第七章 參數(shù)估計(jì)

1、第一節(jié)第一節(jié) 抽樣分布抽樣分布第二節(jié)第二節(jié) 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)第三節(jié)第三節(jié) 抽樣設(shè)計(jì)抽樣設(shè)計(jì)1樣本對(duì)總體的代表性，既涉及到樣本對(duì)總體的代表性，既涉及到，又涉及到又涉及到。2運(yùn)用運(yùn)用及數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性及數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性3樣本對(duì)總體的樣本對(duì)總體的在收集數(shù)據(jù)的過(guò)程中控制選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍㄟ^(guò)抽樣設(shè)計(jì)控制需要研究的需要研究的對(duì)象的全體，稱為對(duì)象的全體，稱為。 具體研究對(duì)象，稱為一個(gè)具體研究對(duì)象，稱為一個(gè)。從總體中抽出的用以推測(cè)總體的從總體中抽出的用以推測(cè)總體的對(duì)象的集合對(duì)象的集合稱為稱為。樣本中包含的樣本中包含的，稱為樣本的，稱為樣本的n n。一般把容量一般把容量n n 30 30的樣本稱為大樣本；的樣本稱

2、為大樣本；而而n n 3030的樣本稱為小樣本。的樣本稱為小樣本。一、幾個(gè)基本概念一、幾個(gè)基本概念統(tǒng)計(jì)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量參數(shù)參數(shù)平均數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差S S相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r r回歸系數(shù)回歸系數(shù)b bX參數(shù)參數(shù)又稱為又稱為總體參數(shù)總體參數(shù)，是指描述，是指描述一個(gè)總體情況一個(gè)總體情況的一些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。的一些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量又稱為又稱為樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量，是用來(lái)，是用來(lái)描述樣本情況描述樣本情況的一些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。的一些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。自由度自由度是在是在推斷統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常使用的一個(gè)概念，是指中經(jīng)常使用的一個(gè)概念，是指統(tǒng)計(jì)運(yùn)算與推斷中變量值統(tǒng)計(jì)運(yùn)算與推斷中變量值獨(dú)立自由變化的數(shù)目獨(dú)立自由變化

3、的數(shù)目，用符號(hào)，用符號(hào)dfdf表示。表示。自由度與統(tǒng)計(jì)運(yùn)算和統(tǒng)計(jì)推斷中的自由度與統(tǒng)計(jì)運(yùn)算和統(tǒng)計(jì)推斷中的樣本容量及限制樣本容量及限制因素的個(gè)數(shù)因素的個(gè)數(shù)有關(guān)。如一個(gè)有關(guān)。如一個(gè)n=5n=5的樣本，其樣本平均數(shù)的樣本，其樣本平均數(shù) =6=6，若前四個(gè)數(shù)據(jù)可隨意確定為，若前四個(gè)數(shù)據(jù)可隨意確定為3 3，9 9，7 7，6 6，則第五個(gè)，則第五個(gè)數(shù)據(jù)必須為數(shù)據(jù)必須為5.5.因?yàn)槭芙y(tǒng)計(jì)因?yàn)槭芙y(tǒng)計(jì)X=30X=30的限制，所以這里的限制，所以這里df=n-df=n-1 1，其中的，其中的1 1即表示只有一個(gè)限制因素即表示只有一個(gè)限制因素X=30X=30。X是指某種是指某種的分的分布，即把某種樣本統(tǒng)計(jì)量看作一個(gè)

4、隨機(jī)布，即把某種樣本統(tǒng)計(jì)量看作一個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的全部可能值構(gòu)成變量，這個(gè)隨機(jī)變量的全部可能值構(gòu)成的新的的新的總體總體形成的分布即為某種統(tǒng)計(jì)量形成的分布即為某種統(tǒng)計(jì)量的的抽樣分布抽樣分布。抽樣分布是一個(gè)理論的概率分布，抽樣分布是一個(gè)理論的概率分布，是統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)是統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)。區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布：總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布抽樣分布：某一種統(tǒng)計(jì)量的概率分布抽樣分布：某一種統(tǒng)計(jì)量的概率分布x抽樣分布的使用條件：抽樣分布的使用條件：各個(gè)樣本是各個(gè)樣本是獨(dú)立獨(dú)立的，各個(gè)樣本的，

5、各個(gè)樣本都服從都服從同樣的分布同樣的分布。取樣方法采用隨機(jī)抽樣的方法。取樣方法采用隨機(jī)抽樣的方法（詳見(jiàn)本章第三節(jié)）（詳見(jiàn)本章第三節(jié)）對(duì)于抽樣分布，也有描述其分布特征的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：對(duì)于抽樣分布，也有描述其分布特征的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：抽樣分布的平均數(shù)抽樣分布的平均數(shù) ：描述抽樣分布的集中趨勢(shì)：描述抽樣分布的集中趨勢(shì)抽樣抽樣 分布的標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤）分布的標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤）SE：描述抽樣分布的離：描述抽樣分布的離散程度散程度平均抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤平均抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤xSE從總體中隨機(jī)抽出容量為從總體中隨機(jī)抽出容量為n n的一切可能的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。

6、x容量為容量為n n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差（即的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差（即平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤），等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤），等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以n n的平方根。的平方根。nSEX從正態(tài)總體中，隨機(jī)抽從正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取的容量為取的容量為n n的一切可能樣本平的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。雖然總體不呈正態(tài)分布，雖然總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體如果樣本容量較大，反映總體和和的樣本平均數(shù)的抽樣分布，的樣本平均數(shù)的抽樣分布，也接近于正態(tài)分布。也接近于正態(tài)分布。某種統(tǒng)計(jì)量在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差，稱某種統(tǒng)計(jì)量在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。為

7、標(biāo)準(zhǔn)誤。用來(lái)衡量用來(lái)衡量。標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對(duì)總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計(jì)接近，樣本對(duì)總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)的可靠度越大。因此，標(biāo)準(zhǔn)量推斷總體參數(shù)的可靠度越大。因此，標(biāo)準(zhǔn)誤是統(tǒng)計(jì)推斷誤是統(tǒng)計(jì)推斷的指標(biāo)。的指標(biāo)。 （1 1）總體分布為正態(tài)，總體方差2已知，不管樣本容量n大小，樣本平均數(shù)的抽樣分布為正態(tài)分布，樣本平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤為：平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤為：nSEX（7.1a）1正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布（2 2）總體分布為正態(tài)，總體方差2未知只要樣本容量n3030，樣本平均數(shù)的分

8、布近似正態(tài)分布，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差Sn代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，其標(biāo)準(zhǔn)誤為：標(biāo)準(zhǔn)誤為：nSSEnX（7.1b）1 1、正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布、正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布(3)(3) 總體正態(tài)，總體正態(tài)，總體方差2已知，樣本容量足夠大（，樣本容量足夠大（n3030 ），則），則樣本平均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布，抽樣分抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤仍為布的標(biāo)準(zhǔn)誤仍為nSEX漸近正態(tài)分布指接近正態(tài)分布，其接近程度與樣本容量n及總體偏斜程度有關(guān)，n 越大，接近越好，或總體偏斜程度越小，接近程度越好。總體偏斜較大時(shí)，n很大，平均數(shù)的抽樣分布才接近正態(tài)分布。由樣本的平均數(shù)對(duì)總體由樣本的平均數(shù)對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)，首先要了平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)，首

9、先要了解平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量的分布，解平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量的分布，才能根據(jù)一定的概率，由樣才能根據(jù)一定的概率，由樣本的平均數(shù)對(duì)總體的平均數(shù)本的平均數(shù)對(duì)總體的平均數(shù)做出估計(jì)。做出估計(jì)。nXSEXZX（72）t t分布是統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用較多的一種抽樣分分布是統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用較多的一種抽樣分布。最早使用布。最早使用t t分布的是統(tǒng)計(jì)學(xué)家高賽特分布的是統(tǒng)計(jì)學(xué)家高賽特（W.S.Gossett)W.S.Gossett)，于，于19081908年在其論文中闡明年在其論文中闡明了正態(tài)分布不適用于了正態(tài)分布不適用于小樣本小樣本中平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)誤中平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)誤的比率關(guān)系，提出了的比率關(guān)系，提出了t t分布，成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)分布

10、，成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。展史上的一個(gè)里程碑?？傮w分布為正態(tài)，總體方差2 2未知只要樣本容量n n3030，以樣本方差 作為總體方差2 2的估計(jì)值，這時(shí)這時(shí)平均數(shù)的抽樣的分布標(biāo)準(zhǔn)誤為1nSSEX查查t t分布表時(shí)，需根據(jù)自由度及相應(yīng)的分布表時(shí)，需根據(jù)自由度及相應(yīng)的顯著性水平，并要注意是單側(cè)數(shù)據(jù)還是雙側(cè)。顯著性水平，并要注意是單側(cè)數(shù)據(jù)還是雙側(cè)。21nSnSSEnX1或或（7.37.3）樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差的樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差的統(tǒng)計(jì)量用統(tǒng)計(jì)量用t t值來(lái)表示值來(lái)表示XSEXt（74）高賽特發(fā)現(xiàn)，當(dāng)高賽特發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n時(shí)，時(shí)，t 值即服從正態(tài)分值即服從正態(tài)分布；布； 當(dāng)當(dāng)n30時(shí)

11、，時(shí)，t值接近正態(tài)分布；當(dāng)值接近正態(tài)分布；當(dāng)n30時(shí)，時(shí)，t值服從值服從t分布。分布。形狀與正態(tài)分布曲線相似形狀與正態(tài)分布曲線相似（左右對(duì)稱，隨樣本容量（左右對(duì)稱，隨樣本容量的變化而變化）。的變化而變化）。相同之處：取值范圍為相同之處：取值范圍為-到到 +；平均數(shù)為平均數(shù)為0 0，且以平均數(shù)處為最高峰向兩側(cè)逐漸下降，且以平均數(shù)處為最高峰向兩側(cè)逐漸下降；尾部無(wú)限延伸，以橫軸為漸近線尾部無(wú)限延伸，以橫軸為漸近線；呈單峰對(duì)稱形呈單峰對(duì)稱形。不不同之處：同之處：t t分布曲線隨自由度分布曲線隨自由度dfdf的不同而構(gòu)成一簇曲線，的不同而構(gòu)成一簇曲線，dfdf越小，越小，t t分布曲線尾部翹得越高，曲線

12、的擴(kuò)展程度越分布曲線尾部翹得越高，曲線的擴(kuò)展程度越大大；隨著樣本容量的逐漸增大，隨著樣本容量的逐漸增大，t t分布逐漸與正態(tài)分布分布逐漸與正態(tài)分布接近，當(dāng)接近，當(dāng)nn時(shí)，時(shí)，t t分布于正態(tài)分布重合分布于正態(tài)分布重合。查查t t分布表時(shí)，需根據(jù)自由度及相應(yīng)的顯著分布表時(shí)，需根據(jù)自由度及相應(yīng)的顯著性水平，并要注意是單側(cè)數(shù)據(jù)還是雙側(cè)。性水平，并要注意是單側(cè)數(shù)據(jù)還是雙側(cè)。（3 3）t t分布表分布表t t分布表是由分布表是由t t分布函數(shù)分布函數(shù)計(jì)算得到的，它給出計(jì)算得到的，它給出了不同自由度時(shí)某校概率下的了不同自由度時(shí)某校概率下的t t值。書(shū)值。書(shū)P246P246附表附表2 2給出的是常用的給出的

13、是常用的t t分布表。分布表。根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)相應(yīng)總體參數(shù)相應(yīng)總體參數(shù)所作的估所作的估計(jì)叫作計(jì)叫作總體參數(shù)估計(jì)總體參數(shù)估計(jì)。總體參數(shù)估計(jì)分為總體參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)和和區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)。由由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差總體的標(biāo)準(zhǔn)差即為即為點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)估計(jì)；而由；而由樣本的平均數(shù)樣本的平均數(shù)估計(jì)估計(jì)總體平均數(shù)的總體平均數(shù)的取值范圍取值范圍則為區(qū)間估計(jì)。則為區(qū)間估計(jì)。 如果一切可能個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的值與總體參數(shù)值如果一切可能個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的值與總體參數(shù)值偏差的平均值為偏差的平均值為0 0，這種統(tǒng)計(jì)量就是總體參數(shù)的無(wú)偏，這種統(tǒng)計(jì)量就是總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。估計(jì)量。（一）點(diǎn)估

14、計(jì)（一）點(diǎn)估計(jì)由于點(diǎn)估計(jì)是僅以一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的確定值來(lái)感覺(jué)由于點(diǎn)估計(jì)是僅以一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的確定值來(lái)感覺(jué)總體參數(shù)，所以總會(huì)出現(xiàn)一定的偏差?？傮w參數(shù)，所以總會(huì)出現(xiàn)一定的偏差。點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)容量為一個(gè)容量為n的樣本統(tǒng)計(jì)量的樣本統(tǒng)計(jì)量,應(yīng)能充分地反映全部應(yīng)能充分地反映全部n個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)所反映的總體的信息。數(shù)據(jù)所反映的總體的信息。當(dāng)樣本容量無(wú)限增大時(shí)，估計(jì)量的值能越來(lái)越接近它當(dāng)樣本容量無(wú)限增大時(shí)，估計(jì)量的值能越來(lái)越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)值，這種估計(jì)是總體參數(shù)一致性估所估計(jì)的總體參數(shù)值，這種估計(jì)是總體參數(shù)一致性估計(jì)量。計(jì)量。以樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布（概率分布）以樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布（概

15、率分布）為理論依據(jù)，按一定概率的要求，由樣本統(tǒng)為理論依據(jù)，按一定概率的要求，由樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍，稱為計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍，稱為總體參數(shù)的總體參數(shù)的。對(duì)總體參數(shù)值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，就是要在對(duì)總體參數(shù)值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，就是要在一定可靠度上求出總體參數(shù)的一定可靠度上求出總體參數(shù)的的上的上下限。下限。要知道與所要估計(jì)的參數(shù)相對(duì)應(yīng)的樣本要知道與所要估計(jì)的參數(shù)相對(duì)應(yīng)的樣本的值，以及樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布；的值，以及樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布； 要求出該種統(tǒng)計(jì)量的要求出該種統(tǒng)計(jì)量的； 要確定在多大的要確定在多大的上對(duì)總體參數(shù)作估上對(duì)總體參數(shù)作估計(jì)，再通過(guò)某種理論概率分布表，找出與某種可計(jì)

16、，再通過(guò)某種理論概率分布表，找出與某種可靠度相對(duì)應(yīng)的該分布橫軸上記分的靠度相對(duì)應(yīng)的該分布橫軸上記分的，才能，才能計(jì)算出總體參數(shù)的計(jì)算出總體參數(shù)的的上下限。的上下限。 ，也稱置信間距（，也稱置信間距（confidence interval,CI）是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所）是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長(zhǎng)度。在的區(qū)域距離或區(qū)域長(zhǎng)度。置信度，即置信度，即，是估計(jì)總體參數(shù)落在某是估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間的可能性或概率。一區(qū)間的可能性或概率。置信區(qū)間是帶有置信概率的取值區(qū)間，其界置信區(qū)間是帶有置信概率的取值區(qū)間，其界限為限為置信界限。置信界限。xxx對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，置

17、信概率對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，置信概率表示做出正確推斷的可能性，但這種估計(jì)還是表示做出正確推斷的可能性，但這種估計(jì)還是會(huì)有犯錯(cuò)誤的可能。顯著性水平會(huì)有犯錯(cuò)誤的可能。顯著性水平( (significance levelsignificance level) )就是指估計(jì)總體參數(shù)落就是指估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用符號(hào)在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用符號(hào)表示。表示。 P P- -區(qū)間估計(jì)可以解決區(qū)間估計(jì)可以解決總體參數(shù)的范圍大小總體參數(shù)的范圍大小和和正確估計(jì)正確估計(jì)的概率的概率這兩個(gè)問(wèn)題這兩個(gè)問(wèn)題在教育統(tǒng)計(jì)中在教育統(tǒng)計(jì)中 通常把置信度定為通常把置信度定為0.95或或0.9

18、9.區(qū)間估計(jì)是根據(jù)抽樣分布的理論，用抽樣分布的區(qū)間估計(jì)是根據(jù)抽樣分布的理論，用抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)誤誤SE計(jì)算計(jì)算區(qū)間長(zhǎng)度區(qū)間長(zhǎng)度，并，并解釋總體參數(shù)落入某一區(qū)間的解釋總體參數(shù)落入某一區(qū)間的概率概率。在正確估計(jì)的在正確估計(jì)的概率即置信度不變概率即置信度不變的條件下，的條件下，標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤越小，置信區(qū)間的長(zhǎng)度越小越小，置信區(qū)間的長(zhǎng)度越小。一般情況下，使。一般情況下，使標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)誤變小的方法是加大一般容量誤變小的方法是加大一般容量。通過(guò)樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)通過(guò)樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù), ,首先首先假定該樣本是隨機(jī)取自一個(gè)正態(tài)分布的母總體假定該樣本是隨機(jī)取自一個(gè)正態(tài)分布的母總體( (或非正態(tài)

19、總體中的或非正態(tài)總體中的n n3030的樣本的樣本) )，而計(jì)算出來(lái)，而計(jì)算出來(lái)的實(shí)際平均數(shù)是無(wú)數(shù)容量為的實(shí)際平均數(shù)是無(wú)數(shù)容量為n n的樣本平均數(shù)中的的樣本平均數(shù)中的一個(gè)。一個(gè)。根據(jù)樣本平均數(shù)的分布理論，可以對(duì)總體平根據(jù)樣本平均數(shù)的分布理論，可以對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并以概率說(shuō)明其正確的可能性。均數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并以概率說(shuō)明其正確的可能性?？傮w參數(shù)總體參數(shù)符號(hào)表示符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量均值均值比率比率方差方差2xp2s已知一個(gè)已知一個(gè)樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)（ ），而），而不知總體平均數(shù)不知總體平均數(shù) 時(shí)，可視總體平均數(shù)在這個(gè)樣本平均數(shù)的附近波動(dòng)，時(shí)，可視總體平均數(shù)在這個(gè)樣本平均數(shù)的附近波動(dòng)，并

20、根據(jù)一定的概率要求，利用并根據(jù)一定的概率要求，利用樣本平均數(shù)來(lái)推知總樣本平均數(shù)來(lái)推知總體平均數(shù)的區(qū)間體平均數(shù)的區(qū)間，即，即X6826. 0)11(XXSEXSEXP95. 0)96. 196. 1(XXSEXSEXP99. 0)58. 258. 2(XXSEXSEXP(7.5)(7.5)(7.6)(7.6)(7.7)(7.7)（1 1）根據(jù)實(shí)得樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量；）根據(jù)實(shí)得樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量；（2 2）計(jì)算抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤）計(jì)算抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤SESE；（3 3）根據(jù)置信度要求及抽樣分布形態(tài)確定并查出統(tǒng)計(jì)）根據(jù)置信度要求及抽樣分布形態(tài)確定并查出統(tǒng)計(jì)表值；表值；（4 4）計(jì)算置信

21、區(qū)間；）計(jì)算置信區(qū)間；（5 5）解釋總體參數(shù)的置信區(qū)間。）解釋總體參數(shù)的置信區(qū)間。3 3、區(qū)間估計(jì)的一般步驟、區(qū)間估計(jì)的一般步驟nSEXXXSEXSEX96. 196. 1（7. 9）總體方差總體方差2已知，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)已知，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)的抽樣分布為正態(tài)分布，平均數(shù)的抽樣分布皆為正態(tài)的抽樣分布為正態(tài)分布，平均數(shù)的抽樣分布皆為正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)誤為分布，標(biāo)準(zhǔn)誤為 ，置信區(qū)間為，置信區(qū)間為置信度為置信度為0.950.95，顯著性水平為，顯著性水平為0.050.05時(shí)，時(shí)，置信度為置信度為0.99，顯著性水平為，顯著性水平為0.01時(shí)，時(shí)，XXSEXSEX58. 258.

22、 2（78）例例1從某正態(tài)分布中隨機(jī)抽取從某正態(tài)分布中隨機(jī)抽取n1=10和和n2= 35的兩個(gè)樣的兩個(gè)樣本，分別求得其平均數(shù)本，分別求得其平均數(shù) ， ，已知總，已知總體標(biāo)準(zhǔn)差體標(biāo)準(zhǔn)差= 7.02，試估計(jì)總體平均數(shù)，試估計(jì)總體平均數(shù) 在在0.950.95和和0.990.99置信度下的置信區(qū)間置信度下的置信區(qū)間。761X782 X解：此題總體為正態(tài)分布，總體方差解：此題總體為正態(tài)分布，總體方差2 2 = 7.02= 7.022 2，故，故應(yīng)用正態(tài)分布理論進(jìn)行估計(jì)應(yīng)用正態(tài)分布理論進(jìn)行估計(jì)22. 011nSEX19. 122nSEX用用n1 = 10的樣本估計(jì)總體平均數(shù)的樣本估計(jì)總體平均數(shù).0.95的

23、置信區(qū)間為的置信區(qū)間為22. 296. 17622.296. 17635.8065.710.99的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為22. 258. 27622.258. 27673.8127.70即總體平均數(shù)即總體平均數(shù) 在在71.6571.6580.35之間的可能性為之間的可能性為95，犯錯(cuò)誤的概率為犯錯(cuò)誤的概率為5；總體平均數(shù)；總體平均數(shù)在在70.2781.73之間之間的可能性為的可能性為99，犯錯(cuò)誤的概率為，犯錯(cuò)誤的概率為1.同理，根據(jù)同理，根據(jù)n2= 35的樣本對(duì)總體平均數(shù)的樣本對(duì)總體平均數(shù) 0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為33.8067.750.99的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為07.8193.74

24、有多個(gè)樣本可用來(lái)估計(jì)同一總體時(shí)，一般用有多個(gè)樣本可用來(lái)估計(jì)同一總體時(shí)，一般用容量大的樣本。在條件允許的情況下，用較容量大的樣本。在條件允許的情況下，用較大樣本的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)更具優(yōu)越性大樣本的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)更具優(yōu)越性2、 當(dāng)總體非正態(tài)分布是，只有樣本容量當(dāng)總體非正態(tài)分布是，只有樣本容量n30 ，才，才能根據(jù)樣本平均數(shù)對(duì)樣本平均數(shù)能根據(jù)樣本平均數(shù)對(duì)樣本平均數(shù) 進(jìn)行估計(jì)。此時(shí)，進(jìn)行估計(jì)。此時(shí)，平均數(shù)平均數(shù)的抽樣分布為的抽樣分布為漸近正態(tài)分布漸近正態(tài)分布，總體平均數(shù)的根，總體平均數(shù)的根據(jù)可按正態(tài)分布理論處理。據(jù)可按正態(tài)分布理論處理。例例2從某年級(jí)隨機(jī)抽取從某年級(jí)隨機(jī)抽取50人，某學(xué)科測(cè)驗(yàn)的平

25、均成績(jī)?nèi)?，某學(xué)科測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)?yōu)闉?80分，已知該學(xué)科歷年測(cè)驗(yàn)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為分，已知該學(xué)科歷年測(cè)驗(yàn)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為5.6分，分，試估計(jì)該年級(jí)該學(xué)科的平均成績(jī)的試估計(jì)該年級(jí)該學(xué)科的平均成績(jī)的0.950.95和和0.990.99置信度置信度下的置信區(qū)間下的置信區(qū)間。解：此題總體為正態(tài)分布，總體方差解：此題總體為正態(tài)分布，總體方差2 2 已知，故按已知，故按正態(tài)分布進(jìn)行總體平均數(shù)的估計(jì)。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤正態(tài)分布進(jìn)行總體平均數(shù)的估計(jì)。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤79. 0nSEX0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為0.99的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為55.8145.7804.8296.77即該年級(jí)該學(xué)科的平均成績(jī)即該年級(jí)該學(xué)科的平均成

26、績(jī)?cè)谠?8.4578.4581.55之間的可之間的可能性為能性為95，平均成績(jī)?cè)?，平均成?jī)?cè)?7.9682.04之間的可能性為之間的可能性為99?？傮w方差總體方差2未知，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)未知，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)n30， （大樣本）（大樣本）樣樣本平均數(shù)的抽樣分布近似正態(tài)分布，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差替本平均數(shù)的抽樣分布近似正態(tài)分布，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差替代總體標(biāo)準(zhǔn)差：代總體標(biāo)準(zhǔn)差： ，總體平均數(shù)的估計(jì)可按正態(tài)，總體平均數(shù)的估計(jì)可按正態(tài)分布理論處理。當(dāng)分布理論處理。當(dāng)n30時(shí)，樣本平均數(shù)的抽樣分布呈時(shí)，樣本平均數(shù)的抽樣分布呈t分布，標(biāo)準(zhǔn)誤分布，標(biāo)準(zhǔn)誤nSEXnSnSSEnnX11當(dāng)平均數(shù)的抽樣分布為當(dāng)平均數(shù)的抽樣

27、分布為t分布時(shí)，對(duì)總體平均分布時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)原理與正態(tài)分布的情況相似，但對(duì)數(shù)的估計(jì)原理與正態(tài)分布的情況相似，但對(duì)總體平均數(shù)總體平均數(shù) 進(jìn)行估計(jì)時(shí)，依據(jù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，依據(jù)不同顯著性不同顯著性水平和自由度水平和自由度，要查，要查t t值表確定值表確定臨界值臨界值t t/2 /2 。當(dāng)顯著性水平為當(dāng)顯著性水平為（置信度為（置信度為1 1 ）時(shí)，總體平）時(shí)，總體平均數(shù)的置信區(qū)間為均數(shù)的置信區(qū)間為XXSEtXSEtX22例例3 某小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)呈正態(tài)分布，從中隨某小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)呈正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取機(jī)抽取19名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢好麑W(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?0，69，82，75，92，99，

28、67，78，83，100，82，75，69，83，78，88，95，82，74，試估計(jì)三年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均成績(jī)的，試估計(jì)三年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均成績(jī)的0.950.95和和0.990.99的置信區(qū)間的置信區(qū)間。解：該總體為正態(tài)分布，總體方差解：該總體為正態(tài)分布，總體方差2 2 未知，未知，n=19,n=19,則則平均數(shù)的抽樣分布為平均數(shù)的抽樣分布為t t分布。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，算分布。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，算得得 ，Sn=9.40Sn=9.40計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤63.81X22. 21nSSEnX當(dāng)當(dāng)df=n-1=18，=0.05=0.05時(shí)，查時(shí)，查t t值表，得值表，得t t0.05/20.05/2=2.10

29、1;=2.101;=0.01shi2, t=0.01shi2, t0.01/20.01/2=2.878.=2.878.對(duì)總體平均數(shù)對(duì)總體平均數(shù) 的估計(jì)如下。的估計(jì)如下。0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為0.99的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為22. 2101. 263.8122.2101. 263.8122. 258. 263.8122.258. 263.8129.8696.7602.8824.75即三年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)即三年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)?cè)谠?6.9676.9686.29之間的之間的可能性為可能性為95，平均成績(jī)?cè)冢骄煽?jī)?cè)?5.2488.02之間的可能性之間的可能性為為99。n30，（大

30、樣本），（大樣本）才能才能用樣本平均數(shù)理論來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)，由于此時(shí)樣本用樣本平均數(shù)理論來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)，由于此時(shí)樣本平均數(shù)的抽樣分布近似正態(tài)分布，所以可以用正分布平均數(shù)的抽樣分布近似正態(tài)分布，所以可以用正分布理論估計(jì)總體參數(shù)。理論估計(jì)總體參數(shù)。參數(shù)估計(jì)，參數(shù)估計(jì)，即不能根據(jù)樣本分布對(duì)即不能根據(jù)樣本分布對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)。p nkp （一）比率的抽樣分布（一）比率的抽樣分布設(shè)有一個(gè)二項(xiàng)分布的總體，其中具有某種性質(zhì)的事件（稱設(shè)有一個(gè)二項(xiàng)分布的總體，其中具有某種性質(zhì)的事件（稱成功成功事件事件）出現(xiàn)的概率為）出現(xiàn)的概率為p，不具有這種性質(zhì)的事件（稱，不具有這種性質(zhì)的事件（稱失敗事

31、件失敗事件）出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為q=1-p。從中抽取一個(gè)樣本容量為。從中抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，即進(jìn)的樣本，即進(jìn)行行n次重復(fù)，記錄成功事件出現(xiàn)的次數(shù)為次重復(fù)，記錄成功事件出現(xiàn)的次數(shù)為k，則成功事件出現(xiàn)的，則成功事件出現(xiàn)的比率為比率為 。這樣重復(fù)做下去，就可能得到無(wú)窮多個(gè)。這樣重復(fù)做下去，就可能得到無(wú)窮多個(gè) ，所有這些所有這些 值組成的頻數(shù)分布就形成了值組成的頻數(shù)分布就形成了比率的抽樣分布比率的抽樣分布。比率。比率的抽樣分布是的抽樣分布是二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布，二項(xiàng)分布是進(jìn)行總體比率估計(jì)的理論，二項(xiàng)分布是進(jìn)行總體比率估計(jì)的理論依據(jù)。依據(jù)。p qp5 qnqp 當(dāng) 時(shí)，無(wú)論n的大小，二項(xiàng)分布呈對(duì)

32、稱形；當(dāng) （或 ）且 （或 ）時(shí)，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布。 5 pnqp 比率的抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，記作SEP當(dāng)總體比率p0、q0已知時(shí)，比率的標(biāo)準(zhǔn)誤為nqpSEP00（7 . 11）當(dāng)總體比率p0、q0未知時(shí)，可用樣本比率 、 代替總體比率p0、q0，則標(biāo)準(zhǔn)誤為p q nqpSEP （7 . 12）（二）總體比率的區(qū)間估計(jì)（二）總體比率的區(qū)間估計(jì)根據(jù)一定的概率要求根據(jù)一定的概率要求估計(jì)總體比率的所在范圍估計(jì)總體比率的所在范圍，稱為，稱為總體比率的區(qū)間估計(jì)?？傮w比率的區(qū)間估計(jì)。1、正態(tài)近似法、正態(tài)近似法當(dāng) 或 中最小的頻數(shù)大于等于5時(shí)，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布 ，則其總體比率的置信區(qū)間如下

33、：pnqnnqppPnqpp96. 196. 1nqppPnqpp58. 258. 2P的的0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為P的的0.99 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為（7 . 13）（7 . 14）例4 從某區(qū)隨機(jī)抽取100名中學(xué)生，查得視力正常的人數(shù)為68人，估計(jì)全區(qū)中學(xué)生視力正常的比例在0.95和0.99的置信區(qū)間。解：由題意可知解：由題意可知，樣本容量，樣本容量n=100, =0.68n=100, =0.68p 32. 01pq因?yàn)橐驗(yàn)?，且，且 ，則二項(xiàng)分布接近正態(tài)分，則二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布近似處理。則布，故可用正態(tài)分布近似處理。則pq 532qn%66. 40466.

34、 0nqpSEP總體比率總體比率P的的0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為0466. 096. 168. 00466. 096. 168. 07713. 05887. 0總體比率總體比率P的的0.99的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為0466. 058. 268. 00466. 058. 268. 08002. 05598. 0即該區(qū)中學(xué)生視力正常的比例有即該區(qū)中學(xué)生視力正常的比例有95%的可能在的可能在58.87%77.13%，有，有99%的可能在的可能在55.98%80.02%。2、查表法、查表法附表附表11為二項(xiàng)分布的為二項(xiàng)分布的置信界限置信界限。只要知道。只要知道 試驗(yàn)的次試驗(yàn)的次數(shù)數(shù)n和二項(xiàng)分布

35、成功事件出現(xiàn)的絕對(duì)頻數(shù)和二項(xiàng)分布成功事件出現(xiàn)的絕對(duì)頻數(shù)k，就可查，就可查此表得出總體比率在此表得出總體比率在0.95和和0.99的置信界限。當(dāng)?shù)闹眯沤缦蕖．?dāng)n較較小小，p 接近接近0或或1，二項(xiàng)分布不接近正態(tài)分布時(shí)，就要，二項(xiàng)分布不接近正態(tài)分布時(shí)，就要用此表解決總體比率的置信區(qū)間。用此表解決總體比率的置信區(qū)間。例例5 從某中學(xué)隨機(jī)抽取從某中學(xué)隨機(jī)抽取30人，其中英語(yǔ)成人，其中英語(yǔ)成績(jī)不及格的績(jī)不及格的6人，試估計(jì)該中學(xué)英語(yǔ)成績(jī)不人，試估計(jì)該中學(xué)英語(yǔ)成績(jī)不及格的百分比的置信區(qū)間。及格的百分比的置信區(qū)間。解：由解：由n=30, k=6n=30, k=6，查附表，查附表1111，可得，可得0.950

36、.95的置信下限為的置信下限為8%8%，置信上限為，置信上限為39%39%0.99的置信下限為的置信下限為6%，置信上限為，置信上限為44%即中學(xué)英語(yǔ)成績(jī)不及格率有即中學(xué)英語(yǔ)成績(jī)不及格率有95%的可能在的可能在8%39%，有有99%的可能在的可能在6%44%。1 1抽樣設(shè)計(jì)的意義抽樣設(shè)計(jì)的意義 使研究節(jié)省人力及費(fèi)用；使研究節(jié)省人力及費(fèi)用； 使研究節(jié)省時(shí)間，提高時(shí)效性；使研究節(jié)省時(shí)間，提高時(shí)效性；保證研究結(jié)果的準(zhǔn)確性。保證研究結(jié)果的準(zhǔn)確性。 抽樣設(shè)計(jì)的要求是樣本對(duì)研究總體有良好抽樣設(shè)計(jì)的要求是樣本對(duì)研究總體有良好的的，即樣本的構(gòu)成與總體保持一致。為，即樣本的構(gòu)成與總體保持一致。為了 保 證 這

37、一 點(diǎn) ， 抽 樣 時(shí) 必 須 遵 循了 保 證 這 一 點(diǎn) ， 抽 樣 時(shí) 必 須 遵 循（randomizationrandomization）的基本原則。）的基本原則。 所謂隨機(jī)化原則，是指在抽樣時(shí)，樣本中所謂隨機(jī)化原則，是指在抽樣時(shí)，樣本中的每一個(gè)體都是按照隨機(jī)的原理被抽取的，總的每一個(gè)體都是按照隨機(jī)的原理被抽取的，總體中每一個(gè)體被抽到的可能性是相等的。體中每一個(gè)體被抽到的可能性是相等的。 （一）（一）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（simple random sampling）如果從包含如果從包含N N個(gè)個(gè)體的總體中抽取樣本容量為個(gè)個(gè)體的總體中抽取樣本容量為n n的樣本，要的樣本，要求總體中每個(gè)個(gè)體被

38、抽取的機(jī)會(huì)均等，而且每個(gè)個(gè)體的被選與其求總體中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)均等，而且每個(gè)個(gè)體的被選與其他個(gè)體之間無(wú)任何牽連，這樣的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。他個(gè)體之間無(wú)任何牽連，這樣的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。（按照隨機(jī)原則直接從總體中抽取出若干個(gè)單位作為樣本按照隨機(jī)原則直接從總體中抽取出若干個(gè)單位作為樣本。）。）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法能保證總體中的每一個(gè)對(duì)象都有同等的被簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法能保證總體中的每一個(gè)對(duì)象都有同等的被抽取到的可能性，并且個(gè)體之間都相互獨(dú)立。這是在總體異質(zhì)性抽取到的可能性，并且個(gè)體之間都相互獨(dú)立。這是在總體異質(zhì)性不是很大而且所抽取的樣本較小時(shí)經(jīng)常采用的一種形式。不是很大而且所抽取的樣本較小時(shí)

39、經(jīng)常采用的一種形式。 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法的局限是：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法的局限是：當(dāng)樣本規(guī)當(dāng)樣本規(guī)模小時(shí)，樣本的代表性較差模小時(shí)，樣本的代表性較差。 簡(jiǎn)單隨機(jī)取樣有兩種基本方式：抽簽法（drawing lots） 隨機(jī)數(shù)字表法（random number table） 機(jī)械抽樣也稱為機(jī)械抽樣也稱為等距抽樣等距抽樣或或系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣。這種方。這種方法是將總體中法是將總體中所有個(gè)體按一定順序編號(hào)所有個(gè)體按一定順序編號(hào)，然后依，然后依固固定的間距取樣定的間距取樣（間距的大小視所需樣本容量與總體（間距的大小視所需樣本容量與總體中個(gè)體數(shù)目的比率而定）。中個(gè)體數(shù)目的比率而定）。等距抽樣可以保證樣本的成分與總體一致，

40、但等距抽樣可以保證樣本的成分與總體一致，但隨機(jī)性不如單純隨機(jī)抽樣法。應(yīng)用中可將兩種方法隨機(jī)性不如單純隨機(jī)抽樣法。應(yīng)用中可將兩種方法結(jié)合使用。結(jié)合使用。 分層抽樣也稱分類或類型抽樣，它是按分層抽樣也稱分類或類型抽樣，它是按與研與研究?jī)?nèi)容有關(guān)的因素或指標(biāo)究?jī)?nèi)容有關(guān)的因素或指標(biāo)，先將總體劃分成，先將總體劃分成幾部幾部分（即幾個(gè)層），分（即幾個(gè)層），然后從各部分中進(jìn)行然后從各部分中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或機(jī)械抽樣抽樣或機(jī)械抽樣。是進(jìn)行。是進(jìn)行大規(guī)模研究大規(guī)模研究時(shí)常常使用時(shí)常常使用的抽樣方法。的抽樣方法。先將總體按照一定標(biāo)準(zhǔn)分先將總體按照一定標(biāo)準(zhǔn)分為若干類型（統(tǒng)計(jì)上稱為層），再根據(jù)各層對(duì)象為若干類型

41、（統(tǒng)計(jì)上稱為層），再根據(jù)各層對(duì)象的數(shù)量在總體數(shù)量中所占的比例，確定從每一種的數(shù)量在總體數(shù)量中所占的比例，確定從每一種類型（層）中抽取樣本的數(shù)量，然后按隨機(jī)原則類型（層）中抽取樣本的數(shù)量，然后按隨機(jī)原則和所確定的各層取樣的數(shù)量，從各層中取樣。和所確定的各層取樣的數(shù)量，從各層中取樣。分類的標(biāo)準(zhǔn)要科學(xué)，要符合實(shí)際情況。分類的標(biāo)準(zhǔn)要科學(xué)，要符合實(shí)際情況。各層內(nèi)部的差別要盡可能小，而層與層之間的差各層內(nèi)部的差別要盡可能小，而層與層之間的差異則越大越好。異則越大越好。 分層抽樣中最常用的方法是分層抽樣中最常用的方法是分層按比例抽樣分層按比例抽樣，即，即對(duì)總體分層后，要根據(jù)樣本容量對(duì)總體分層后，要根據(jù)樣本容

42、量n 與總體中個(gè)體數(shù)與總體中個(gè)體數(shù)目目N之間的比率，在各層中按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法之間的比率，在各層中按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取相應(yīng)比率的個(gè)體。抽取相應(yīng)比率的個(gè)體。NNnnii公式中，公式中，ni為第為第i i層中被抽取的個(gè)體數(shù)量層中被抽取的個(gè)體數(shù)量 n為整個(gè)研究樣本中個(gè)體的總數(shù)量為整個(gè)研究樣本中個(gè)體的總數(shù)量 Ni i為第為第i i層中對(duì)象的數(shù)量層中對(duì)象的數(shù)量 N為總體內(nèi)個(gè)體的數(shù)量為總體內(nèi)個(gè)體的數(shù)量 公式中，公式中，ni i表示從某一層所抽個(gè)體數(shù)表示從某一層所抽個(gè)體數(shù) n表示樣本容量表示樣本容量 Ni i表示某層個(gè)體總數(shù)表示某層個(gè)體總數(shù) i i表示某層標(biāo)準(zhǔn)差表示某層標(biāo)準(zhǔn)差 iiiiiNNnn當(dāng)各個(gè)

43、當(dāng)各個(gè)沒(méi)有現(xiàn)成資料可以應(yīng)用時(shí)，可沒(méi)有現(xiàn)成資料可以應(yīng)用時(shí)，可以先從該層抽一個(gè)小樣本，由這一小樣本以先從該層抽一個(gè)小樣本，由這一小樣本計(jì)算出的樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S對(duì)對(duì)進(jìn)行估計(jì)。進(jìn)行估計(jì)。iiiiiSNSNnn整群隨機(jī)抽樣是先將整群隨機(jī)抽樣是先將總體各單位按一定的標(biāo)準(zhǔn)總體各單位按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成許多群（小組），然分成許多群（小組），然后按隨機(jī)原則從這些群中后按隨機(jī)原則從這些群中抽取若干群作為樣本。抽取若干群作為樣本。整群隨機(jī)取樣法的整群隨機(jī)取樣法的是樣本比較集中，是樣本比較集中，適宜于某些特定的研究，尤其是在教育實(shí)驗(yàn)適宜于某些特定的研究，尤其是在教育實(shí)驗(yàn)中常用此法。此外，在中常用此法。此外，

44、在規(guī)模較大的調(diào)查研究規(guī)模較大的調(diào)查研究中，整群隨機(jī)取樣易于組織，可節(jié)省人力、中，整群隨機(jī)取樣易于組織，可節(jié)省人力、物力和時(shí)間。物力和時(shí)間。整群隨機(jī)抽樣法的整群隨機(jī)抽樣法的是樣本分布不均勻，是樣本分布不均勻，代表性較差。代表性較差。 當(dāng)總體容量很大時(shí)，直接以總體中的當(dāng)總體容量很大時(shí)，直接以總體中的所有個(gè)體為對(duì)象，從中進(jìn)行抽樣，在實(shí)際所有個(gè)體為對(duì)象，從中進(jìn)行抽樣，在實(shí)際調(diào)查或研究中存在很大困難。調(diào)查或研究中存在很大困難。采用分階段的抽樣方法，可以縮小實(shí)采用分階段的抽樣方法，可以縮小實(shí)際抽樣的范圍，使實(shí)際抽樣工作能夠按研際抽樣的范圍，使實(shí)際抽樣工作能夠按研究設(shè)計(jì)的要求順利進(jìn)行。究設(shè)計(jì)的要求順利進(jìn)行。

45、兩階段隨機(jī)抽樣（兩階段隨機(jī)抽樣（two-stages random two-stages random samplingsampling）的一般過(guò)程是：先將總體分成）的一般過(guò)程是：先將總體分成個(gè)部分；個(gè)部分；從這從這個(gè)部分中隨機(jī)抽取個(gè)部分中隨機(jī)抽取m個(gè)個(gè)部分作為第一階段樣本部分作為第一階段樣本；是分別從這是分別從這m個(gè)部分中抽取一個(gè)部分中抽取一定數(shù)量（定數(shù)量（ni i）的個(gè)體構(gòu)成第二階段樣本。）的個(gè)體構(gòu)成第二階段樣本。在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)研究所要求的精確度及經(jīng)費(fèi)在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)研究所要求的精確度及經(jīng)費(fèi)情況確定樣本容量。如果樣本容量情況確定樣本容量。如果樣本容量過(guò)小過(guò)小，會(huì)影響，會(huì)影響樣本對(duì)總體的代表性

46、，增大抽樣誤差而降低研究樣本對(duì)總體的代表性，增大抽樣誤差而降低研究推論的精確性；樣本容量推論的精確性；樣本容量過(guò)大過(guò)大，雖然減小了抽樣，雖然減小了抽樣誤差，但可能增大誤差，但可能增大過(guò)失誤差過(guò)失誤差，并且增加不必要的，并且增加不必要的人力物力資源的浪費(fèi)。人力物力資源的浪費(fèi)。樣本容量與抽樣誤差并樣本容量與抽樣誤差并不是不是直線關(guān)系直線關(guān)系。確定容量的確定容量的基本原則基本原則是：在是：在盡量節(jié)省人力、經(jīng)費(fèi)和時(shí)間的盡量節(jié)省人力、經(jīng)費(fèi)和時(shí)間的條件下，確保用樣本推斷總體條件下，確保用樣本推斷總體達(dá)到預(yù)定的可行度及準(zhǔn)確性。達(dá)到預(yù)定的可行度及準(zhǔn)確性。nXZ222Zn其中，最大允許誤差為其中，最大允許誤差為

47、 ，可信度為，可信度為1。 X由由有有（7. 15）可以看到，當(dāng)可以看到，當(dāng)確定之后，確定之后，總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差和和最大允許誤差最大允許誤差是決定樣本容量的兩個(gè)因素。是決定樣本容量的兩個(gè)因素。要對(duì)某市中考數(shù)學(xué)成績(jī)的總體平要對(duì)某市中考數(shù)學(xué)成績(jī)的總體平均分?jǐn)?shù)進(jìn)行估計(jì)，據(jù)歷次中考成績(jī)記錄，中考數(shù)學(xué)成均分?jǐn)?shù)進(jìn)行估計(jì)，據(jù)歷次中考成績(jī)記錄，中考數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為1010分。要使這次的估計(jì)誤差不超過(guò)分。要使這次的估計(jì)誤差不超過(guò)2分，分，且具有且具有95%的的可靠成度，則至少要抽取多少名學(xué)生的可靠成度，則至少要抽取多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)？數(shù)學(xué)成績(jī)？解：由題意，已知解：由題意，已知=10=10分，

48、分，=2=2分，分，=0.05=0.05當(dāng)當(dāng)=0.05時(shí)，相應(yīng)的雙側(cè)臨界值為時(shí)，相應(yīng)的雙側(cè)臨界值為Z0.05/2=1.96,故故04.96)21096. 1(222Zn即至少應(yīng)抽取即至少應(yīng)抽取96人。人。由nSXt222nStn有當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量n n 未確定時(shí)，未確定時(shí)，t t 值無(wú)法確定，值無(wú)法確定，因此一般采用嘗試法（試差的方法）。因此一般采用嘗試法（試差的方法）。 （716）. .將將df的的 t 值代入公式求出值代入公式求出n1 1，. .將將n1 1 的的 t 值代入公式求出值代入公式求出n2 2， . .直至前后兩次求出的直至前后兩次求出的n 相同為止。相同為止。 . .設(shè)設(shè)df，查表得，查表得 t /2/2的值代入公式的值代入公式（7.167.16）求出）求出n1 1，. .令令df=df=n1-1,再去再去查查 t 值表，得值表，得t /2/2依公式依公式（7.1