組合預(yù)測(cè)模型

1、平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-07組合預(yù)測(cè)模型(平頂山學(xué)院 王安2012-07-07)本節(jié)首先為充分利用各種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法所主耍能準(zhǔn)確提供的全局的個(gè)別部分 信息和達(dá)到提高整個(gè)系統(tǒng)預(yù)測(cè)椿度的目的，引入門甘間因子的概念，并給出了連 續(xù)性時(shí)間因子的性質(zhì)然后從單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型出發(fā)，并給出r«r-遺傳算法的求解單 項(xiàng)預(yù)測(cè)模型權(quán)系數(shù)步驟，由此便得出組合預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)值，4木農(nóng)最后通過實(shí)例分 析證明了組A預(yù)測(cè)在保持預(yù)測(cè)穩(wěn)定性的同時(shí)，可以提高預(yù)測(cè)的粘:度。1模型準(zhǔn)備在預(yù)測(cè)中，由于各種單項(xiàng)預(yù)測(cè)具有不穩(wěn)定性，各種預(yù)測(cè)方法都存在時(shí)好時(shí)壞的 特點(diǎn)，我們提出了組介預(yù)測(cè)的方法，通過結(jié)介歷史預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際值，我們給

2、定一 個(gè)各種預(yù)測(cè)的最優(yōu)權(quán)幣:紐介，使得這吐歷史預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)在加權(quán)之后，總誤差最小，可 以看出，這種加權(quán)預(yù)測(cè)的方法，結(jié)合r大量的歷史數(shù)據(jù)，使得預(yù)測(cè)結(jié)果呈現(xiàn)穩(wěn)定的 趨勢(shì),但由丁場(chǎng)史數(shù)據(jù)太多，各種數(shù)據(jù)缺乏主次巫要性，使得預(yù)測(cè)結(jié)果并不十分粘: 確.因此，我們依據(jù)實(shí)際情況，確定出一個(gè)合適的呈平滑上升趨勢(shì)的時(shí)間因子序列, 在歷史數(shù)據(jù)的謀差中加上相應(yīng)的時(shí)間因子使得近期數(shù)據(jù)的重要性增大，從而達(dá)到 在保證穩(wěn)定性的前提下,提高了組合預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性.這樣經(jīng)過時(shí)間因子加權(quán)后 確定的最優(yōu)權(quán)重組合，更具有實(shí)際意義。為了加強(qiáng)時(shí)間的連續(xù)性影響，削弱時(shí)間的滯后性影響，在謀差平方和最小的 基礎(chǔ)上，加入了時(shí)間因子，使得根據(jù)誤差平方和

3、最小原理求出的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值 保持一致變化，求出下一時(shí)段的組合權(quán)巫。根據(jù)預(yù)測(cè)量隨時(shí)間變動(dòng)的特點(diǎn)，以下 引入了時(shí)間因子的定義。定義ii時(shí)間因子定義：時(shí)間因子是反映不同時(shí)間數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值影響程度 的一種權(quán)重=卩,卩+1,“。性質(zhì)ii如果預(yù)測(cè)對(duì)象具有連續(xù)性，則時(shí)間因子弘是關(guān)丁r的遞增函數(shù)或數(shù)列結(jié)合實(shí)際情況，給出兩個(gè)連續(xù)性時(shí)間因子序列，其具體構(gòu)造過程如下：1.求各期適應(yīng)度：1E(x->J2r)-1作適應(yīng)度的無序列：做X。的累加序列得到連續(xù)性時(shí)間因子序列心屮,，久)其中：力廠人 + ： , ht = fp + fi (/= P + 1,P+2,-,/)Lr=p44E (r= p,p+1, ,/)(4

4、.1)l=p2.通過 p+l個(gè)時(shí)段內(nèi)的真實(shí)値和預(yù)測(cè)值的歷史數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)第舁+1個(gè)時(shí)段 的預(yù)測(cè)值，山遠(yuǎn)期到近期的權(quán)重依次為：TV '*,"+1，,"(42) (p+n)(n-p+)連續(xù)性時(shí)間因子的作用是提高近期數(shù)據(jù)的良好影響，削弱遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的滯后影 響，對(duì)丁組介預(yù)測(cè)模型來說，時(shí)間因子可以使近期預(yù)測(cè)效果好的單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的 權(quán)系數(shù)H動(dòng)適當(dāng)放大，使得權(quán)系數(shù)的確定具有時(shí)變性，結(jié)合組合預(yù)測(cè)的方法進(jìn)而 提高預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性和精確度；在具有時(shí)間因子的組介預(yù)測(cè)模型中，時(shí)間因子的設(shè)置可以提島近期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù) 測(cè)的影響，使預(yù)測(cè)容納更多的隱含信息，可以提高預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性和桔確性，使預(yù) 測(cè)的結(jié)果更具有實(shí)際

5、意義。2符號(hào)說明y,:第/個(gè)時(shí)段的實(shí)際值/ = 1,2,y,:表示在第i個(gè)時(shí)段第丿種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值心1,2,/， ;=1,2,旳：表示第丿種預(yù)測(cè)方法的權(quán)重系數(shù)j = l,2,-,/n為=y廠九:為在第i個(gè)時(shí)段第j種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的單項(xiàng)預(yù)測(cè)誤差Z：第i個(gè)時(shí)段的組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值心1,2,，兒©:第i個(gè)時(shí)段的組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤差；n.:笫：個(gè)時(shí)段的時(shí)間因子即笫i個(gè)時(shí)段的組介預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的 誤差平方的系數(shù)。3模型建立第i個(gè)時(shí)段的組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值：勺£唄(4.3)第i個(gè)時(shí)段的組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值的絕對(duì)謀差：m= X-工忖(4.4)設(shè)叫，叫，叫分別

6、為川種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的加權(quán)系數(shù)，為了使組介預(yù)測(cè)保持 無偏性，加權(quán)系數(shù)應(yīng)滿足m工旳=1 0 < vv; < 1(4.5);=i時(shí)間因子對(duì)歷史數(shù)據(jù)的影響，能夠加強(qiáng)近期的數(shù)據(jù)的影響，削弱遠(yuǎn)期歷史數(shù) 據(jù)的滯后影響，并保持?jǐn)?shù)據(jù)變化的連續(xù)杵，從而對(duì)事物進(jìn)行綜合精確的預(yù)測(cè)。這 能使預(yù)測(cè)值更有效的反應(yīng)事物變化的規(guī)律。具有時(shí)間因子的組介預(yù)測(cè)模型的數(shù)學(xué)模型nn(m)*5(4.6)il/-I<嚴(yán))ms.t. V vv. = 1 j = 12 Z(4.7)/In£ 7； = 1) = 1,2，加(4.8)i=i0 < w. < 1 j = 1,2,7(4.9)OS丿 <1

7、j = ,2,m(4.10)其中(4.6)表示具有時(shí)間因子的組合預(yù)測(cè)的總謀差平方和瑕小的日標(biāo)函數(shù)：(4.7)表示具有時(shí)間因子組介預(yù)測(cè)方法的單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的權(quán)系數(shù)和為1； (4.8)農(nóng)示 具冇時(shí)間因子組介預(yù)測(cè)方法的權(quán)系數(shù)和為1; (4.9)表示具冇時(shí)間因子組介預(yù)測(cè)方 法的單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型權(quán)系數(shù)在0到1之間：(4.10)表示具有時(shí)間因子組合預(yù)測(cè)方法 的時(shí)間因子在0到1之間。4模型的遺傳算法求解遺傳算法求解具有時(shí)間因子的組合權(quán)車系數(shù)的皋本步驟如下：Stepl首先將組合權(quán)值叫，叫，叫-各用8位二進(jìn)制序列表示，得到長(zhǎng)度為 8(舁一1)的二進(jìn)制染色體序列，W”通過1-h; -VV, -來計(jì)算。初始化產(chǎn)生個(gè)體數(shù)為

8、30的群體pop。Scep2由T Stepl中產(chǎn)生的群體，有一部分超出了約束范圍，為了使所有個(gè) 體滿足約束條件，我們對(duì)樣體中的所有染色體進(jìn)行解碼得出相應(yīng)的 叫,，叫7。如果超出了叫,%，叫“的約束范圍(叫+ % + %+ w* =1, 叫+叫+些+”'_ VI)，我們重新產(chǎn)生該染色體的基因，直到滿足約束條 件為止。StepS由丁求解目標(biāo)西數(shù)的般小值，因此目標(biāo)隨數(shù)值小的個(gè)體適應(yīng)度較人， 首先求出所有個(gè)體的累計(jì)倒數(shù)和：ssmn = l/(l)+l/(2)+-+l/(A/-l)然后求出個(gè)體的適應(yīng)度=£型。同時(shí)我們用適應(yīng)度最大個(gè)體替換適應(yīng) ssum度繪小個(gè)體，并將最優(yōu)個(gè)體放到種群繪后

9、，不進(jìn)行交義變異。Scep4求岀個(gè)體累計(jì)適應(yīng)度fitness = cunisiun (ff (1)。用輪盤貼法，隨 機(jī)產(chǎn)生概率，根據(jù)概率所在的區(qū)間選擇個(gè)體進(jìn)行遺傳。Step5對(duì)所有個(gè)體隨機(jī)兩兩配對(duì)，然后按照交義概率匕，進(jìn)行單點(diǎn)交義。Step6對(duì)所有個(gè)體的所有基因產(chǎn)生相應(yīng)的概率，符介變異概率化的進(jìn)行變異 操作。Step7不斷進(jìn)行迭代操作，進(jìn)行500次后，取出繪優(yōu)染色體序列，解倡輸出 最優(yōu)wl9w29.9wn值，算法結(jié)束。具體遺傳算法求解具有時(shí)間因子的組合預(yù)測(cè)模世權(quán)雨的算法流程圖如圖4.1 所示。3平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-075平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-07圖4.1遺傳算

10、法求解H寸變組合權(quán)咆的算法流程圖#平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-075實(shí)例仿真為了驗(yàn)證和評(píng)價(jià)具有時(shí)間因子時(shí)變權(quán)車的組合預(yù)測(cè)模型的效果，本文分別選 取回！JI預(yù)測(cè)、指數(shù)平滑預(yù)測(cè)及灰色預(yù)測(cè)和本節(jié)提出的有三種方法組合方法種組介 模型方法對(duì)某煤礦1988-2004年原煤產(chǎn)帚進(jìn)行預(yù)測(cè)，原煤產(chǎn)量見表4.1。首先用 1988年到2003年數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。農(nóng)4.1某煤礦原煤產(chǎn)磺歷史數(shù)據(jù)序巧123456年份198819891990199119921993產(chǎn)鼠1813.602020.102100.002111.002204.462392.29序號(hào)789101112年份199419951996199719

11、981999產(chǎn)量2633.292720.742986.003021.372926.912778.16序號(hào)1314151617年份20002001200220032004產(chǎn)量2798.902819.613098.673482.863749.405.1回歸預(yù)測(cè)模型冋歸預(yù)測(cè)模些，用1988年到2003年的煤礦產(chǎn)帚數(shù)據(jù)作為H變最兀，用1989年到2004年的煤礦產(chǎn)量數(shù)據(jù)作為耍使得y =。+加近似表達(dá)為。二 +加+ “然后利用最小二乘法原理估計(jì)參數(shù)。和b的值，得到回歸預(yù)測(cè)模 型y = 1.011x4-92.949(3-11)最后根據(jù)冋歸方程來預(yù)測(cè)1989年到2004年的產(chǎn)帚:，用SPSS進(jìn)行數(shù)據(jù)分析 得

12、，方差分析結(jié)果表明其顯著性概率值假設(shè)檢驗(yàn)的顯箸性概率Sig./b J* 0.05,所 以回UI方程有統(tǒng)計(jì)意義。具有較好預(yù)測(cè)效果的變量t的值應(yīng)大丁 2或者小于-2, 回歸預(yù)測(cè)模型中主更參最檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)的顯苕性概率均小丁 0.05刃。冋歸預(yù)測(cè)模樂預(yù)測(cè)效果和相對(duì)誤差曲線如下圖4.2和圖4.3所示。<r®圖4.2預(yù)測(cè)值與真實(shí)值比較圖圖4.3相對(duì)誤差曲線圖5.2指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型，設(shè)觀測(cè)的樣木序列為X二xj = 123,則一次平滑指數(shù)平滑式子為：S = axi + (-a)S式子為S尸為次指數(shù)平滑值：。為加權(quán)系數(shù)，且OSd 9,預(yù)測(cè)值為£* =+(&)&

13、#163;即以第，期指數(shù)平滑值作為卄期 的預(yù)測(cè)值。確定繪優(yōu)的加權(quán)系數(shù)使得預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤茅平方和的均值故小。目標(biāo)函數(shù):(3-12)7平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-07#平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-07s(3-13)指數(shù)平滑法算法步驟(程序見附錄三)Stepl輸入原始樣本序列為X =.£/= 1,2,3, oStep2依據(jù)一次指數(shù)平滑式S = axi + (l-a)S,_9求出指數(shù)平滑值£OStepS依據(jù)預(yù)測(cè)公式和+(1-°)£ ,把第i期的指數(shù)平滑值S,作為i + 1期 的預(yù)測(cè)值。Step4采用最小方差法確定預(yù)測(cè)值。初始值S產(chǎn)號(hào)方差表

14、達(dá)式為 52 = lyu-i,)2,求出當(dāng)于最小時(shí)的4值。Step5輸出預(yù)測(cè)結(jié)果£ J = 12 3fO指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果和相對(duì)誤差曲線如下圖4.4和圖4.5所示。圖44預(yù)測(cè)值與真實(shí)值比較圖圖4.5相對(duì)誤差曲線5.3灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，建立原煤產(chǎn)星的GM(1J)預(yù)測(cè)模型的方法如下： 令XQ = X®(1),X®(2),-,X®M)為歷史原煤產(chǎn)量，X為累加生成 序列，即X =£ X*),f = l,2,/m«lGM(1,1)模型的白化微分方程為dX-+ aXv 9 = udt其中，G為待辨識(shí)參數(shù),“為

15、待辨識(shí)內(nèi)生變量。設(shè)待辨識(shí)向最& =，按最小9平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-07#平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-07乘法求得a = (B,B)B,y式中一扣+X)1X(o)(2)X®(3)X何B=冷(X(習(xí)+X(習(xí))1弓(XW(-l)+X 何)1丁是可得到灰色預(yù)測(cè)的離散時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為xu)(r + i) = fx(0)(i)-L_<,/ + -a) a(f +1)為所得的累加的預(yù)測(cè)值，將預(yù)測(cè)值還原即為xw(r + l)= Xu)(/ + l)-Xu>(/),(/ = 1,2,3 -H)利用MATLAB編寫程序(程序見附錄四)實(shí)現(xiàn)了原煤產(chǎn)量的灰色預(yù)測(cè)的

16、求 解。模型求解精度表見表4.3,方差比C= 0.471660,小誤差概率p =1.000000程 序預(yù)測(cè)精度合格。表43模熨精度檢驗(yàn)衷預(yù)測(cè)效果好合格勉強(qiáng)合格不合格CP0.95<C<lPS 0.350.8 v C 5 0.950.35 "v 0.50.7 v C 5 0.80.5<P< 0.65C<0.70.65<P<l#平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-07GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值比較和相對(duì)誤羞曲線如圖4.7和圖4.8所示?！爸?飢m値圖47預(yù)測(cè)值與實(shí)際值比較圖2.1Q0«對(duì)$<1®圖4.8相對(duì)謀差曲線

17、圖#平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-07#平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-075.4組合預(yù)測(cè)模型以回!TI預(yù)測(cè)模型、指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型和GM(1,1)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果為基礎(chǔ), 利用4.1節(jié)提出的組合預(yù)測(cè)模型求解。(程序見附錄五)程序運(yùn)行效果如圖410和圖411所示。?e979695x fl 4 <1 1 12 2 2 2 2W矣<0累戦2.193-? V2.191 -219-0 5D 10D1502002G0300350 ZCD 450 5CD送代次謝圖4.10組介預(yù)測(cè)模型謀差平方和與迭代次數(shù)變化圖#平頂山7院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)2012-07-0708C.5D.60.4起2吳松

18、P汕匹0.2Wf圖4.11組合預(yù)測(cè)模型謀基半方和與權(quán)系數(shù)變化圖最優(yōu)解模型的最優(yōu)組介權(quán)重分別為；wl = 0. 5234 , w2 = 0. 1328, w3 = 0. 3438 得到組合預(yù)測(cè)模型為X二叫兒+ %, + %兒組介預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值和謀差曲線如圖4.12和圖4.13所示。3.20012.BOC3.0002.00C郴時(shí)認(rèn)X,圖4.12預(yù)測(cè)值與實(shí)際值比較圖4.13相對(duì)誤差曲線5.5結(jié)果對(duì)比該煤礦原煤產(chǎn)M 1989-2003年原煤實(shí)際產(chǎn)帚具有時(shí)間的組介預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)值 與單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的比較見表4.4和表4.5。衷4.4 JI仃時(shí)間的組介預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)值與單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比衷年份產(chǎn)

19、量回歸預(yù)測(cè)值指數(shù)預(yù)測(cè)值灰色預(yù)測(cè)值組合預(yù)測(cè)旌19892020 11926 52060 120902000 45338199021002135272020 121632129 50899819912111221605210022392208 5287719922204 462227 17211123172242 62617819932392 292321 662204 523992332 69064419942633.29251L552392 324832485 8981L19952720.742755.212633325702675345154199629862S43622720 7266027

20、64 16766819973021373111 79298627532971.73308619982926 9L3147.55302142850302 8 4995919992778 163052 062926 929503000 35052420002798 92901 672778 230542937 64423820012819612922.642798 931612988 15549620023098 672943572819 6327230400210L820033482 863225 73098.733863263 94554表45組合預(yù)測(cè)模型與單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)謀差對(duì)比表

21、年份回歸預(yù)測(cè)指數(shù)預(yù)測(cè)灰色預(yù)測(cè)組合預(yù)測(cè)19890.04633434-0.019801-0 0346022470 009725619900016795240 038047619-0 03-00140521991-0 049763150 005210801-0 06063477-0 04621992-0.010301S40.04239587-0 051051051-001731319930.0295240130 078498008-0 0028048440 024913119940 0462311410 0915166960 0570730910 05597251995-0012669350 03213831500554040440 016684719960 0476825180088S479570 109176155007429081997-