第二十二章 二次根式

1、第二十二章 二次根式l 應(yīng)知一、基本概念二次根式：一般形如（a0）的代數(shù)式叫做二次根式。a是一個(gè)非負(fù)數(shù)（a0）?！咀⒁狻勘硎綼的算術(shù)平方根。 a可以是數(shù),也可以是式。形式上含有二次根號。a0, 0 ( 雙重非負(fù)性)。既可表示開方運(yùn)算,也可表示運(yùn)算的結(jié)果。最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母，并且被開方數(shù)中所有因式的冪的指數(shù)都小于2，這樣的二次根式叫最簡二次根式?！咀⒁狻勘婚_方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；式子的分母中不含分式。同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。二、基本法則1. 二次根式的性質(zhì)： a0 ; 0 (雙重非

2、負(fù)性 )。 ()2=a （a0）(任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式)?！咀⒁狻縜0時(shí)，=a；a<0時(shí)，a. ( )2與的區(qū)別：(1)從運(yùn)算順序來看，()2先開方，后平方； 先平方，后開方。(2)從取值范圍來看，()2 a0； a取任何實(shí)數(shù)。(3)從運(yùn)算結(jié)果來看：()2 =a, (a 0)； 2. 二次根式的判斷二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或03. 求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開方數(shù)不小于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。4. 化簡二次根式的步驟：將被開方數(shù)盡可能分解成幾個(gè)平方數(shù).應(yīng)用=·將平方項(xiàng)應(yīng)用 = /a/ 化

3、簡。5. 化簡二次根式的方法：（1）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式時(shí)，先因數(shù)分解或因式分解,然后利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì),將式子化簡。（2）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式時(shí),先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì),將其變?yōu)槎胃较喑男问?然后利用分母有理化,將式子化簡?！咀⒁狻吭诤卸胃降氖阶拥幕喖扒笾档葐栴}中，常運(yùn)用三個(gè)可逆的式子： ； .例如，化簡，可以用3種方法：直接約分：分母有理化：看作二次根式的除法：不一定能化成當(dāng)a0時(shí)，=；當(dāng)a0時(shí)，例如，；同理，.但，因?yàn)闊o意義。所以6. 二次根式運(yùn)算。乘法：算術(shù)平方根的積等于各個(gè)被開方數(shù)積的算術(shù)平方根。即： ·（a0，b0）【注意】最后結(jié)果用()2

4、a（a0）進(jìn)行化簡。=·（a0，b0）當(dāng)a與b同時(shí)為負(fù)值時(shí)，可化為正值形式。如：除法：兩個(gè)二次根式相除，等于把被開方數(shù)相除，作為商的被開方數(shù)。即：=（a0，b>0）【注意】 =（a0，b>0）二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算，有時(shí)可以約分，有時(shí)可以利用公式，運(yùn)算的結(jié)果都要化成最簡二次根式。加減法：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并(二次根式的加減類似于合并同類項(xiàng)的運(yùn)算)。二次根式加減運(yùn)算的步驟：(1)將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；(2)將相同的最簡二次根式(即同類二次根式)進(jìn)行合并

5、【注意】 進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算時(shí)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的化成最簡二次根式。 不是同類二次根式的二次根式(如與)不能合并。提醒：二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律。(4)二次根式混合運(yùn)算：二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。l 應(yīng)會1. 判斷二次根式。2. 化簡二次根式。l 課外知識(2007年華東師大版教材未編入)1. 互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個(gè)二次根式的乘積可以運(yùn)用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時(shí)它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如x+1-與x+1+就是互為有理化因式；與也是互為有理化因式2. 分母有理化是指把

6、分母中的根號化去，通常在分子、分母上同乘以一個(gè)二次根式，達(dá)到化去分母中的根號的目的分母有理化有時(shí)還可以通過約分來進(jìn)行。l 例題1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x>0）、-、（x0，y0）2. 當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？3. 當(dāng)x是多少時(shí)，(1)+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？4. 填空：當(dāng)a0時(shí)，=_；當(dāng)a<0時(shí)，=_，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題 （1）若=a，則a可以是什么數(shù)？ （2）若=-a，則a可以是什么數(shù)？ （3）>a，則a可以是什么數(shù)？5. 已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值6. 已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的

7、值7.已知=，a+b=1，則ab=_8. 若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）9. 如圖所示的RtABC中，B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)問：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）l 參考答案觀察與分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或01. 解：二次根式有：、（x>0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、觀察與分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一

8、定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意義2.解：由3x-10，得：x當(dāng)x時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義觀察與分析：要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足中的0和中的x+103. 解：依題意，得 由得：x- 由得：x-1 當(dāng)x-且x-1時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義觀察與分析：=a（a0），要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（ ）2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)a0時(shí)，=，那么-a0（1）根據(jù)結(jié)論求條件；（2）根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知=a，而a要大于a，只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0 4.解：（1）因?yàn)?a，所以a0； （2）因?yàn)?-a，所以a

9、0； （3）因?yàn)楫?dāng)a0時(shí)=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0綜上，a<0觀察與分析：式子=，只有a0，b>0時(shí)才能成立因此得到9-x0且x-6>0，即6<x9，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=85. 解：由題意得，即 6<x9 x為偶數(shù) x=8 原式=（1+x） =（1+x） =（1+x）= 當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=6觀察與分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值6. 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6=觀察與分析：將已知等式兩邊分別平方，可求得，進(jìn)而求得，再通過求得的值。7. 解：已知=，a+b=1，則 ， 觀察與分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實(shí)上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b8. 解：首先把根式化為最簡二次根式： =|b|· 由題意得 a=1