高等數(shù)學(xué)教學(xué)參考資料

1、第一章 函數(shù)與極限1.1 本章的教學(xué)目的1熟練掌握函數(shù)的定義、表示法掌握函數(shù)的四大性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性；2熟練掌握復(fù)合函數(shù)的定義，能正確地分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程；3熟練掌握基本初等函數(shù)的種類及其性質(zhì)特征；4理解初等函數(shù)的定義，能建立簡單實(shí)際問題中變量的函數(shù)關(guān)系5了解數(shù)列極限的概念，掌握函數(shù)極限的概念，會求函數(shù)極限；6掌握無窮小、無窮大的定義及性質(zhì)，能進(jìn)行無窮小的比較并能熟練掌握等價無窮小替換求函數(shù)極限7掌握函數(shù)連續(xù)的概念，認(rèn)識連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；8會求函數(shù)的間斷點(diǎn)以及能夠判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型1.2 主要內(nèi)容1.2.1 函數(shù)的概念1函數(shù)的定義函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的基本對象，其中函數(shù)的定

2、義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的兩個要素，只有定義域和對應(yīng)法則確定了，函數(shù)才能完全確定（1）函數(shù)的定義域是函數(shù)概念的重要因素，是由使式子有意義的自變量的取值范圍確定，而在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域根據(jù)問題的實(shí)際意義確定（2）兩個函數(shù)只有定義域和對應(yīng)法則都相同時才能說是同一函數(shù)2函數(shù)的簡單性質(zhì)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性是函數(shù)的主要特征，它們不僅可以直觀表現(xiàn)函數(shù)的形態(tài)，而且也是進(jìn)一步研究函數(shù)所不可缺少的工具（1）函數(shù)奇偶性的討論是就定義域?yàn)閷ΨQ區(qū)間而言的，離開這個條件無從談函數(shù)的奇偶性特別地，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)是一個奇函數(shù)（2）由函數(shù)的有界性我們有，從圖像上來看，有界函數(shù)的圖像完全落在以直線及

3、為邊的帶形區(qū)域內(nèi)1 / 1113. 初等函數(shù)（1）在高等數(shù)學(xué)和工程技術(shù)中的研究中最常見的函數(shù)是初等函數(shù)，初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合并能夠用一個式子表示的函數(shù)，初等函數(shù)的定義雖未包含乘方和開方運(yùn)算，但通過冪函數(shù)的復(fù)合，也可以包含這兩種運(yùn)算因此基本初等函數(shù)顯得尤其重要，特別是由圖形來牢固記憶它們的定義域和性質(zhì)是我們學(xué)習(xí)這部分的關(guān)鍵（2）復(fù)合函數(shù)的學(xué)習(xí)關(guān)鍵是要把一個復(fù)雜的函數(shù)在引入中間變量后分成幾個簡單函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的分解步驟是由運(yùn)算的最外層起逐層往里分解，并要求分解到不能再分解，其分解的結(jié)果是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)與常數(shù)的四則運(yùn)算1.2.2 函數(shù)的極限極限是微

4、積分最重要的基本概念之一微積分的許多概念都是用極限表述的，一些重要的性質(zhì)和運(yùn)算法則也是通過極限方法推導(dǎo)出來的1.極限思想與極限的定義極限的概念反映了函數(shù)在自變量某一變化過程中，因變量的某種一致的變化趨勢，極限是高等數(shù)學(xué)的基本概念，極限方法是高等數(shù)學(xué)研究問題的根本方法，也是研究微積分的重要工具極限的定義本教材采用的是描述性定義，沒有采用分析定義（定義）；特別，數(shù)列即整序變量，又稱整標(biāo)函數(shù)，所以數(shù)列極限可看做函數(shù)極限的特殊情況2.極限運(yùn)算（1）極限的四則運(yùn)算法則必須注意法則運(yùn)用的前提條件，即和，只要有一個不存在都不能使用，否則會出現(xiàn)錯誤，如，錯在時，上式兩項(xiàng)極限均為無窮大，極限不存在，所以不能用差

5、的運(yùn)算（2）求極限的方法 求極限的題型比較靈活，方法較多，現(xiàn)將常用的方法歸納如下：利用極限的四則運(yùn)算法則求解；利用分子、分母的有理化求解；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小的結(jié)論求解；利用三角恒等變化求解；利用兩個重要極限求解；利用等價無窮小替代法求解；利用函數(shù)連續(xù)性求解1.2.3 無窮小量1.無窮小的定義（1）無窮小即是極限為的函數(shù)，一個函數(shù)是否為無窮小是與自變量的變化趨勢相聯(lián)系的，即說一個函數(shù)是無窮小，必須指出自變量的變化趨勢；不要把無窮小與很小的數(shù)相混淆，如雖然是很小的數(shù)，但其極限還是它本身，并不是零，在常數(shù)中，可做為無窮小的唯一一個數(shù)就只有零（2）在利用無窮小的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時，務(wù)必注意

6、“有限個”這個條件，否則會出現(xiàn)計(jì)算錯誤（3）無窮小與函數(shù)極限之間有如下重要關(guān)系：的充要條件是，其中為當(dāng)時的無窮小量，即與相互等價，這種相互轉(zhuǎn)換在后面學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和建立微分概念時要用到，因此對這個重要關(guān)系應(yīng)該有所了解2.等價無窮小的應(yīng)用不同的無窮小趨于零的快慢程度不一樣，在極限的求解中我們用得較多的是等價無窮小的替換，在具體應(yīng)用中要注意：（1）自變量的同一變化趨勢；（2）求函數(shù)極限時，只有乘除關(guān)系才能替換；（3）當(dāng)時，幾個常用的等價無窮小為 ； ； ； ； ； ； ； 1.2.4 函數(shù)的連續(xù)性與間斷1連續(xù)函數(shù)的概念微積分研究的對象是函數(shù)，我們所遇到的函數(shù)常常是連續(xù)或分段連續(xù)的，從圖像上來看連

7、續(xù)曲線的函數(shù)就是連續(xù)函數(shù)，判斷函數(shù)的連續(xù)性與函數(shù)的微分和積分有重要的聯(lián)系，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有許多重要的性質(zhì)，所以正確理解函數(shù)的連續(xù)性定義至關(guān)重要函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)有兩種等價的形式：等價于，這兩種形式表達(dá)同一個概念，但在應(yīng)用中，第一種多用在討論、判斷函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性（間斷）第二種多用在證明函數(shù)的連續(xù)性和一些理論推導(dǎo)2. 函數(shù)連續(xù)性判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)和極限是不同的，在一點(diǎn)的極限只考慮該點(diǎn)附近的變化情況，與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義無關(guān)；而在一點(diǎn)的連續(xù)，不僅要考慮在該點(diǎn)的變化情況，而且要考慮函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值是否存在函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)要滿足三個條件才是連續(xù)的，否則間斷，根據(jù)情況的不同可得到函數(shù)的間斷的判

8、定：即第一類間斷點(diǎn)（極限存在）和第二類間斷點(diǎn)（函數(shù)左右極限至少一個不存在）初等函數(shù)在其定義域都是連續(xù)函數(shù)，因此，初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是該函數(shù)的定義域區(qū)間，間斷點(diǎn)一定不在定義區(qū)間內(nèi)：分段函數(shù)不是初等函數(shù)，一般來說，分段函數(shù)一般在分段點(diǎn)處討論其連續(xù)性1.3 主要公式1. 極限與連續(xù) ，：，1.4 本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)1 函數(shù)的定義，基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的概念，復(fù)合函數(shù)復(fù)合過程的與分解，初等函數(shù)的概念2理解極限的概念，掌握幾種基本的極限計(jì)算方法，掌握運(yùn)用兩個重要極限進(jìn)行極限的計(jì)算，會用無窮小的性質(zhì)求極限；3理解函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的分類，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理和介值定

9、理1.5 典型例題與習(xí)題分析例1 求函數(shù)的定義域分析 該函數(shù)是個解析式函數(shù)，由三項(xiàng)組成，它的定義域是這三項(xiàng)定義域的公共部分，即三項(xiàng)有意義的“交”解 要使函數(shù)有意義，要滿足下列不等式組解得 所以，函數(shù)的定義域?yàn)槔? 分析函數(shù)的分解分析 由函數(shù)錯誤！鏈接無效。的代值計(jì)算過程，即先計(jì)算，而后計(jì)算，最后計(jì)算所以，由復(fù)合函數(shù)的分解與代值計(jì)算步驟相同，順序相反的關(guān)系得到函數(shù)的分解為：，例3 求下列函數(shù)極限（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 解（1）本題直接利用極限的四則運(yùn)算法則求解和函數(shù)連續(xù)性定義求解所以 原式解（2） 本題為型，一般可用分母的最高次冪去除分子、分母的各項(xiàng)，進(jìn)行

10、變形，然后利用四則運(yùn)算法則求解，另可直接利用公式求解所以 原式解（3） 本題為無理分式的極限，一般利用分子、分母的有理化求解所以 原式解（4） 本題是型，包括對型不定式，一般不能直接用極限的減法和乘法運(yùn)算，而是先設(shè)法化為型或型再求解所以 原式解（5） 錯解 ，沒注意也應(yīng)換成，所以不能用第一重要極限，而應(yīng)該用有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小的結(jié)論求解所以，原式解（6） 本題為經(jīng)三角恒等變形后使用第一重要極限求解原式解（7） 本題為型，變形后可考慮使用第二重要極限求解原式解（8） 本題型利用等價無窮小替代法求解所以 原式注 在利用等價無窮小替代法求解時，必須注意只能對乘除的因子進(jìn)行，不能對加減進(jìn)行，

11、例如下面的計(jì)算是錯誤的，正確的解法是三角變換后變成乘積再利用無窮小替換例4 設(shè)函數(shù)，求（1）函數(shù)的定義域；（2）求間斷點(diǎn)，并說明類型；（3）求連續(xù)區(qū)間解 （1）的定義域是（2）該函數(shù)是分段函數(shù)，討論分界點(diǎn)和對，有，而，從而有，因此，函數(shù)在點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn)對，有，而，從而有，因此，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)（3）函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.1 本章的教學(xué)目的 1熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義、表示法2. 熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，進(jìn)而能熟練求初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)3掌握隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法4會求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)5. 掌握微分的定義及計(jì)算6 理解可導(dǎo)與連續(xù)

12、的關(guān)系，可導(dǎo)與可微的關(guān)系7掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的概念解決簡單的實(shí)際問題2.2 主要內(nèi)容2.2.1 基本概念1導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時的極限存在，則稱函數(shù)在處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)記為,即 ，可記作 ,或. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：平面曲線在曲線上一點(diǎn)處的切線方程、法線方程求法2 微分的定義微分的定義 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,及在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴于的常數(shù),而是比高階的無窮小量，則稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分,記作,即2.2

13、.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式（見下面的主要公式）（1） （2） （3），（且） 特別地 （4） ，（且） 特別地 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14）2 函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)公式設(shè)都是的可導(dǎo)函數(shù)，則定理 設(shè)函數(shù)都在處可導(dǎo)，則在處也可導(dǎo)，且證：當(dāng)取得增量時，函數(shù)分別取得改變量，于是函數(shù)取得相應(yīng)的增量 則所以，定理 設(shè)函數(shù)都在處可導(dǎo)，則在處也可導(dǎo)，且證 當(dāng)取得增量 時，對應(yīng)的函數(shù)值的增量為，則 可推廣到多個函數(shù)的乘積的求導(dǎo)：定理 設(shè)函數(shù)都在處可導(dǎo)且，則在處也可導(dǎo)，且證 由定義3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理 設(shè)函數(shù)，即是的復(fù)合函數(shù)若在點(diǎn)處可

14、導(dǎo)，在對應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在可導(dǎo)，且證 設(shè)取得增量，則取得相應(yīng)的改變量，從而取得相應(yīng)的改變量，則 ， 當(dāng)時，有由可導(dǎo)，知其連續(xù)，所以，當(dāng)時，則 所以 可以推廣到多層復(fù)合的情形：設(shè)，這是一個三層復(fù)合函數(shù)，其求導(dǎo)法則：此即復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t4反函數(shù)的求導(dǎo) *定理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)非零，且其反函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù)，則存在，且 或證 當(dāng)?shù)姆春瘮?shù)的自變量取得改變量時，因變量取得相應(yīng)的改變量，當(dāng)時，必有，否則將和是一一對應(yīng)的（這是反函數(shù)存在性所要求的）相矛盾因此，當(dāng)時，有 又因在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù)，所以當(dāng)時，于是，由上式及，可得例 求 的導(dǎo)數(shù)解 的反函數(shù)為 而注意到所以 同理 事實(shí)上，關(guān)于反函數(shù)的求導(dǎo)，可以先

15、反解出，得到關(guān)于的函數(shù)，然后就關(guān)于求導(dǎo)，得到關(guān)于的表達(dá)式，然后再把關(guān)于的表達(dá)式代入，取倒數(shù)，即可得到關(guān)于的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式5高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)本身也是一個函數(shù)，那么，導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是二階導(dǎo)數(shù)，即， 類似地，可定義的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的階導(dǎo)數(shù)，記作，或即6隱函數(shù)的求導(dǎo)與參數(shù)方程的求導(dǎo)由方程所確定是的函數(shù)，稱為隱函數(shù)如果函數(shù)可導(dǎo)，則可利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求出隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)一般地，參數(shù)方程表示為： 則 7函數(shù)微分.函數(shù)的微分函數(shù)在點(diǎn)處可微與可導(dǎo)是等價的,即可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)此外，無論是自變量還是中間變量，微分形式都保持不變，微分的這一性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性*利用微分進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)很小時，有兩個近似計(jì)算

16、公式：（1）（2）因此可以利用容易計(jì)算的和來近似計(jì)算不易計(jì)算的函數(shù)改變量和2.3 本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：1理解導(dǎo)數(shù)的定義：是微商，的極限2基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則3函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則5理解可微與可導(dǎo)之間的等價關(guān)系6初等函數(shù)的微分運(yùn)算難點(diǎn)：1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵是要讓學(xué)生弄清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，然后逐層求導(dǎo) 2隱函數(shù)的求導(dǎo)法則對隱函數(shù)所確定的是的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可求出隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)；關(guān)鍵是要讓學(xué)生理解是關(guān)于的函數(shù)，所以在對的表達(dá)式求導(dǎo)時，記得還要對關(guān)于求導(dǎo)，得到關(guān)于、及的關(guān)系式，然后解出*3 冪指函數(shù)的求導(dǎo)若，則2.4 典型例題與習(xí)題分析例1 討論函數(shù)在處的連續(xù)性與

17、可導(dǎo)性解 在處，因?yàn)?所以 在處連續(xù)又 不存在故 在不可導(dǎo)還可引導(dǎo)學(xué)生用類似的方法討論函數(shù)；在的連續(xù)性與可導(dǎo)性例2 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解 強(qiáng)調(diào)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，避免學(xué)生犯這樣的錯誤：例3 求曲線平行于直線的切線方程解 設(shè)切點(diǎn)為則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為則因?yàn)榍芯€平行于直線,所以，所求的切線方程為 例4 函數(shù) 求解 首先注意函數(shù)是與的乘積求時先用積的求導(dǎo)法則在求 、時用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t =例5 設(shè) 求解 在等式兩邊取絕對值后再取對數(shù)，有l(wèi)n兩邊對求導(dǎo)，有所以 例6設(shè)，求解 分析：是冪指函數(shù)，冪指函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)的求導(dǎo)法則；一定要取對數(shù)但是如果直接對兩端取對數(shù)，注意 正確的做法是

18、：令 再對函數(shù)等式兩邊取對數(shù)，有兩端對求導(dǎo)有 于是 所以 例7 設(shè)，求解 ，一般地，有例8 函數(shù),求解 由于 ， (1)，例9 求擺線 (為常數(shù))在時的切線方程解 擺線上的點(diǎn)為，又故擺線在處的切線斜率，所求的切線方程為，即 例10 設(shè)炮彈從地平線上某點(diǎn)射出時，初速的大小為，方向與地平線成角，如果不計(jì)空氣阻力，求：(1) 炮彈在時刻的速度；(2) 如果中彈點(diǎn)A也在地平線上，求炮彈的射程解 以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為軸，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)時刻炮彈所在位置為，則， (1) 炮彈的運(yùn)動是變速的曲線運(yùn)動，它在時刻的速度可由水平分速度表示為：，垂直分速度表示為：因此炮彈在時刻t的速度大小速度的方向(與軸的夾

19、角記為)滿足(2) 中彈點(diǎn)A在軸上，即，解此方程得中彈點(diǎn)A對應(yīng)的時刻射程*利用微分進(jìn)行近似計(jì)算由微分的定義知，當(dāng)很小時，有，所以，我們可得到兩個近似計(jì)算公式：（1） 近似地求函數(shù)值的增量（2） 近似地求函數(shù)值例11 計(jì)算的近似值解 這里，令，將取為1，而將取為（比較小），利用近似計(jì)算公式，有2 例12 計(jì)算的近似值解 因?yàn)?的絕對值很小所以 常用的近似計(jì)算公式當(dāng)很小時，有(1) ; (2) （以弧度為單位)；(3) ; (4) （以弧度為單位)；例13 半徑為的金屬圓片加熱后，半徑增加了，問面積大約增大了多少？ 解 設(shè)圓片的面積為，半徑為，則當(dāng)自變量在處有改變量時，面積的改變數(shù)量為，有 所以面

20、積大約增長了第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 本章的教學(xué)目的1掌握用洛比達(dá)法則求極限的基本方法，即未定型“”、 “”、 “”、 “”的極限求法2掌握羅爾定理和拉格郎日中值定理的條件、結(jié)論；3掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、極值、拐點(diǎn)的求法；了解函數(shù)草圖的描繪4掌握函數(shù)最值的求法并能解決一般的應(yīng)用問題（涉及到物理、力學(xué)及其它學(xué)科知識的問題不作為重點(diǎn)）；3.2 主要內(nèi)容3.2.1 洛比達(dá)法則洛必達(dá)法則（求極限）設(shè) (1) 設(shè)函數(shù)，滿足；(2) 在的某個空心鄰域內(nèi)，都存在，且； (3) (A可為有限數(shù)也可為無窮大) 用洛必達(dá)法則求一些“”的極限比過去的方法簡便得多，但需要注意以下幾點(diǎn)： 1該定理對于x時的“”

21、仍然成立；2對于兩個無窮大的比的極限“”，有完全類似于的洛必達(dá)法則； 3用洛必達(dá)法則時必須是“”， “”兩種未定式的一種；不是未定式的極限決不能用洛必達(dá)法則4使用一次洛必達(dá)法則后仍是不定式時，可連續(xù)使用洛必達(dá)法則，但連續(xù)使用前應(yīng)注意化簡極限的式子，若式中有極限值為非零常數(shù)的因式，則可先行求出；5與其它求極限的方法綜合運(yùn)用（如等價無窮小的替換），注意選擇簡便的解法； 6洛必達(dá)法則的條件是充分而不必要的條件，若不存在時，不能斷定不存在，這時應(yīng)使用其它方法求解3.2.2 兩個中值定理(羅爾定理) 若函數(shù)滿足： (1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) 則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得(拉格朗

22、日定理) 函數(shù)滿足： （1）在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使 拉格朗日中值定理的結(jié)論也可寫作： 拉格郎日中值定理是羅爾中值定理的推廣，而羅爾定理卻可看成拉格郎日中值定理的特例并且拉格郎日中值定理可在構(gòu)造一個輔助函數(shù)的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)化成羅爾中值定理得到證明其證明如下：*證 作輔助函數(shù) ，由定理的條件和一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在閉區(qū)間上滿足羅爾定理的條件(1)、(2)又 ,由羅爾定理，在內(nèi)至少有一點(diǎn)使 推論1 若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)，則在該區(qū)間上是一個常數(shù)推論2若在開區(qū)間內(nèi)，則在該區(qū)間上有3.2.3 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值、最值，凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)1利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極

23、值設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1) 若當(dāng)時，恒有，則函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增加；(2) 若當(dāng)時，恒有，則函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)減少極值點(diǎn)即是函數(shù)單調(diào)遞增與單調(diào)遞減的分界點(diǎn)如果函數(shù)在某個區(qū)間是單調(diào)的，則在該區(qū)間上函數(shù)無極值；一般地：一個函數(shù)在區(qū)間可以有多個極值，極值是極值點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，極大值與極小值之間沒有可比性極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，而駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)則不一定是極值點(diǎn)極值存在的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且，則(1) 若當(dāng) 時，；當(dāng) 時，則函數(shù)在處取得極大值；(2) 若當(dāng) 時，；當(dāng) 時，則函數(shù)在處取得極小值注意：不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，需看該點(diǎn)左、右兩端一階導(dǎo)數(shù)

24、的符號是否異號而定極值存在的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，則(1) 當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值；(2) 當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值有時第二充分條件在應(yīng)用時比第一充分條件簡便，但它應(yīng)用時有相當(dāng)?shù)木窒扌? 利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果對于任意，有(1) ，則函數(shù)在閉區(qū)間上是凹的；(2) ，則函數(shù)在閉區(qū)間上是凸的凹與凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)，且，則（）一定是函數(shù)的拐點(diǎn)3求函數(shù)的最值及最值的一般應(yīng)用函數(shù)的最值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、或區(qū)間的端點(diǎn)比較這些點(diǎn)處的函數(shù)值即可得到最大值和最小值3.3 本章的重點(diǎn)和

25、難點(diǎn)重點(diǎn)： 利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值正確理解極值的定義，以及極值存在的必要不充分條件：若可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值，則一定有正確應(yīng)用極值存在的第一、第二充分條件求函數(shù)的極值難點(diǎn)：兩個中值定理的條件及結(jié)論，利用拉格郎日中值定理證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式3.4 典型例題與習(xí)題分析例1 求極限這是一個型的未定型，必須先通過恒等變形，變?yōu)椤啊毙突颉啊毙停儆寐灞剡_(dá)法則求解解型 例2 求極限分析：“”未定型一定是先作變換：通分解 例3 求極限解 這是一個“”型未定型故 例4 證明：當(dāng)時，證 設(shè)，則 在上連續(xù)且；在內(nèi)，所以函數(shù)在單調(diào)增加，故時，從而 在以上的證明中是對不等式作同解變形，使一端

26、為零、另一端設(shè)為輔助函數(shù)，利用輔助函數(shù)在上的單調(diào)性證明了不等式例5 對任意的，證明：分析利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明某些不等式，但如果所設(shè)的函數(shù)在討論的區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性時，可考慮用函數(shù)的最值來證明證設(shè)=,任意，有令,得唯一的實(shí)根， 又，所以函數(shù)在處取得極小值，也是最小值 因此對任意的，有0，即 例6 證明：當(dāng)時，證 設(shè)，則對任意的，在閉區(qū)間上滿足拉格郎日中值定理的條件，且因此，其中由于，因此從上式可得 于是例7 對某廠上午班(8001200)工人的工作效率的研究表明，一個中等技術(shù)水平的工人早上點(diǎn)開始工作，小時后共生產(chǎn) 個產(chǎn)品，問在早上幾點(diǎn)鐘這個工人工作效率最高? 解 這個工人的工作效率就是生產(chǎn)的

27、產(chǎn)品率，即的導(dǎo)數(shù)設(shè)，則這個工人工作效率最高的時間(上班以后的工作時間)即函數(shù)的最大值點(diǎn)由于 令 得 比較在端點(diǎn)、駐點(diǎn)（沒有不可導(dǎo)點(diǎn)）的函數(shù)值，有 所以當(dāng)，即上午點(diǎn)這個工人的工作效率最高 例8 求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解 (1) 函數(shù)的定義域?yàn)椋?2) ， 令 ，得；為不存在的點(diǎn)； （3）列表 不存在+由上表可見：區(qū)間，是曲線的凸區(qū)間，區(qū)間是曲線的凹區(qū)間；點(diǎn)，是曲線的兩個拐點(diǎn)第四章 不定積分4.1 本章的教學(xué)目的1理解原函數(shù)，不定積分的概念與不定積分的性質(zhì).2熟悉不定積分的基本公式.3熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法.4.2 主要內(nèi)容1不定積分的基本概念原函數(shù)的概念：是的原函數(shù)，即或.2不

28、定積分的基本性質(zhì)與基本積分公式不定積分的基本性質(zhì)（1）設(shè)是不為零的常數(shù)，則；（2）；（3），；（4），.基本積分公式（1）；（2） （），；（3） （，），；（4），；，；，；（5）（或）， ；（6）（）， ；（7）（或）.4.3 求不定積分的方法湊微分法（第一換元積分法）和分部積分法分部積分法， 可用分部積分法的常見類型（1）；（2）；（3）；（4）.（為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)）換元積分法（第二換元積分法）二次根式的三角函數(shù)代換如表4-1所示.表4-1 二次根式的三角函數(shù)代換根式形式選擇的代換三角形表示圖或令，或或令，或令，不能用初等函數(shù)表示的不定積分；常見的幾個不能用初等函數(shù)表示的不定積分：， ，

29、 4.4 本章教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：不定積分性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法，分部積分法.2教學(xué)難點(diǎn)：換元積分法，分部積分法4.5 典型例題與習(xí)題分析例1 若，則 .分析：在積分號內(nèi)，只要對等式兩邊求導(dǎo)，積分號就去掉了.解 等式兩邊對求導(dǎo)，得從而. 例2 已知一條曲線上任意點(diǎn)處切線的斜率與該點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比，又知曲線過點(diǎn)（2，4），并在該點(diǎn)處的切線的傾角為，求該曲線方程.分析：這是由已知切線求曲線方程的問題，與已知曲線求切線方程相反.設(shè)曲線方程為，由題設(shè)知，由傾角可以求出，對方程兩邊積分求出，再根據(jù)曲線所通過的點(diǎn)確定常數(shù).解 設(shè)曲線方程，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，比例常數(shù)為，從而.由于，故，從而又曲

30、線過點(diǎn)（2，4），即，得.所以曲線方程為. 例3 求分析：把湊成，利用冪函數(shù)的積分公式求解.解 例4 計(jì)算不定積分分析：這是指數(shù)函數(shù)的積分，先化簡，再直接用公式.解 原式 例5 求分析：用分部積分法，選，解 例6 設(shè)，求和解 則：，例7 計(jì)算定積分解 .注：對更一般的形式有 .當(dāng)時，.也就是說，對任意的實(shí)數(shù)，很容易求出的原函數(shù).例8 求解 分部積分得 例9 求下列積分分析：本題選擇或與湊成微分都是一樣的，但是用一次分部積分都不能求出，不過可以經(jīng)過兩次分部積分，得到關(guān)于的一個函數(shù)方程，從中可以解出，值得注意的是兩次分部積分，的選擇要一致.解 ，將移項(xiàng)，故. 注：本題的一般形式為或.所用方法與本題

31、一樣，都是通過方程來求.請讀者自己計(jì)算. 第五章 定積分5.1 本章的教學(xué)目的1了解定積分的定義，函數(shù)在上可積的充分條件2掌握定積分的性質(zhì)，理解定積分中值定理3掌握積分上限函數(shù)的求導(dǎo)方法及其應(yīng)用4熟練掌握微積分公式、定積分的換元積分法及分部積分法5掌握用定積分計(jì)算平面圖形的面積和求旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算公式5.2 主要內(nèi)容1定積分的概念與性質(zhì)在上的定積分；1 分割； 2 近似地代替；3 求和； 4 取極限定積分的幾何意義；定積分的基本性質(zhì)關(guān)于函數(shù)可積性的幾個重要結(jié)論：（1）可積函數(shù)必有界；（2）有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可積；（3）在有限區(qū)間上只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)可積2微積分基本定理變上限積分，變限

32、積分的求導(dǎo)公式：微積分基本公式：在上連續(xù)，其中是在上的一個原函數(shù)3定積分的換元積分法與分部積分法定積分的換元積分法；強(qiáng)調(diào)換元一定要相應(yīng)地?fù)Q限注意對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)定積分的性質(zhì)： （是奇函數(shù)）； （是偶函數(shù)）； 定積分的分部積分公式：4定積分的應(yīng)用（1）平面圖形的面積選為積分變量： 由，所圍成的平面圖形的面積；（上下）選為積分變量設(shè)平面圖形由直線及兩條曲線圍成，如果在區(qū)間上，恒有，則其面積為；（右左）（2）旋轉(zhuǎn)體的體積：由，軸及所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積；由，軸及所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積5.3 本章教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：定積分的性質(zhì)，微積分基本公式，定積分

33、的換元法與分部積分法，定積分的應(yīng)用2教學(xué)難點(diǎn)：變上限積分函數(shù)的性質(zhì)，微積分基本公式，定積分的換元法與分部積分法，定積分的應(yīng)用5.4 典型例題與習(xí)題分析：例1 利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分圖5-1分析：先變換被積函數(shù)，寫出曲線方程并畫圖，再根據(jù)幾何圖形求面積解 由可得，這是圓心在（1，1）處的單位圓，的圖形是下半圓周（如圖5-1）所求定積分的值為圖中陰影部分的面積，該面積等于邊長為1的正方形面積減去個單位圓即例2 求下列變限積分的導(dǎo)數(shù)，其中連續(xù) ，求；分析：注意到中是積分變量，相對于來說是常數(shù)，因此是與的乘積解 ，注意到因此 例3 求極限分析：求含有變限積分函數(shù)的極限，如果是型或型，一般用洛必

34、達(dá)法則該題被積函數(shù)中含有，應(yīng)先移到積分號外才可以求導(dǎo)解 例4 求分析：先處理被積函數(shù)的絕對值，把化為分段函數(shù)，再由定積分的區(qū)間可加性分段積分解 例5 求極限 解 由于時，則 由夾逼定理 例6 計(jì)算定積分 分析：被積函數(shù)中含有和，自然應(yīng)將湊微分，化成的函數(shù)解 注：在中積分變量仍然是，所以積分區(qū)間是若用進(jìn)行換元，則積分變?yōu)橐虼嗽跍愇⒎謺r，積分變量不換，積分上下限不變；只要換了積分變量，積分上下限就要跟著變 例7 求分析：被積函數(shù)是，應(yīng)先通過變量替換化成的形式，然后再按被積函數(shù)的表達(dá)式分區(qū)間分段積分解 令，當(dāng)時，當(dāng)時， 例8 設(shè)在上連續(xù)，則 解 由定積分的分部積分法 例9 設(shè)，求解 ， 圖5-2 例

35、10 求下列曲線所圍成的平面圖形的面積：（1），；（2），分析：求面積時，只需先畫出曲線所圍平面圖形的草圖，確定積分變量及積分的上下限（往往是曲線的交點(diǎn)），然后再積分，但要注意，在不知道被積函數(shù)正負(fù)的情況下，被積函數(shù)取絕對值，這樣的定積分才表示一個平面圖形的面積解 （1）畫草圖5-2 由，知兩曲線的交點(diǎn)為 由圖形可以看出，陰影部分的面積等于三角形的面積減去定積分 所以圖5-3 （2）分析：這是半徑為，圓心在原點(diǎn)的上半個圓與軸、拋物線所圍圖形的面積解 畫草圖 由圖5-3可以看出陰影部分的面積為 例11 過原點(diǎn)作曲線的切線，求由切線、曲線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積分析：先畫出草圖（如

36、圖5-4），求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算體積圖5-4解 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，即由于切線過點(diǎn)（0，0），由此可知，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，從而第六章 多元函數(shù)微積分6.1 本章的教學(xué)目的 1認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系。 2。理解向量的概念，掌握向量的運(yùn)算（數(shù)量積、向量積）；熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算；掌握兩向量平行、垂直的充要條件；會求向量的模、方向余弦及兩向量的夾角。 3了解平面方程，根據(jù)平面方程會在空間直角坐標(biāo)系作出圖形；了解直線方程；會根據(jù)簡單條件求平面方程、直線方程。 4掌握多元函數(shù)的概念，掌握二元函數(shù)極限的概念，了解二元函數(shù)的連續(xù)的概念；會求簡單二元函數(shù)的定義域，會求簡單二元函數(shù)的極限。 5掌握偏

37、導(dǎo)數(shù)的概念；熟練掌握求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；會求二階偏導(dǎo)數(shù)。 6掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的法則，會求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。 7。 掌握全微分的概念；熟練掌握二元函數(shù)的全微分求法。 8。 會求曲線的切線和法平面方程，曲面的切平面和法線方程； 9。 了解多元函數(shù)的極值概念；知道多元函數(shù)的極值的充分條件、必要條件；會求函數(shù)的極值；了解條件極值的概念，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值； 10。 會求解一些簡單的最大值和最小值問題。11。 掌握二重積分的概念；了解二重積分的性質(zhì)。 12。 熟練掌握二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。 13了解利用MATLAB畫曲面、空間曲線；了解利用MATLAB求多元函數(shù)的極值方法和

38、步驟；了解利用MATLAB求二重積分方法和步驟。 6.2 主要內(nèi)容6.2.1 空間解析幾何基本知識1空間向量空間向量是研究空間解析幾何最有效的工具之一，可以用它來說明空間距離、中點(diǎn)坐標(biāo)及平面方程，直線方程；方向和模是空間向量的兩個要素。（1）空間向量的概念 模等于1的向量叫單位向量；模等于零的向量叫零向量，其方向是任意的；向量的相等：兩個向量和的模相等，方向相同，則這兩個向量相等。（2）利用坐標(biāo)表示式求向量的模、方向余弦；兩個向量與的數(shù)量積坐標(biāo)表示式求數(shù)量積，數(shù)量積的結(jié)果是一個數(shù)量；兩個向量與的向量積坐標(biāo)表示式；利用數(shù)量積、向量積坐標(biāo)表示式討論與的垂直、平行。2平面與空間直線（1）平面方程的點(diǎn)

39、法式是討論平面的基本形式，注意到法向量的特殊情況，要掌握平行坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的特殊平面畫法。（2）了解空間直線一般方程如何化為點(diǎn)向式、參數(shù)式方法，更要注意到給定方向向量只考慮方向不考慮模，因而寫點(diǎn)向式直線方程在形式上具有多樣性。6.2.2 二元函數(shù)極限與連續(xù)與一元函數(shù)類似，偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念也是用極限表述的，這是多元函數(shù)的重極限；多元函數(shù)的確定也依賴函數(shù)的定義區(qū)域和對應(yīng)法則。1二元函數(shù)的概念 （1）二元函數(shù)的定義域，是由使式子有意義的自變量的取值范圍確定。定義域的求解一般有以下幾種常見情形：分式分母不為零；偶次根號下式子非負(fù)；對數(shù)式子的真數(shù)大于零；前幾種情況的混合型，求“交”。（2）點(diǎn)處的函數(shù)

40、值求法。（3）根據(jù)條件建立簡單的二元函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)問題的實(shí)際意義說明自變量范圍。2重極限運(yùn)算運(yùn)算方法歸納如下：利用極限的四則運(yùn)算法則求解；利用分子、分母的有理化求解；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小的結(jié)論求解；利用兩個重要極限求解；利用變量替換法化為一個變量的一元函數(shù)極限求解；3多元函數(shù)的連續(xù)性（1）連續(xù)的二元函數(shù)在幾何上表示一張無空無隙的曲面，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)仍是連續(xù)的。（2）二元函數(shù)點(diǎn)處不連續(xù)，可能是點(diǎn)處函數(shù)值不存在、無極限或函數(shù)值不等于極限值。（3）二元函數(shù)的間斷點(diǎn)或間斷線作圖及分析。6.2.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分1偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)指二元函

41、數(shù)中當(dāng)其中一個自變量固定不變時，函數(shù)關(guān)于另一個自變量的變化率，此時的二元函數(shù)實(shí)際已轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)?？梢杂靡辉瘮?shù)求導(dǎo)公式、求導(dǎo)方法解決。（1）掌握偏導(dǎo)數(shù)的一系列表示符號或，或，以及極限定義式，對于理解并熟練運(yùn)用求導(dǎo)方法有重要意義。（2）利用一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，按和、差、積、商及復(fù)合結(jié)構(gòu)求多元函數(shù)偏導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)公式時視求導(dǎo)變量外的其它自變量為常數(shù)。（3）求高階偏導(dǎo)數(shù)時一般要先求低一階偏導(dǎo)數(shù)，例如二階偏導(dǎo)數(shù)是用相應(yīng)一階偏導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)。（4）混合偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然是有區(qū)別的。但是我們常常遇到的二元函數(shù)其 、 都連續(xù)時，求導(dǎo)的結(jié)果與先后次序無關(guān)，故通常只用計(jì)算三個二階偏導(dǎo)數(shù)：、=中求其一。2多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)多元復(fù)

42、合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t是對一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t的推廣與提高。類似排列組合知識中“加法原理”、“乘法原理”特點(diǎn)，一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t：“外導(dǎo)”與“內(nèi)導(dǎo)”作“乘法”； 復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)（不妨對）的鏈?zhǔn)椒▌t：先找到與的全部聯(lián)系路徑，每條路徑計(jì)算是作“乘法”， 然后每條路徑結(jié)果加起來（作“加法”）即可。（1）多元復(fù)合函數(shù)聯(lián)系路徑有各種類型，表現(xiàn)為不同形式鏈?zhǔn)椒▌t公式，重要的是分清聯(lián)系路徑，正確使用加法、乘法思想。（2）函數(shù)，若 與的聯(lián)系路徑為，要區(qū)分與的不同，是把中的看作常量而對的偏導(dǎo)數(shù)，是把中的、看作常量而對的偏導(dǎo)數(shù)。（3）求全導(dǎo)數(shù)方法上注意區(qū)分，當(dāng)且、，化為復(fù)合函數(shù)后視是一個變量的函數(shù)，是否能用

43、一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算，與按復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算有何不同。3全微分（1）注意全微分定義中全增量與偏導(dǎo)數(shù)表示的表達(dá)式之差是否是要求的趨于0的高階無窮小，這一點(diǎn)與一元函數(shù)微分有相似之處。（2）若多元函數(shù)全微分存在，全微分公式中的與有明顯區(qū)別，前者：是一個整體，后者：。（3）求多元函數(shù)的全微分，即先求對各個變量的偏導(dǎo)數(shù)；反之，知道了全微分形式，也就相應(yīng)得到了各個變量的偏導(dǎo)數(shù)。（4）全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)關(guān)系中很重要的結(jié)論是可微則一定連續(xù)，其余的研究都很復(fù)雜。6.2.4 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1空間曲線的切線與法平面一條以參數(shù)方程表示的空間曲線，可以在曲線上指定點(diǎn)求偏導(dǎo)數(shù)值，即為切線的方向向量與法平面的法

44、方向，從而寫出切線與法平面方程；若空間曲線以一般方程表示，有時看看可否變形為參數(shù)方程，更深入的研究發(fā)現(xiàn)，利用方程組求偏導(dǎo)，求各曲面在指定點(diǎn)求偏導(dǎo)數(shù)值后利用向量積等多種方法均可得到切線的方向向量與法平面的法方向。2曲面的切平面和法線我們先考慮曲面方程的形式，若為，在一定條件下，即為曲面上點(diǎn)處切平面的法方向和法線的方向向量，從而寫出切平面與法線方程；若曲面由方程給出，方向數(shù)為。3二元函數(shù)極值二元函數(shù)的極值定義與一元函數(shù)的極值定義相似。（1）二元函數(shù)極值存在的必要條件為：函數(shù)在點(diǎn)可微分情況下，有極值則有。我們可以先求偏導(dǎo)數(shù)，得到駐點(diǎn)以便進(jìn)一步討論。（2）根據(jù)二元函數(shù)極值判斷的充分條件，可以設(shè)計(jì)處確定

45、極值的步驟如下：確定函數(shù)的定義域；求使同時成立的全部實(shí)數(shù)解，即得全部駐點(diǎn)；對于每一個駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)，即、和的值；定出的符號，并按定理判定是否是極值、是極大值還是極小值。4。多元函數(shù)的最值（1）對于二元函數(shù)在討論區(qū)域上最值問題，可利用極值與多元函數(shù)在所討論區(qū)域邊界上分析最值，以得到多元函數(shù)在所討論區(qū)域上最值。（2）二元函數(shù)在所討論區(qū)域邊界上分析最值，可以根據(jù)邊界曲線條件將二元函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題。（3）對于多元函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，還要附加約束條件的這種條件極值，除了結(jié)合約束條件轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的無條件極值來求解外，還可使用拉格朗日乘數(shù)法。 （4）一些簡單實(shí)際

46、問題中的最大值和最小值討論，還需掌握確定待優(yōu)化量，可調(diào)整自變量等，變量實(shí)際有意義的范圍，以及如何建立多元函數(shù)關(guān)系的方法。6.2.5 二重積分1。 二重積分的定義（1）一元函數(shù)定積分，幾何意義是曲線在區(qū)間下的曲邊梯形的面積，可以推廣到多元函數(shù)的重積分，其幾何意義是曲面在平面區(qū)域下的“曲頂柱體”的體積。（2）認(rèn)識二重積分中各符號的名稱及意義，特別是在直角坐標(biāo)系中。（3）作圖顯示在上的二重積分的值與曲頂柱體體積的值間的關(guān)系，即了解二重積分的幾何意義。2。 二重積分的性質(zhì)二重積分當(dāng)積分區(qū)域或被積函數(shù)特殊時，可得到一些簡單性質(zhì)如在上, ,二重積分在數(shù)值上等于區(qū)域的面積；此外，類似一元函數(shù)定積分，二重積分

47、也有性質(zhì)如下：被積函數(shù)中的常數(shù)因子，可以提到二重積分號外面；有限個函數(shù)的代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)的二重積分的代數(shù)和；二重積分對于積分區(qū)域具有可加性；二重積分估值不等式。3。二重積分的計(jì)算（1）直角坐標(biāo)系中，積分區(qū)域作圖與認(rèn)識，將區(qū)域?qū)懗捎貌坏仁叫问降男蛥^(qū)域與型區(qū)域。（2）掌握二重積分的計(jì)算化為兩次積分公式，重點(diǎn)是視區(qū)域?yàn)樾蛥^(qū)域或型區(qū)域，根據(jù)被積函數(shù)的情況公式在具體計(jì)算量上的不同。（3）有時交換積分次序的必要性，交換使得計(jì)算簡單，有時候如不交換次序,可能會計(jì)算不出結(jié)果（有次積分是“積不出來”類型）。（4）二重積分的簡單應(yīng)用，如求體積；也可參考一元函數(shù)定積分的微元法解決求曲面面積、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量

48、、平面薄片質(zhì)量等問題，至于這些內(nèi)容，我們不做要求。6.2.6 MATLAB在多元函數(shù)微積分中的應(yīng)用利用MATLAB繪圖命令，作出曲線、曲面的方程可以更加直觀認(rèn)識曲線、曲面，是學(xué)習(xí)多元函數(shù)、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)及二重積分有效的輔助工具；也可用Matlab命令直接求多元函數(shù)的符號解、數(shù)值解，例如用diff求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；一般方程組的符號解用solve命令，當(dāng)方程組不存在符號解時，solve將給出數(shù)值解；用int進(jìn)行符號積分等等。掌握一些簡單微積分功能的Matlab命令格式。6.3 主要公式1空間解析幾何向量的坐標(biāo)：；向量分解式：； 向量的模：；向量的方向余弦：兩點(diǎn)間的距離公式：；數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算式：；向量積的坐標(biāo)計(jì)算式：；向量、垂直條件：；向量、平行條件：平面方程的點(diǎn)法式：；直線