數(shù)值計(jì)算方法課件劉玲王正盛第二版

1、數(shù)值計(jì)算方法第1章 緒論n隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算愈來(lái)愈顯示出其重要性。科學(xué)計(jì)算的應(yīng)用之廣已遍及各行各業(yè)，例如：氣象資料的分析圖像，飛機(jī)、汽車及輪船的外形設(shè)計(jì)，高科技研究等都離不開(kāi)科學(xué)計(jì)算。因此，作為科學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)工具數(shù)值計(jì)算方法已成為各高等院校數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)應(yīng)用專業(yè)等理工科本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課,也是工科碩士研究生的學(xué)位必修課。n數(shù)值分析或數(shù)值計(jì)算方法主要是研究如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)去獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解的理論和方法.對(duì)那些在經(jīng)典數(shù)學(xué)中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的這類數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時(shí)有十分有效.n計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題

2、時(shí)經(jīng)歷的幾個(gè)過(guò)程n實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)運(yùn)行求出解n實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型：由實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用科學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)。n數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果：根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法，直到編出程序上機(jī)算出解，是計(jì)算數(shù)學(xué)的任務(wù)。n數(shù)值計(jì)算方法重點(diǎn)研究：求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論n包括：方法的收斂性，穩(wěn)定性，誤差分析，計(jì)算時(shí)間的最?。ㄒ簿褪怯?jì)算費(fèi)用）,占用內(nèi)存空間少.n有的方法在理論上雖不夠嚴(yán)格，但通過(guò)實(shí)際計(jì)算，對(duì)比分析等手段，被證明是行之有效的方法，也可以采用。因此，數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性特

3、點(diǎn)，是一門與使用計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。1.1數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法例示n例1.1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間 內(nèi)的一個(gè)根。解 )2, 0(.)2, 0(, 0sin1)(.)2, 0(0)(,02*) 1()2()0(,2, 0)(,cos)(知上述零點(diǎn)唯一又由內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)在方程由零點(diǎn)定理知且上是連續(xù)函數(shù)在易知令xxxfxfffxfxxxf1.1數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法例示.4.,cos.,.*附近大致位于看出從圖中可以為所求方程的解的橫坐標(biāo)取兩曲線交點(diǎn)作圖像可大致判定此零點(diǎn)位置法若用圖解困難本題用解析法求解較為xxpxyxy公式有的復(fù)化被積函數(shù)擇數(shù)值方法有多種，如選萊布尼茲公

4、式）由牛頓解：（）（計(jì)算定積分例SimpsonxxfhnxIdxeIdxxx2101101022114)(,21, 20arctan41arctan4|arctan41)2(14I 12. 1 . 12。行數(shù)值求解有公式進(jìn)的復(fù)化法求解。仍選擇數(shù)值方公式無(wú)法求解，僅可用由無(wú)原函數(shù)，因此，由于）（746855379. 0,21, 2LeibnizNewtone)(,e2141568627. 3)1 ()43(4)21(2)41(4)0(62102122IsimpsonhnxxfdxIfffffhI-x:121)0(23 .1 .12方法我們選擇經(jīng)典的四階如。本題數(shù)值方法很多，解析解解得方程，令該方

5、程是解求解初值問(wèn)題例KRxyyuBernoulliyyxydxdy 為步長(zhǎng)。；這里hyxyyxfkyhthfkkyhthfkkyhthfkythfkkkkkyynnnnnnnnnn2),(,),()2,2()2,2(),()22(61342312143211現(xiàn)取h=0.05,其結(jié)果見(jiàn)下表:xnynyxnyny01.00000 1.00000 1.21.84931 1.849310.21.18322 1.18322 1.41.94396 1.943960.41.34164 1.34164 1.62.04939 2.049390.61.48324 1.48324 1.82.14476 2.1447

6、60.81.61245 1.61245 2.02.23607 2.236071.01.73205 1.73205 1.2誤差概念和有效數(shù)n在任何科學(xué)計(jì)算中其解的精確性總是相對(duì)的,而誤差則是絕對(duì)的.我們從下面這個(gè)例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因.例1.2.1 試求擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺運(yùn)動(dòng)周期. 22sing:gl2Tdtdmlmamgfml牛頓定律的質(zhì)量。如圖所示：由是質(zhì)點(diǎn)為自由落體加速度；為擺長(zhǎng)；其中擺周期在物理學(xué)中我們知道單0,sin,0sinsin22222222dtdlglgdtdmgdtdml則有令很小時(shí)當(dāng)即所以：期求解過(guò)程的誤差情況現(xiàn)在我們來(lái)分析單擺周因此，故有解微分方程得，glTtcctct

7、c22)sin(.sincos22212121開(kāi)方：舍入誤差長(zhǎng)度秒米觀察誤差：展式：由截?cái)嗾`差：點(diǎn)處的摩擦力忽略忽略空氣阻力模型誤差/,*,.4,/8 . 93.! 5! 3sinTaglorsin2o10205300lg誤差的分類n模型誤差模型誤差 從實(shí)際問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.n觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 一般數(shù)學(xué)問(wèn)題包含若干參數(shù),他們是通過(guò)觀測(cè)得到的,受觀測(cè)方式、儀器精度以及外部觀測(cè)條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來(lái)產(chǎn)生的誤差稱為觀測(cè)誤差。n截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 在求解過(guò)程中，往往以近似替代，化繁為簡(jiǎn)，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差。n舍入誤差舍入

8、誤差 在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時(shí)受機(jī)器字長(zhǎng)的限制，一般必須進(jìn)行舍入，此時(shí)產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。誤差和有效數(shù)字。的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差為近似數(shù)和稱的一個(gè)近似數(shù)為準(zhǔn)確數(shù)設(shè)定義*)0()()()(,2 . 2 . 1xxxxexexxxexxr精度的好壞更合理。衡量也稱百分比誤差而用相對(duì)誤差。但無(wú)法衡量精度的好壞比較直觀的精度高低絕對(duì)誤差是做為衡量稱為不足絕對(duì)誤差。時(shí)當(dāng)稱為過(guò)剩絕對(duì)誤差時(shí)當(dāng),0)(;,0)(*xxexe誤差估計(jì)n由于準(zhǔn)確值在一般情況下是未知的，因此絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差常常是無(wú)法計(jì)算的，但有可能給出估計(jì)。誤差界就是用于誤差估計(jì)的。誤差估計(jì)差界。的絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤為近似數(shù)和則稱滿足和若有正數(shù)的一個(gè)

9、近似數(shù)是精確數(shù)設(shè)定義*r*r*| )(| )(|:,2 . 2 . 1xxxxxexxxexxrr有效數(shù)字n在工程上，誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。似數(shù)。具有五位有效數(shù)字的近稱則的近似數(shù)例如3.14161021.00000734. 0.14159265. 31416. 3)(1416. 3.14159265. 3*4*e在計(jì)算機(jī)中表示為：均為有效數(shù)。為有效數(shù)字，且則若設(shè)121321.,1021.,. 010nnnmnmaaaaaaaaxmfa1a2 an位有效數(shù)的近似數(shù)。的具有為則稱的絕對(duì)誤差滿足。如果是整數(shù)且和其中有規(guī)格化形式設(shè)近似數(shù)定義nxxxxxexaaniamaaaaxxnmiinm*1

10、321*1021| )(|90 , 0,.),.,2 , 1(.0103 .2 .1n絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差，有效數(shù)是度量近似數(shù)精度的常用三種。實(shí)際計(jì)算時(shí)最終結(jié)果均以有效數(shù)給出。同時(shí)也就隱含了絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差界。4*10215, 1,4142. 1,2的絕對(duì)誤差界則如xnmxx554*1041044142.11021|)(|rrxxe即而相對(duì)誤差界估計(jì)為函數(shù)值的誤差估計(jì)n引入微分符號(hào)*ln)()(xdxdxxxxxedxxxxer)()(lnln)ln(ln)ln()()()()()(,*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*121xexexdxdxxdxx

11、dxxexexedxdxxxdxxexxxxrrr，則的近似數(shù)設(shè)2*2*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1)()()()()()()()()()()()()(xxexxexxxexexexxexexxexxexexxxxexxxxerrrrrrrr同理得故：)()()()()()()()()()()()(),(*xexfxfxfexexfxxxfxdfxfxffexfxxxfyrr或時(shí)，則誤差為計(jì)算函數(shù)值則代替用近似數(shù)當(dāng)設(shè)函數(shù)定的。是可以控制的，或是穩(wěn)時(shí)，函數(shù)值的誤差這表明當(dāng)時(shí)有當(dāng)若記1, 1)()()()(1, 1|,)()(|,)

12、(|*rrrrrCCxefexefeCCxfxfxCxfC為病態(tài)。稱當(dāng)為良態(tài)；稱當(dāng)。和相對(duì)意義下的條件數(shù)在絕對(duì)意義下為一般分別稱)(1)(1)(,xfCxfCxfCCr例題在正根附近是病態(tài)的即正根為解得由解在正根附近的性態(tài)。討論函數(shù)例)(1201| 12| )100(|100100,1010)(10100)(2 . 2 . 110021*xfxfxxxxfxxxfx。變化，函數(shù)值變化極大也就是自變量發(fā)生微小則取則如：取09.20)9 .99()(, 9 .99200)99()(,99*1*1*1*1fxfxfxfx多元函數(shù)誤差估計(jì))()()()(),.,(),.,()(),.,(),.,(),

13、.,(*1*1*1*21*2*121*2*1*21iniiniiiniiiinnTnTnnxexffexexfxxxfxxxfxxxffexxxxxxxxxxxfy因此絕對(duì)誤差界為其絕對(duì)誤差為代替用對(duì)于多元函數(shù)| )(|)()(| )(|)()()(1*1*niiriirniiriirxexfxxxffexexfxxxffe相對(duì)誤差界（同理相對(duì)誤差為例題。的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差面積試估計(jì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為設(shè)例SABC,)02.060(,)10.0120(,)10.0100(ABC3 .1.2oAmcmb2*57.1018002. 0cos211 . 0sin211 . 0sin21)()()()(sin

14、21mAcbAbAcAeAScecSbebSSeAbcS則由解253*33*10211021| )(|10010. 01010.100:10035. 2sin2157.10|)(| )(|bebAcbsseser則對(duì)誤差界。如出，則知道絕若數(shù)據(jù)以規(guī)格化形式給注意1.3算法的優(yōu)化n算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)n從截?cái)嗾`差觀點(diǎn)看,算法必須是截?cái)嗾`差小,收斂斂速要快。即運(yùn)算量小,機(jī)器用時(shí)少.n從舍入誤差觀點(diǎn)看,舍入誤差在計(jì)算過(guò)程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定.n從實(shí)現(xiàn)算法的觀點(diǎn)看,算法的邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜，便于程序編制和上機(jī)實(shí)現(xiàn).n設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則n要有數(shù)值要穩(wěn)定性,即能控制誤差的傳播.n避免大數(shù)吃小數(shù),即

15、兩數(shù)相加時(shí),防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上.n避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失.n避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢出.例題.1)1(.312112ln1.)1(.32)1ln(解2ln例1.3.11132nxnxxxxxTaylornnn有令展式有算法一：由的值。計(jì)算慢。顯然項(xiàng)數(shù)大，收斂速度時(shí)，則若要收斂。所以且由級(jí)數(shù)判別，交錯(cuò)級(jí)數(shù)55102102111|2ln0limnnann得：并取則令則而由于算法二1031211.)12.531(211ln)1ln()1ln(.)1(.32)1ln(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnn

16、nn差距很大。，計(jì)算精度及速度兩種算法，同樣計(jì)算其截?cái)嗾`差為2ln109123112191119123132.)9125191231(32)31(211.3151311 (322ln12101112112042T。則時(shí)同理若要算法一：由定積分解的值。計(jì)算圓周率例55110210,1021121|.121)1(.513111142 .3 .1nnndxxn141568627. 34785392156. 0)1 ()43(4)21(4)0(611)(,2122*22SffffhSsimpsonxxfhn所以公式有的，算法二：取算法二表明,僅用不多的五次函數(shù)值的計(jì)算,已獲得的具有五位有效數(shù)字的近似值

17、。,.2 , 11|555,.)1 , 0(5例1.3.310101101110nnnxdxxdxxxxIIndxxxInnnnnnnn解：由于計(jì)算定積分計(jì)算如下：得遞推公式18232155. 056ln,.2 , 15101InInInnn InnIn0 0.1823215590.0170566241 0.088392216100.0147168762 0.058039818110.0173247103 0.04313874212-0.0032902194 0.03430628713-0.0933741725 0.02846856014-0.3954422906 0.024323864152.0438781007 0.02123782016-10.156890008 0.0188108971750.84327600錯(cuò)。的絕對(duì)值