有限元方法ppt-02

1、有限元的直接法2.1有限元法的基本思路2.2直接法 單元節(jié)點單位位移與節(jié)點力的關系 材料力學超靜定 柔度法力法 剛度法位移法 單元剛度矩陣、系統(tǒng)總剛度矩陣2.1有限元法基本思路n1區(qū)域的離散n2插值多項式n3單元剛度矩陣和力向量#n4系統(tǒng)方程的建立#n5引入邊界條件#n6有限元方程的求解n7單元數(shù)據(jù)的處理2.1有限元法基本思路單元劃分原則:n兩個節(jié)點之間的桿件構成一個單元n桿件的交點n桿件截面變化處n支承點、自由端n集中載荷作用處n欲求位移處2.1有限元法基本思路絎架的力學計算簡圖移置載荷ppppp241353216452.1有限元法基本思路pN6N3N4N2建立節(jié)點 的平衡方程求桿件內(nèi)力NU

2、YUYUXUX344FX=0FY=02.1有限元法基本思路n一個節(jié)點處的未知力的數(shù)目，往往多于一個節(jié)點所能建立的平衡方程的數(shù)目。n節(jié)點的位移數(shù)目，恰好等于該節(jié)點能夠建立的平衡方程的數(shù)目。n只要將單元節(jié)點力用節(jié)點位移表示，無論有多少個未知力，都可以通過建立以節(jié)點位移表示的節(jié)點力平衡方程求出。n建立單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移之間的關系單元方程。2.2節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系單元剛度矩陣n在結構力學中，直接應用材料力學公式和結構力學公式來建立結構的單元剛度矩陣和力向量。也稱為直接公式法。n涉及的力學原理有： 1)線性疊加原理； 2)桿與梁的拉伸、扭轉和彎曲公式； 3)超靜定結構的剛度法或柔度法； 4

3、)力系平衡。2.2節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系單元剛度矩陣n單元節(jié)點的單位位移與單元節(jié)點力的關系n單元節(jié)點的位移與單元節(jié)點力的關系n單元剛度矩陣2.2節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系單元剛度矩陣lEAlEAlEAlEAKlEAulEAuFFKKuulEAulEAuFFKKuuuKuKFuKuKFuuKKKKuuKFFaaa。那么令；那么令即對于單元222122212111212111212221212212111121222112112121,10,01u1u221alxF1F22u1=1121u2=12.2節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系單元剛度矩陣lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl

4、EIlEIlEIlEIlEIlEIlEIKlEIlEIlEIlEIMQMQKKKKvvvvKKKKKKKKKKKKKKKKvvKMQMQaa46266126122646612612161261200012223232223232323221114131211221122114443424134333231242322211413121122112211，可以求得：單位并依次令僅其他位移為；，當21alv2Q2M2v1Q1M112材料力學超靜定01n超靜定系統(tǒng)：支反力或內(nèi)力不能單憑靜力平衡方程式求解的結構系統(tǒng)。n多余約束：多于維持結構的幾何不變性所需的支座或桿件或自由度。pL超靜定梁,B端三次超

5、靜定。BAUbx=0, Uby=0, bz=0Fbx0, Fby0, Mbz0材料力學超靜定02n解超靜定系統(tǒng)的一般原則： 1)解除超靜定系統(tǒng)中的多余約束，得到靜定的基本系統(tǒng)。與多余約束相對應的未知力稱為多余未知力。LBA超靜定梁的基本系統(tǒng)：解除的多余約束 Ubx, Uby, bz對應的多余未知力Fbx, Fby Mbz材料力學超靜定03 2)將原系統(tǒng)上的載荷以及多余未知力加在基本系統(tǒng)上，稱為相當系統(tǒng)。pBAFyFxMz超靜定梁的相當系統(tǒng)材料力學超靜定04 3)要使相當系統(tǒng)能夠代替原來系統(tǒng)，則兩者在變形情況上應完全一致。即，相當系統(tǒng)在多余未知力作用處的位移能夠滿足一定條件符合原系統(tǒng)在多余約束處

6、的變形諧調(diào)條件。 Ux=0, Uy=0, z=0材料力學超靜定05n線性疊加原理：pFxMzFy+pBAFyFxMz=Ubx=0, Uby=0, bz=0材料力學超靜定06柔度法力法nD1=D1P+ 11F1 + 12 F2+ 13 F3+ +1nFnnDn=DnP+ n1F1 + n2 F2+ n3 F3+ +nnFn柔度方程與矩陣 D1 11121314151n F1 D1P D2 21 F2 D2P = + Dn n1 nn Fn DnP柔度法力法n對于n次超靜定結構，解除n個約束條件；n選擇對應的n個未知力F1,F2,Fn；n將實際載荷作用在基本系統(tǒng)上，得到相應于n個未知力處的n個位移

7、D1P,D2P,DnP。n將n個未知力的單位值分別作用在基本系統(tǒng)上。由每個單位力，確定相應于所有n個未知力處的n個柔度ij。 柔度ij：定義為由于Fj處力的單位值所引起相應于Fi力處的位移。n實際位移D1,D2,Dn等于載荷產(chǎn)生的位移與未知力產(chǎn)生的位移之和。（位移的協(xié)調(diào)方程）柔度法力法p2p1p4p3p2p1p4p3f1f2f3f4p2p1p4p3d1pf1=1d2pd3pd4p4次超靜定系統(tǒng)相當系統(tǒng)f2=1在各約束點產(chǎn)生的位移f1=1在各約束點產(chǎn)生的位移112131411222324213233343f2=1f3=1已知力在各約束點產(chǎn)生的位移f3=1在各約束點產(chǎn)生的位移+=柔度法力法nD1=

8、D1P+ 11F1 + 12 F2+ 13 F3+ +1nFnnDn=DnP+ n1F1 + n2 F2+ n3 F3+ +nnFn柔度方程與矩陣 D1 11121314151n F1 D1P D2 21 F2 D2P = + Dn n1 nn Fn DnP剛度法位移法nKnXnnX1= FnX1n剛度影響系數(shù)Kij: 在j節(jié)點產(chǎn)生單位位移(uj=1)而其它節(jié)點位移為零時，需在i節(jié)點位移方向上施加的節(jié)點力的大小。 如： K2X22X1= F2X1K11：在節(jié)點1產(chǎn)生單位位移，節(jié)點2保持不動，在節(jié)點1所需加的力。K12：在節(jié)點2產(chǎn)生單位位移，節(jié)點1保持不動，在節(jié)點1所需加的力。K21：在節(jié)點1產(chǎn)

9、生單位位移，節(jié)點2保持不動，在節(jié)點2所需加的力。K22：在節(jié)點2產(chǎn)生單位位移，節(jié)點1保持不動，在節(jié)點2所需加的力。剛度法位移法n對于n次超靜定結構，選擇n個約束條件對應的n個未知位移1, 2, n；n將已知載荷作用在基本約束系統(tǒng)上，得到相應于n個未知位移處固定端的n個F1P,F2P,FnP支反力。n將n個未知位移的單位值單獨作用在基本約束系統(tǒng)上。每個單位位移，確定相應于所有n個未知位移處的n個剛度系數(shù)Kij。 n實際載荷F1,F2,Fn等于已知載荷在約束點產(chǎn)生的力與未知位移產(chǎn)生的固定端的支反力之和。（力的平衡方程）剛度法位移法p2p1p4p34次超靜定系統(tǒng)p2p1p4p31=13=02=04=

10、01=02=13=04=01=02=03=14=01=02=03=04=1k11k21k12k22k32k33k23k43k34k44f1pf2pf3pf4p=+已知力在約束點處產(chǎn)生的合力矩約束點4處給定單位位移產(chǎn)生的力矩約束點3處給定單位位移產(chǎn)生的合力矩約束點2處給定單位位移產(chǎn)生的合力矩約束點1處給定單位位移產(chǎn)生的合力矩剛度法位移法nF1=F1P+K111+K122+K133+ +K1nnnFn=FnP+Kn11+Kn22+Kn33+ +Knnn剛度方程與矩陣 F1 K11 K12 K13 K14 K15 K1n 1 F1P F2 K21 2 F2P = + Fn Kn1 Knn n FnP

11、單元節(jié)點位移與單元節(jié)點力的關系jyxujvjiuiviMjyxUjVjMiUiVi剛度法建單元矩陣：F6X1=K6X62X1 F1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 1 F2 K21 K22 K23 K24 K25 K26 2 F3 = K31 K32 K33 K34 K35 K36 3 F4 K41 K42 K43 K44 K45 K46 4 F5 K51 K52 K53 K54 K55 K56 5 F6 K61 K62 K63 K64 K65 K66 6兩節(jié)點(6個自由度)平面桿件單元的剛度矩陣一般型式單元節(jié)點位移與單元節(jié)點力的關系單元節(jié)點單位位移與節(jié)點力的關系ui=1uj=

12、1UiUjUi=EA/LUj=EA/LUj=-EA/LUi=-EA/L產(chǎn)生單位位移ui=1,uj=1，需要施加的力單元節(jié)點單位位移與節(jié)點力的關系產(chǎn)生單位位移vi=1,vj=1，需要施加的力Vi=1Vj=1MjMii=0j=0ViVjMi=6EI/L2Vi=12EI/L3Mj=-6EI/L2Vj=12EI/L3Mi=-6EI/L2Vi=-12EI/L3Vj=-12EI/L3Mj=6EI/L2單元節(jié)點單位位移與節(jié)點力的關系Vj=0j=1Vi=0i=1MiViMjVj產(chǎn)生單位位移i=1, j=1，需要施加的力Mi=4EI/LVi=6EI/L2Vj=-6EI/L2Mj=2EI/LMj=4EI/LVj=

13、-6EI/L2Mi=2EI/LVi=6EI/L2單元剛度矩陣jjjiiijjjiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMVUMVU460260612061200000260460612061200000222323222323單元剛度矩陣特性n單元剛度矩陣元素取決于該單元的形狀、大小和材料，與位置無關，與位移模式有關。n對稱性，Kij=Kji。互等定理：j處單位位移給出i處節(jié)點力，等于i 處單位位移給出j處節(jié)點力。n單元剛度矩陣是奇異的。由于節(jié)點位移中包含單元的剛體位移 單元在兩個節(jié)點力的作用下處于平

14、衡。 FX=0 FY=0 MZ=02.2.3坐標變換n 目的：將不同局部坐標方向上的單元節(jié)點力（或位移）變換到同一整體坐標系oxy方向上，以便建立節(jié)點平衡方程 n單元坐標變換矩陣：n單元節(jié)點位移坐標變換式：e=Ten單元節(jié)點力坐標變換式： Fe=TFe1000cossin00sincos10000cossin0sincos00T2.2.3坐標變換P=20kNL2=2mL1=1mL2/21234123232121343yxxyyx(a) 平面剛架(b)單元、節(jié)點編號與整體、局部坐標（有限元直接法例題1坐標變換）UYUYUXUX2.2.4等效節(jié)點載荷n所有施加在幾何實體邊界上的載荷或約束必須最終傳

15、遞到有限元模型上（節(jié)點或單元上）進行求解。 n靜力等效原則。只需給出載荷作用下兩端固定梁的固端反力公式，將固端反力前加一負號即為等效節(jié)點載荷。2.2.4等效節(jié)點載荷一、局部坐標內(nèi)等效節(jié)點荷載的計算-單元固端反力的計算公式以F0e=(Uoi,Voi,Moi,Uoj,Voj,Moj)T表示非節(jié)點荷載引起的兩端固定梁的固端反力（如下圖所示），則下述荷載的固端反力計算公式為：lclgcMlclcgcMVgcVlclccVUUjiijiji3412386123222g0302220003322000 xycdlOV0iiM0iV0jM0jjg2.2.4等效節(jié)點載荷22022032032000220lGc

16、dMlGcdMlcdlGVldclGVUUjijijixycdlOV0iiM0iV0jM0jjGG2.2.4等效節(jié)點載荷lclcMMldldMMVVlMcdVUUjiijiji32326000003000 xycdlOV0iiM0iV0jM0jjMM2.2.5建立節(jié)點平衡方程n總剛度矩陣建立的原則n各單元變形后，在節(jié)點處協(xié)調(diào)聯(lián)接。即與i節(jié)點有n個單元相連，要求這n個單元在i節(jié)點處具有相同的節(jié)點位移值。n結構的有限元各節(jié)點必須滿足平衡條件。即與i節(jié)點相連的所有各單元作用在i節(jié)點上的節(jié)點力，應與作用在i節(jié)點上的節(jié)點載荷保持平衡。2.2.5建立節(jié)點平衡方程n建立總剛度矩陣的方法 節(jié)點平衡法節(jié)點平衡法

17、 在總體坐標下，對每個節(jié)點建立力和力矩平衡方程，遍歷系統(tǒng)整體模型的每個節(jié)點。 單元矩陣擴維法單元矩陣擴維法 單元矩陣的維數(shù)擴充到系統(tǒng)整體矩陣的維數(shù)。將單元矩陣中節(jié)點編號按系統(tǒng)整體模型的節(jié)點自由度編號，來放置單元各元素。將所有單元矩陣相加。2.2.6引入邊界條件n消除結構的剛體位移，求得唯一解。總剛度矩陣是奇異的，不存在逆矩陣。n邊界約束條件的處理方法： 劃行劃列降階法 劃零置1法 乘大數(shù)法（對角線元素擴大法）2.2.6引入邊界條件n劃行劃列降階法劃行劃列降階法n當結構的邊界條件是零位移時，把邊界條件帶入到總剛度方程中，在節(jié)點位移列向量中相應項為零值，在總剛度矩陣中，與位移為零的項所對應的行與列

18、的元素，在求其它節(jié)點的位移時將不起作用，因而可從剛度矩陣中劃去相應的行與列。降低總剛度矩陣的階數(shù)。2.2.6引入邊界條件2.2.6引入邊界條件n劃零置劃零置1 1法法n當邊界條件不一定是零位移，而是已知值時，在總剛度矩陣中，把與給定節(jié)點位移對應的主對角線上的元素置1，而該行該列上的其余元素置零。n在節(jié)點載荷列向量中，把相應的項用給定位移值代替，而其余元素，則應從中減去給定節(jié)點位移與總剛度矩陣中相應的列項的乘積。2.2.6引入邊界條件2.2.6引入邊界條件n乘大數(shù)法（對角線元素擴大法）乘大數(shù)法（對角線元素擴大法）n當邊界條件不一定是零位移，而是已知值時，在總剛度矩陣中，把與給定節(jié)點位移對應的主對

19、角線上的元素程乘以相當大的一個數(shù)，如1x1015，而該行該列上的其余元素不變。n在節(jié)點載荷列向量中，把相應的項用給定位移與相應的主對角線上的元素、同一相當大的數(shù)如1x1015這三項的乘積代替，而其余元素不變。2.2.6引入邊界條件2.2.7解方程組求節(jié)點位移n高斯消元法n三角分解法2.2.8求單元內(nèi)力n求解得到的節(jié)點位移帶到單元方程中返求由節(jié)點位移引起的節(jié)點力。n計算每個單元的內(nèi)力、彎矩圖和變形。2.2.9平面剛架例題P=20kNL2=2mL1=1mL2/21234123232121343yxxyyx(a) 平面剛架(b)單元、節(jié)點編號與整體、局部坐標（有限元直接法例題1）UYUYUXUX23

20、2121343UYUYUXUX節(jié)點力和節(jié)點位移在整體坐標下的編號F9F7F8F6F4F5F9F7F8F6F4F5F3F1F2F12F10F112.2.9平面剛架例題2.2.9平面剛架例題由于外力作用于單元2上且不在節(jié)點上，因此只有節(jié)點2和3有等效節(jié)點荷載，根據(jù)2.2.4中等效節(jié)點載荷公式可以求得：P=20kN1234123U02U03V02V03M02M03mkN5-mkN5kN10kN10000203020302jMMVVUU節(jié)點位移引起的單元節(jié)點力之和等于節(jié)點荷載，據(jù)此建立各個節(jié)點的平衡方程，如下： 434022212434022212434221203332311103332311133

21、2311100MMMMMVVVVVUUUUMMMMMVVVVVUUUU寫成向量形式：uKFT444333222111,MVUMVUMVUMVUF T444333222111,vuvuvuvuu 其中：2.2.9平面剛架例題單元1的剛度矩陣 F1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 1 F2 K21 K22 K23 K24 K25 K26 2 F3 = K31 K32 K33 K34 K35 K36 3 F4 K41 K42 K43 K44 K45 K46 4 F5 K51 K52 K53 K54 K55 K56 5 F6 K61 K62 K63 K64 K65 K66 6兩節(jié)點(6

22、個自由度)平面梁單元的剛度矩陣一般型式單元2的剛度矩陣 F4 K44 K45 K46 K47 K48 K49 4 F5 K54 K55 K56 K57 K58 K59 5 F6 = K64 K65 K66 K67 K68 K69 6 F7 K74 K75 K76 K77 K78 K79 7 F8 K84 K85 K86 K87 K88 K89 8 F9 K94 K95 K96 K97 K98 K99 9兩節(jié)點(6個自由度)平面梁單元的剛度矩陣一般型式局部坐標系內(nèi)單元1和單元3的剛度矩陣lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl

23、EAlEA460260612061200000260460612061200000KK22232322232331局部坐標系內(nèi)單元2的剛度矩陣lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA2230230232302323000200223022302323023230002002K2223232223232各單元的坐標變換矩陣對于單元1和單元3，=90，坐標變換矩陣為10000100101000001010TT31對于單元2，=0，其坐標變換矩陣為（單位矩陣）I2T在整體坐標系內(nèi)單元1和單元3的單元剛度矩陣lEIlEIl

24、EIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEI406206000060126012206406000060126012KK22232322232331在整體坐標系內(nèi)單元2的單元剛度矩陣lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA2230230232302323000200223022302323023230002002K2223232223232在整體坐標系內(nèi)單元2的單元剛度矩陣lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlE

25、IlEIlEIlEIlEIlEAlEA2230230232302323000200223022302323023230002002K2223232223232節(jié)點力平衡方程組02. 1054. 151. 0054. 108 .16008 .1600054. 1007. 354. 1007. 302. 151. 0039. 054. 1026. 039. 000039. 08 .1639. 00039. 039. 00054. 100007. 340. 80040. 826. 039. 0051. 002. 139. 00054. 151. 054. 1039. 039. 0039. 0039.

26、 08 .16008 .160040. 8054. 10040. 807. 354. 107. 351. 054. 102. 154. 1008 .168 .1654. 107. 354. 1007. 3108K已知節(jié)點1和節(jié)點4處各自由度位移為零，即T3332220 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0vuvuu T4441113, 5 ,10, 0 , 5,10, 0 ,10MVUMVUF且2.2.9平面剛架例題n整體剛度矩陣：單元矩陣擴維，同編號相加。n邊界條件： 1 =2 = 3 = 10 = 11 = 12 =0n劃行劃列降階法求解 只需求解未知位移4 4 ,5 5 , , 6 6

27、,7 7 ,8 8 , , 9 9 2.2.9平面剛架例題P=-20kN2LLL1234123232121454yxxyyx(a) 平面剛架(b)單元、節(jié)點編號與整體、局部坐標（有限元直接法例題1）UYUYUXUX343xy231245UYUYUXUX節(jié)點力和節(jié)點位移在整體坐標下的編號F12F10F11F6F4F5F9F7F8F6F4F5F3F1F2F15F13F142.2.9平面剛架例題34F12F10F11F9F7F8（1）（2）（3）（4）2.2.9平面剛架例題這樣劃分單元，使得所有單元尺寸相同，即局部坐標系內(nèi)的單元剛度矩陣相同 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlE

28、AlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000KKKK2223232223234321 10000100101000001010TT41各單元的坐標變換矩陣為 I32TT各單元坐標變換矩陣在整體坐標系內(nèi)單元1和單元4的單元剛度矩陣 lEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEI406206000060126012206406000060126012KK22232322232341在整體坐標系內(nèi)單元2和單元3的單元剛度矩陣 lEIlEI

29、lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000KK22232322232332節(jié)點力平衡方程組節(jié)點位移引起的單元節(jié)點力之和等于節(jié)點荷載，據(jù)此建立各個節(jié)點的平衡方程，如下： 55545443433232212111555454434332322121115554544343323221211100000000MMMMMMMMMMMVVVVVPVVVVVVUUUUUUUUUUU寫成向量形式：uKFT555444333222111,MVUMVUMVUMVUMVUF T

30、555444333222111,vuvuvuvuvuu 其中：節(jié)點力平衡方程組令桿為等截面，面積A=8e-3m2，慣性矩I=1.22e-4m4，彈性模量E=2.1e11Pa，l=1m，則有02. 1054. 151. 0054. 108 .16008 .16054. 1007. 354. 1007. 351. 0054. 102. 1054. 108 .16008 .16054. 1007. 354. 1007. 310KK84102. 154. 1051. 054. 1054. 107. 3054. 107. 30008 .16008 .1651. 054. 1002. 154. 1054. 107. 3054. 107. 30008 .16008 .1610KK832節(jié)點力平衡方程組02. 1054. 151. 0054. 108 .16008 .16000054. 1007. 354. 1007. 351. 0054. 102. 102. 1054. 154. 1051. 054. 1008 .160054. 18 .1607. 30054. 18 .1600054. 1007. 354. 100007. 38 .16008 .1651. 054. 1002. 102. 154. 154.