廣東省梅州市2013屆高三數學上學期第二次質檢試題文新人教A版

1、咼二級數學（文科）質檢試題 2012 年 12 月 本試卷共 4 頁，21 小題，滿分 150 分.考試用時 120 分鐘. 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分在每小題給出的四個選項中，只 有一項 是符合題目要求的. 1函數y=log2（x-1）的定義域為 A. x|x 1 C. x | x 1 且 x = 2 2 .已知合集 U = x1 -3 ： x : 2，集合 A 二x | x2 ： 4，則 eu A = A. x | -2 ： x :：: 2 B. x | -3 ： x _ -2 C. x | -3 ： x 乞 2 D. 3.已知 :-為第二象限角， s

2、in 二= 3 則 sin 2： 5 24 12 24 12 A B. C. D. 25 25 25 25 4 .設數列 是等差數列， 31 32 a3工24 , a19 =26，則此數列 訂前20項和等 于 A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 l2x - y - 0 I y 5. 已知變量x, y滿足 x - 2y 3 - 0,則2x y的最大值為 x - 0 3 A. 0 B. C. 4 D. 5 2 6. 等差數列an中，d = 2，且a1, a3,a4成等比數列，則a2二 A. - 4 B. - 6 C. - 8 D. -10 7要得到函數y =cos(2x 1)的

3、圖象，只要將函數 y=cos2x的圖象 B. x| x _ 1 D. R A.向左平移 1 個單位 B. 向右平移 1 個單位 1 1 C. 向左平移丄個單位 D 向右平移-個單位 2 2 &已知向量a= （4,3） , b= （-2,1），如果向量a - b與b垂直，則|2a 一巾|的值為 A 1 B 、5 C. 5 D 5 5 9已知x,y,z R，則“ lg y為lg x,lg z的等差中項”是“ y是x,z的等比中項”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 a b x1 2 / 、 10.定義運算 =adbe ,函數f（x）= 圖像的頂點是（

4、m,n）,且 c d x x + 3 k、m n r成等差數列，則k+r = A. 0 B. -14 C. _9 D -3 二、填空題：本大題共 5 小題，考生作答 4 小題， 每小題 5 分，滿分 20 分. （一）必做題（1113 題） 11.已知函數 f（x）=log2x，貝y f（f（4）= _ 12函數y=xex的最小值是 _ . 1丄9 d 13 .已知x,y為正數，若+ =1，則x+2y的最小值是 x y （二）選做題（14-15 小題，考生只能從中選做一題） 14 .（坐標系與參數方程選做題） 已知直線I的方程為 乂二上-1（t 為參數），以坐標原點為 ly十1 極點，x軸正方

5、向為極軸的極坐標中，圓的極坐標方程為 = 2，則l與該圓相交所得弦的 弦長為 _ 15 .（幾何證明選講選做題） 如圖 1, A, B是圓o上的兩點，且 OA_OB , OA=2 , C為OA的中點，連接BC并延長BC交圓O于點D , 則 CD = _ .B O A D 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16. (本小題滿分 14 分) 已知函數 f(x) =sin(二-x)cosx,(x R) (1) 求函數f (x)的最小正周期； (2) 求函數f(x)的最大值和最小值； 1 下 (3) 若 f(： ) ,圧三(0,)，求 sin ：亠

6、cos:的值. 4 2 17. (本小題滿分 14 分) 已知an為等差數列，且a1 a8,a2 a12 . (1) 求數列an的通項公式； (2) 記an的前n項和為Sn，若a1.3k.Sk .2成等比數列，求正整數 k的值. 18. (本小題滿分 12 分) 4 如圖 2,四邊形 ABCD中，AB=5 , AD =3, cos A ，厶BCD是等邊三角形. 5 (1) 求四邊形 ABCD的面積; (2) 求 sin ABD .圖 2 19. (本小題滿分 12 分) 某產品生產成本 C與產量q( qN* )的函數關系式為 C =100 4q，銷售單價p與 1 產量q的函數關系式為 p =

7、25 q . 8 (1) 產量q為何值時，利潤最大？ (2) 產量q為何值時，每件產品的平均利潤最大? 20. (本小題滿分 14 分) 已知數列 an的前 n項和為Sn，滿足Sn - 2n =2an (1 )求數列 an 的通項公式an ； (2)若數列 bn滿足bn = log2(an 2)，設Tn是數列 的前 n項和，求證: an +2 Tn 21. (本題滿分 14 分) 已知函數f(x) =xlnx . (1) 求 f (x)的最小值; (2)若對所有x 1都有f(x) 一ax-1，求實數a的取值范圍.質檢試題參考答案 2012 年 12 月 12. 4 15. ABDBC 11.

8、1 610. 1 BCDAC 13. 19 6 2 14. 、 15 55 16解：)v 分 函數f (x)的最(2)函數f(x)的最大值和最小值分別為 .2, 2 . 1 1 (3 )由 f (二) 得 sin 二一cos 工 4 4 - (sin : -cos、z)2 =丄, . 16 1 1 -sin 2 ,sin 16 15 2： 16 11 2 1 15 31 (sin ： cos： ) 1 sin2： =1 - 16 16 12 分 :(0匸), . si n G +cosa 0 2 cos：=旦 4 14 17解: (1)設數列an的公差為 d,由題意知2陽心8 2a1 +4d

9、=12 =2,d =2 所以an 二印(n -1)d =2 2(n -1) = 2n (1 )由 (1 )可得Sn二 (a1 an)n 一(2 2n)n = n(1n) 因a1,ak,Sk 2成等比數列，所以 a k = a1Sk 2 10 質檢試題參考答案 2012 年 12 月 12. 4 2 從而(2k) =2(k 2)(k 3)8 即 疋5k-6 = 0 分 解得k = 6或k - _1 （舍去）， 因此k =6 . 14 分 18解：(1)由余弦定理得 BD2=AB2 AD2_2 AB AD cosA=10 4 3 因為cos A ，所以sin A =- 5 5 四邊形ABCD的面積

10、S = S ABD S BCD =-AB AD sin. BAD - BD2 sin DBC 2 2 AD A 9 10 所以 sin ZABD sin A = BD 19解：（1）銷售收入R=q p=25q-q2 8 1 2 利潤 L = R - C q2 21q -100 ( 0 . q : 200，不影響賦分) 8 L -84)2 782 8 1 100 r- - =0 得 q =20 .212 AD BD (2)由正弦定理得 sin NABD sin A 10 12 分 50 所以產量q =84時，利潤 L最大 （2） 每件產品的平均利潤 L 1 i 100 f(q) V 巒， 8 分

11、 則當 n 2, n N*時，Sn J - 2an 二-2 n -1 . ，得 an = 2a“ - 2an i _ 2, 即 an = 2an i 2 an 2 =2 an2 當 n=1 時，S =23 -2，則 a2 , an 2 -是以 4 為首項，以 2 為公比的等比數列 an 4 2nd, 1 b (2 )證明：由 S Wg2(an VggfF 1,得匸爲 2 0 ： q ：20、2時，J0, f單調遞增； 2. 2 :：: q :：: 200 時，f/ ： 0 , f 單調遞減 因為 28 : 20 . 2 : 29，且 f(28) f(29), 10 分 所以產量q =28時，每

12、件產品的平均利潤 L最大 11 分 答： （略） 分 12 20. (1)解: 由 Sn 2n = 2an 得：Sn=2an-2n 當 n N*時, Sn =2an -2n， 8 分 ， 10 10 1 1 1 所以，當x 時，f(X)取得最小值f( ) . e e e (2 )解法一：依題意，得 f(x)ax1在1,= 上恒成立, 1 即不等式a乞lnx 對于x1, 恒成立 . x 8 分 入 1 , 1 1 11 ) 令 g(x) =ln x , 貝U g (x) 2 1 . x X X x I X 丿 冊+1 2+2 分 ，得 1 2 1 1, 1 n 1 2Tn 23 24 L 尹 丄

13、+ 4(1 R M + 1 4 1 1 2 a+3 2 1 1 1 旳+ 1 4 2 2 s + 1 2fl+2 3 + 3 2 + Tn 13 3 所以：Tn . . 2 分 21.解：(1) f(x)的定義域為 0： , f(x)的導數 f(x)=l nx 14 分 * 1 1 令 f (x) 0，解得 x ；令 f (x) : 0，解得 0 x . e e 從而f (x)在O,1單調遞減，在 v e丿 h +l 3 n 3 2“ 1 i，:= ， 10 10 分 * 1 I 1 : 當x 1時，因為g (x) 1 0 , X I x )綜上，滿足條件的 a的取值范圍是 ：,11. 14 分 故g(x)是I：上的增函數， 所以g(x)的最小值是g(i)=i, . 13 分 所以a的取值范圍是 -：,1. . 14 分 解法二：令 g(x) = f (x) -(ax 1)，則 g (x) = f (x) a =1 a In x , 若 a 乞1，當 x 1 時，g (x) =