（1 10 0- -4 4特特）9 90 00 01 11 10 00 01 13 30 00 0B B：定定位位角角度度（度度）1 10 01 11 11 12 2C C：定定子子線線圈圈匝匝數(shù)數(shù)（匝匝）7 70 08 80 09 90 0選表：首先根據(jù)因子的水平數(shù)，找出一類正交表選表：首先根據(jù)因子的水平數(shù)，找出一類正交表 再根據(jù)因子的個數(shù)確定具體的表再根據(jù)因子的個數(shù)確定具體的表 把因子放到表的列上去，稱為表頭設(shè)計把把因子放到表

39、的列上去，稱為表頭設(shè)計把放因子的列中的數(shù)字改為因子的真實水平，便成放因子的列中的數(shù)字改為因子的真實水平，便成為一張試驗計劃表，每一行便是一個試驗條件。為一張試驗計劃表，每一行便是一個試驗條件。在正交設(shè)計中在正交設(shè)計中n個試驗條件是一起給出的的，稱為個試驗條件是一起給出的的，稱為“整體設(shè)計整體設(shè)計”，并且均勻分布在試驗空間中。，并且均勻分布在試驗空間中。表頭設(shè)計表頭設(shè)計 A B C列號列號 1 2 3 4試驗計劃與試驗結(jié)果試驗計劃與試驗結(jié)果 因子因子試驗號試驗號充磁量充磁量 定位角度定位角度 定子線圈匝數(shù)定子線圈匝數(shù)T410 rad)180( 匝匝試驗結(jié)果試驗結(jié)果 y y輸出力矩輸出力矩（g.c

40、mg.cm）1 1(1)(1)900900(1)(1)1010(1)(1)70701601602 2(1)(1)900900(2)(2)1111(2)(2)80802152153 3(1)(1)900900(3)(3)1212(3)(3)90901801804 4(2)(2)11001100(1)(1)1010(2)(2)80801681685 5(2)(2)11001100(2)(2)1111(3)(3)90902362366 6(2)(2)11001100(3)(3)1212(1)(1)70701901907 7(3)(3)13001300(1)(1)1010(3)(3)909015715

41、78 8(3)(3)13001300(2)(2)1111(1)(1)70702052059 9(3)(3)13001300(3)(3)1212(2)(2)80801401409個試驗點的分布個試驗點的分布 3C3C2C1A115798642A2A3B1B2B3（二）進行試驗，并記錄試驗結(jié)果（二）進行試驗，并記錄試驗結(jié)果 在進行試驗時，要注意幾點：在進行試驗時，要注意幾點： 1. 除了所考察的因子外的其它條件，盡除了所考察的因子外的其它條件，盡可能保持相同可能保持相同 2. 試驗次序最好要隨機化試驗次序最好要隨機化 3. 必要時可以設(shè)置區(qū)組因子必要時可以設(shè)置區(qū)組因子 （三）數(shù)據(jù)分析（三）數(shù)據(jù)分析

42、 1. 數(shù)據(jù)的直觀分析數(shù)據(jù)的直觀分析 （1）尋找最好的試驗條件）尋找最好的試驗條件 在在A1水平下進行了三次試驗：水平下進行了三次試驗：#1，#2，#3，而在這三次試驗中因子而在這三次試驗中因子B的三個水平各進行了一的三個水平各進行了一次試驗，因子次試驗，因子C的三個水平也各進行了一次試驗。的三個水平也各進行了一次試驗。 在在A2水平下進行了三次試驗：水平下進行了三次試驗：#4，#5，#6，在這三次試驗中因子在這三次試驗中因子B與與C的三個水平各進行了一的三個水平各進行了一次試驗。次試驗。 在在A3水平下進行了三次試驗：水平下進行了三次試驗：#7，#8，#9，在這三次試驗中因子在這三次試驗中因

43、子B與與C的三個水平各進行了一的三個水平各進行了一次試驗。次試驗。 將全部試驗分成三個組，那么這三組數(shù)據(jù)間將全部試驗分成三個組，那么這三組數(shù)據(jù)間的差異就反映了因子的差異就反映了因子A的三個水平的差異，為此的三個水平的差異，為此計算各組數(shù)據(jù)的和與平均：計算各組數(shù)據(jù)的和與平均： T1=y1+y2+y3=160+215+180=555 =T1/3=185 1T T2=y4+y5+y6=168+236+190=594 =T2/3=198 2T T3=y7+y8+y9=157+205+140=502 =T3/3=167.3 3T同理同理 對因子對因子B與與C將數(shù)據(jù)分成三組分別比較將數(shù)據(jù)分成三組分別比較

44、所有計算列在下面的計算表中所有計算列在下面的計算表中 例例2.3-1直觀分析計算表直觀分析計算表 表頭設(shè)計表頭設(shè)計A AB BC C試驗號試驗號列號列號1 12 23 34 4y y1 11 11 11 11 11601602 21 12 22 22 22152153 31 13 33 33 31801804 42 21 12 23 31681685 52 22 23 31 12362366 62 23 31 12 21901907 73 31 13 32 21571578 83 32 21 13 32052059 93 33 32 21 1140140T T1 155555548548555

45、5555T T2 2594594656656523523T T3 35025025105105735731T185185161.7161.71851852T198198218.7218.7174.3174.33T167.3167.3170170191191R R30.730.7575716.716.7 （2）各因子對指標影響程度大小的分析）各因子對指標影響程度大小的分析 極差的大小反映了因子水平改變時對試驗結(jié)極差的大小反映了因子水平改變時對試驗結(jié)果的影響大小。這里因子的極差是指各水平平均果的影響大小。這里因子的極差是指各水平平均值的最大值與最小值之差，譬如對因子值的最大值與最小值之差，譬如對因

46、子A來講：來講： RA=198167.3=30.7 其它的結(jié)果也列在上表中。從三個因子的極差其它的結(jié)果也列在上表中。從三個因子的極差可知因子可知因子B的影響最大，其次是因子的影響最大，其次是因子A，而因子，而因子C的影響最小。的影響最小。 （3）各因子不同水平對指標的影響圖）各因子不同水平對指標的影響圖 從圖上可以明顯地看出每一因子的最好水從圖上可以明顯地看出每一因子的最好水平平A2，B2，C3，也可以看出每個因子對指標影，也可以看出每個因子對指標影響的大小響的大小RBRARC。 CBA220205190175160900 1100 1300 10 11 12 70 80 90 RARBRC圖

47、圖2.3-2 因子各水平對輸出力矩的影響因子各水平對輸出力矩的影響 由于正交表的特點，使試驗條件均勻分布在由于正交表的特點，使試驗條件均勻分布在試驗空間中，因此使數(shù)據(jù)間具有整齊可比性，上試驗空間中，因此使數(shù)據(jù)間具有整齊可比性，上述的直觀分析可以進行。但是極差大到什么程度述的直觀分析可以進行。但是極差大到什么程度可以認為水平的差異確實是有影響的呢？可以認為水平的差異確實是有影響的呢？ 2. 數(shù)據(jù)的方差分析數(shù)據(jù)的方差分析 要把引起數(shù)據(jù)波動的原因進行分解，數(shù)據(jù)的要把引起數(shù)據(jù)波動的原因進行分解，數(shù)據(jù)的波動可以用離差平方和來表示。波動可以用離差平方和來表示。 正交表中第正交表中第j列的離差平方和的計算公

48、式：列的離差平方和的計算公式： nTqnTSiijj22 其中其中Tij為第為第j列第列第i水平的數(shù)據(jù)和，水平的數(shù)據(jù)和，T為數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)總和，總和，n為正交表的行數(shù)，為正交表的行數(shù)，q為該列的水平數(shù)為該列的水平數(shù) 該列表頭是哪個因子，則該該列表頭是哪個因子，則該Sj即為該因子的即為該因子的離差平方和，譬如離差平方和，譬如SA=S1 正交表總的離差平方和為：正交表總的離差平方和為： nTyyySiiiiT222)( 在這里有在這里有： jjTSS 例例2.3-12.3-1的方差分析計算表的方差分析計算表表頭設(shè)計表頭設(shè)計A AB BC C列號列號試驗號試驗號1 12 23 34 4Y Y1 11 1

49、1 11 11 11601602 21 12 22 22 22152153 31 13 33 33 31801804 42 21 12 23 31681685 52 22 23 31 12362366 62 23 31 12 21901907 73 31 13 32 21571578 83 32 21 13 32052059 93 33 32 21 1140140T T1 1555555485485555555536536T=1651T=1651T T2 2594594656656523523562562=310519=310519T T3 3502502510510573573553553T

50、 T1421.61421.65686.95686.9427.6427.6116.2116.2S ST T=7652.2=7652.2 第第4列上沒有放因子，稱為空白列。列上沒有放因子，稱為空白列。S4僅僅反映由誤差造成的數(shù)據(jù)波動，稱為誤差平方和。反映由誤差造成的數(shù)據(jù)波動，稱為誤差平方和。 Se=S4 利用利用 可以驗證平方和的計算是可以驗證平方和的計算是否正確。否正確。 jjTSS 例例2.3-12.3-1的方差分析表的方差分析表來來源源平平方方和和 S S自自由由度度 f f均均方方和和 V VF F 比比因因子子 A A1 14 42 21 1. .6 62 27 71 10 0. .8

51、81 12 2. .2 23 3因因子子 B B5 56 68 86 6. .9 92 22 28 84 43 3. .4 44 48 8. .9 94 4因因子子 C C4 42 27 7. .6 62 22 21 13 3. .8 83 3. .6 68 8誤誤差差 e e1 11 16 6. .2 22 25 58 8. .1 1T T7 76 65 52 2. .2 28 80 .19)2 , 2(, 0 , 9)2 , 2(95. 090. 0FF 因子因子A與與B在顯著性在顯著性0.10與與0.05上都是顯著的，上都是顯著的，而因子而因子C不顯著。不顯著。3. 最佳條件的選擇最佳條

52、件的選擇對顯著因子應該取最好的水平；對顯著因子應該取最好的水平； 對不顯著因子的水平可以任意選取，在實際對不顯著因子的水平可以任意選取，在實際中通常從降低成本、操作方便等角度加以選擇。中通常從降低成本、操作方便等角度加以選擇。 上面的例子中對因子上面的例子中對因子A與與B應該選擇應該選擇A2B2，因，因子子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1。4. 貢獻率分析方法貢獻率分析方法 當試驗指標不服從正態(tài)分布時當試驗指標不服從正態(tài)分布時,進行方差分進行方差分析的依據(jù)就不夠充足析的依據(jù)就不夠充足,此時可通過比較各因子的此時可通過比較各因子的“貢獻率貢獻率”來衡量因子作用的

53、大小。由于來衡量因子作用的大小。由于S因因中中除因子的效應外，還包含誤差，從而稱除因子的效應外，還包含誤差，從而稱S因因-f因因Ve為因子的純離差平方和，將因子的純離差平方和為因子的純離差平方和，將因子的純離差平方和與與ST的比稱為因子的貢獻率。的比稱為因子的貢獻率。（四）驗證試驗（四）驗證試驗 對對A2B2C1進行三次試驗，結(jié)果為：進行三次試驗，結(jié)果為：234，240，220，平均值為，平均值為231.3此結(jié)果是滿意的此結(jié)果是滿意的三、有交互作用的正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析三、有交互作用的正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 例例2.3-2 為提高某種農(nóng)藥的收率，需要進為提高某種農(nóng)藥的收率，需要進行試驗。行試驗。（一

54、）試驗的設(shè)計（一）試驗的設(shè)計 明確試驗目的明確試驗目的 明確試驗指標明確試驗指標 確定試驗中所考慮的因子與水平，并確定試驗中所考慮的因子與水平，并確定可能存在并要考察的交互作用確定可能存在并要考察的交互作用 選用合適的正交表。選用合適的正交表。在本例中：在本例中：試驗目的：提高農(nóng)藥的收率試驗目的：提高農(nóng)藥的收率試驗指標：收率試驗指標：收率確定因子與水平以及所要考察的交互作用：確定因子與水平以及所要考察的交互作用：因子水平表因子水平表因因子子一一水水平平二二水水平平A A: :反反應應溫溫度度（）6 60 08 80 0B B: :反反應應時時間間( (小小時時) )2 2. .5 53 3.

55、.5 5C C: :兩兩種種原原料料配配比比1 1. .1 1/ /1 11 1. .2 2/ /1 1D D: :真真空空度度( (k kP Pa a) )5 50 06 60 0還要考察因子還要考察因子A與與B交互作用交互作用 選表：首先根據(jù)因子的水平數(shù)，找出一選表：首先根據(jù)因子的水平數(shù)，找出一類正交表再根據(jù)因子的個數(shù)及交互作用個數(shù)類正交表再根據(jù)因子的個數(shù)及交互作用個數(shù)確定具體的表。確定具體的表。 把因子放到表的列上去，但是要先放有把因子放到表的列上去，但是要先放有交互作用的兩個因子，并利用交互作用表，交互作用的兩個因子，并利用交互作用表，標出交互作用所在列，以便于今后的數(shù)據(jù)分標出交互作用所在列，以便于今后的數(shù)據(jù)分析。析。 把放因子的列中的數(shù)字改為因子的真實把放因子的列中的數(shù)字改為因子的真實水平，便成為一