第七節(jié)旋轉(zhuǎn)體的體積計算

1、第七節(jié)第七節(jié) 旋轉(zhuǎn)體的體積計算旋轉(zhuǎn)體的體積計算 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體的體積；的體積； 2.平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積.教學(xué)要求教學(xué)要求 熟練掌握應(yīng)用元素法求體積的方法。熟練掌握應(yīng)用元素法求體積的方法。 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積,bax dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy badxy2 取積分變量為取積分變量為 x

2、xyo)(yx cddyy2)( dcV dcdyx2 例例1. 求由曲線求由曲線 ,直線直線x = 1及及x軸所圍成的平面圖形軸所圍成的平面圖形 xy 解解 102)(dxxVx繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 10 xdx1022x xy oyx由旋轉(zhuǎn)體的體積公式由旋轉(zhuǎn)體的體積公式,得得如圖如圖, 選選x為積分變量為積分變量2 例例2. 求由曲線求由曲線 ,直線直線y = 1及及y軸所圍成的圖形軸所圍成的圖形 yx42 解解 20222)4(21dxxVx分別繞分別繞 x 軸軸, y 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 204

3、162dyx繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)體的體積,如圖如圖,選選x為積分變量為積分變量xy42 oyx1)1,2(2055162x 58 繞繞 y軸旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)體的體積, 選選y為積分變量為積分變量 102)4(dyyVy 104ydy10224y 2求星形線求星形線繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解,323232xay 332322 xay,aax 由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，知：由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，知： dxxfVaa2)( .105323a dxxaaa33232 )0(323232 aayxyxo-aad 4例例4例例5yxOa-aCDAbByAMd sd x體積

4、微元體積微元 解解dyyxdyyxdV2221)()( 右半圓弧方程為右半圓弧方程為221)(yabyxx 左半圓弧方程為左半圓弧方程為222)(yabyxx dyyabyabaa)()(222222 aadyyab224 dyyaba 0228 222 ba dyxxVaa)(2221 環(huán)體體積為環(huán)體體積為dyyxyx)()(2221 2.平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)一立體位于設(shè)一立體位于 過點(diǎn)過點(diǎn)x=a, x=b 且垂直于且垂直于 x 軸的兩平面之間，軸的兩平面之間，,)(dxxA .)( badxxAV 從而從而用垂直于用垂直于 x 軸的任一平面截軸的任

5、一平面截此立體所得的截面積此立體所得的截面積 A(x) 是是 x 的已知函數(shù)，的已知函數(shù)，)(xAx取取 x 為積分變量，在區(qū)間為積分變量，在區(qū)間 a, b 上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間過其端點(diǎn)作垂直過其端點(diǎn)作垂直 x 軸的平面，軸的平面，)(xAxx+dx作體積微元：作體積微元：)(xAxx+dxxoaby.V求求這這個個立立體體的的體體積積dV體體積積微微元元為為x , x+dx ，以以A(x) 為底，為底，dx 為高作柱體，為高作柱體，用微元法：用微元法：xoy解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底半圓方程為底半圓方程為22xRy 截面面積截面面積)(xA立體體積立體體積V.tan323 R2

6、22Ryx RR tan)(2122xR tan21yydxxRRR tan)(2122 RRdxxA)(例例6 xdxx xyo)(xfy dxxfVba2)( badxy2 xyo)(yx cddyy2)( dcV dcdyx2 小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè):P118. 1(1)(3)，2., 12222積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體繞繞求求由由橢橢圓圓xbyax 解解)(22222xaaby 上上半半橢橢圓圓的的方方程程為為：dxyVaa 2 由由公公式式知知：dxxaabaa)(2222 .342ab .34)(22222badyybbaVybb 體體積積為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的同同理理得得橢橢圓圓繞繞練習(xí)練習(xí)求擺線求擺線的一拱與的一拱與0=y所圍成的所圍成的x 軸軸 旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解dxyVax220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a oyxa 2 2022)sin()cos1(ttadta )cos1()sin(tayttax圖形繞圖形繞練習(xí)練習(xí)oxy所所圍圍成成的的圖圖形形為為底底，及及求求以以拋拋物物線