北郵數(shù)理方程課件分離變量法

1、第三章 分離變量法3。2 基礎(chǔ)訓(xùn)練 例題分析 例1 解下列定解問(wèn)題： （1）解：分離變量，即令 （2）代入方程（1）中第一式），得 （3） （4）其中為分離常數(shù)。（2）式代入邊界條件（1）中第二式），得 （5）相應(yīng)的本證值問(wèn)題為求 （6）的非零解下面針對(duì)的取值情況進(jìn)行討論： （1）當(dāng)時(shí)，（6）式中方程的通解是 （7）其中A，B為積分常數(shù)，（7）代入（6）中邊界條件，得 （8）由（8）得A=B=0，得X（x）=0，為平凡解，故不可能有。 (2) 當(dāng)時(shí)，（6）式中方程的通解是 由邊界條件得A=B=0，得X（x）=0，為平凡解，故也不可能有。 （3）當(dāng) 時(shí)，上述固有值問(wèn)題有非零解此時(shí)式（6）的通解為

2、代入條件（6）中邊界條件，得由于 ，故 ，即從而得到一系列固有值與固有函數(shù)與這些固有值相對(duì)應(yīng)的方程（3）的通解為于是，所求定解問(wèn)題的解可表示為利用初始條件確定其中的任意常數(shù)，得故所求的解為例2 演奏琵琶是把弦的某一點(diǎn)向旁邊撥開一小段距離，然后放手任其自由振動(dòng)。設(shè)弦長(zhǎng)為，被撥開的點(diǎn)在弦長(zhǎng)的(為正整數(shù))處，撥開距離為，試求解弦的振動(dòng)，即求解定解問(wèn)題解：將代入原方程及邊界條件得 （1） （2）解(2)第一式可得由（2）的第二式得，將代入（1）并解得由初始條件得所以從而例3 求解細(xì)桿的導(dǎo)熱問(wèn)題，桿長(zhǎng)，兩端保持零度，初始溫度分布.解：該問(wèn)題的定解問(wèn)題為 （1）令, 代入(1)第一式可得， （2） （3）

3、由(2)得 （4）由(1)第三式可得，由得，由，得， 于是有，因此，將作Fourier展開得其中于是因此例4 在矩形域 內(nèi)求Laplace方程 （1）的解，使其滿足邊界條件 解：令 ，代入式(1)，有 （4） （5）又由邊界條件(3)得 (6)當(dāng)時(shí)，式(5)的通解為由式(6)有 由此得 ，即式(5)、(6)無(wú)非零解當(dāng)時(shí)，式(5)的通解為由 ，得 當(dāng)時(shí)，式(5)的通解為由 得，由 得，得，即 由此可見，本征值為 本征函數(shù)為 將的值代入式(4)，解得 故問(wèn)題的一般解為 (7)由邊界條件 得到一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)等于零，說(shuō)明各項(xiàng)系數(shù)均為零，故 (8)又由得將Ay展開成Fourier余弦級(jí)數(shù)，并比較系數(shù)有故

4、(9)從式(8)和(9)中解得代入式(7)并整理得 (10)例5 帶電云與大地之間的靜電場(chǎng)近似勻強(qiáng)靜電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度是垂直的水平架設(shè)的輸電線處在這個(gè)靜電場(chǎng)中輸電線是導(dǎo)體圓柱柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，圓柱附近的靜電場(chǎng)也就不再是勻強(qiáng)的了不過(guò)，離圓柱“無(wú)限遠(yuǎn)”處的靜電場(chǎng)仍保持勻強(qiáng)，現(xiàn)研究導(dǎo)體圓柱怎樣改變了勻強(qiáng)靜電場(chǎng)（即討論導(dǎo)線附近的電場(chǎng)分布）解：化成定解問(wèn)題，取柱軸為z軸，設(shè)導(dǎo)線“無(wú)限長(zhǎng)”，那么場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)都與z無(wú)關(guān)，只需在x，y平面上討論如圖3-2所示，圓柱在x，y平面的截面是圓周 作為靜電場(chǎng)的邊界，所以我們采用極坐標(biāo)柱外空間無(wú)電荷，電勢(shì)滿足二維Laplace方程，化成極坐標(biāo)為 (1)邊界條件：

5、導(dǎo)體中的電荷不再移動(dòng)，說(shuō)明導(dǎo)體中電勢(shì)相同，又因?yàn)殡妱?shì)具有相對(duì)意義，可以把導(dǎo)體的電勢(shì)當(dāng)作零，故 (2)“無(wú)窮遠(yuǎn)”處也為一個(gè)邊界（圓內(nèi)則考慮圓心點(diǎn)），“無(wú)窮遠(yuǎn)”處?kù)o電場(chǎng)仍為勻強(qiáng)靜電場(chǎng)，由于選取了x軸平行，故有即 因此有 (3)圖3-2 輸電線對(duì)帶電云和大地之間電場(chǎng)的影響分離變量，令代入方程(1)，得 (4) (5)因?yàn)闃O角具有周期性，應(yīng)表示一個(gè)點(diǎn)，同一處的u應(yīng)該相同，故有即 所以有 (6)方程(6)稱為自然周期條件方程(4)，(6)構(gòu)成本征值問(wèn)題，解之即方程(5)可以寫成 (7)為歐拉方程作變換 化成常系數(shù)線性微分方程，其通解為于是得到極坐標(biāo)系中Laplace方程的本征解一般解應(yīng)疊加 (8)由邊界

6、條件(2)，有一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)為零，各系數(shù)為零，即由此于是將解化簡(jiǎn)為 (9)再由邊界條件(3)，對(duì)于略去及項(xiàng)，即比較系數(shù)代入方程（9），導(dǎo)體周圍的電勢(shì)分布 (10)例6 長(zhǎng)為l的理想傳輸線，一端接于電動(dòng)勢(shì)為 的交流電源，另一端開路，求解線上的穩(wěn)恒電振蕩解：經(jīng)歷交流電的許多周期后,初始條件所引起的自由振蕩衰減到可以認(rèn)為已經(jīng)消失，這時(shí)的電振蕩完全是由交流電源引起的，所以叫穩(wěn)恒振蕩因此是沒有初始條件的問(wèn)題：為了計(jì)算方便，將電動(dòng)勢(shì) 寫成 ，最后將得到的解取虛部由于振蕩完全由交流電源引起，當(dāng)然可以認(rèn)為振蕩的周期與交流電源相同，即令代入方程得即其通解為故有由 得 (1)及 得 (2)從式(1)，(2

7、)中解出帶入解的表達(dá)式，得取虛部，并以 代入，得傳輸線內(nèi)穩(wěn)恒的電振蕩例7 試解出具有放射衰變的熱傳導(dǎo)方程 已知邊界條件為初始條件為解 令 ，定解問(wèn)題可以化為由于對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題具有第一類邊界條件，故令代入上述方程和初始條件得即 其中 （3）求解式得到 （4）將式代入式得故得原定解問(wèn)題的解為即例8 在環(huán)形域內(nèi)求解下列定解問(wèn)題解：由于求解區(qū)域式環(huán)形區(qū)域，所以我們選用平面極坐標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的關(guān)系可將上述定解問(wèn)題用極坐標(biāo)表示： 這是一個(gè)非齊次方程附有齊次邊界條件的定解問(wèn)題采用固有函數(shù)法，并注意到圓域內(nèi)Laplace方程所對(duì)應(yīng)的固有函數(shù)，可令問(wèn)題(1)-(2)的解的形式為代入式(1)并

8、整理得到比較兩端關(guān)于的系數(shù)，可得 (3) (4) (5)再由條件(2)得 方程(4)與(5)都是齊次的歐拉方程，它們的通解分別為其中都是任意常數(shù)由條件(6)與(7)可得下面的任務(wù)就是要確定方程(3)是一個(gè)非齊次的歐拉方程，利用待定系數(shù)法可求得它的一個(gè)特解所以，它的通解為由條件(6)確定，得因此原定解問(wèn)題的解為例9 求解一端固定，一端作周期運(yùn)動(dòng)的弦的振動(dòng)問(wèn)題 解法一：令 取 (1)則定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 (2) 又令 其中 分別滿足 (3) (4)由分離變量法求解式(3)，得 (5)用固有函數(shù)法求解問(wèn)題(4)，即設(shè)其中代入方程(4)，得由參數(shù)變易法，得因此 (6)其中 原定解問(wèn)題的解為 解法二：取 則

9、原問(wèn)題化為 (7)注意到方程和邊界條件同時(shí)齊次化了 用分離變量法解方程(7)，得其中 原定解問(wèn)題的解為 應(yīng)當(dāng)指出，同兩種方法得到的定解問(wèn)題的解在形式上不一樣，但可以證明它們是等價(jià)的，這是由定解問(wèn)題解的唯一性決定的例10 求下列定解問(wèn)題 的解，其中A，B均為常數(shù) 解：這個(gè)定解問(wèn)題的特點(diǎn)是：方程及邊界條件都是非齊次的根據(jù)上述原則，首先應(yīng)將邊界條件化成齊次的由于問(wèn)題中方程（1）的自由項(xiàng)及邊界條件（2）都與t無(wú)關(guān)，所以我們有可能通過(guò)一次代換將方程及邊界條件都變成齊次的具體做法如下： 令 代入方程(1)，得為了使這個(gè)方程及邊界條件同時(shí)化成齊次的，選滿足 (4)問(wèn)題 (4)是一個(gè)二階常系數(shù)線性非齊次常微分

10、方程的邊值問(wèn)題，它的解可以通過(guò)兩次積分求得：求出函數(shù)之后，再由問(wèn)題（1）-（3）可知函數(shù)為下列定解問(wèn)題 的解 采用分離變量法，可得式(5)滿足齊次邊界條件(6)的解為 (7)利用式(7)中第二個(gè)條件可得 于是定解問(wèn)題(5)-（7）的解可表示為代入式(7)中第一個(gè)條件，得即由傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)公式可得 (8)因此，原定解問(wèn)題的解為其中由式(8)確定例11在扇形區(qū)域內(nèi)求下列定解問(wèn)題的解。解：采用極坐標(biāo)表示即 ，將代入方程及邊界條件，得 及 （3）可見（1）和（3）構(gòu)成本征值問(wèn)題。（1）得通解為 （4）由（3）可得 由此得本征值為 （5）和本證函數(shù) （6）將（5）代入（2）得這是Euler方程，令，得其

11、通解為 （7）由自然條件，取 ，于是問(wèn)題的本征解為一般解為本征解的迭加，故 （8）由邊界條件，得 （9）代入（8），得定解問(wèn)題的解為：例12在鈾塊中，除了中子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)之外，還進(jìn)行著中子的增值過(guò)程，每秒鐘在電位體積中產(chǎn)生的中子數(shù)正比于該處的中子濃度，從而可表為（是表示增殖快慢的常數(shù)），設(shè)鈾塊厚度，在兩端濃度為零，求證臨界厚度為（鈾塊厚度超過(guò)臨界，則中子濃度將隨時(shí)間而增長(zhǎng)，一致鈾塊爆炸核爆炸），該問(wèn)題寫成定解問(wèn)題即為解：令，代入原方程可得即 （1） （2）由(1)得 由得。從而，于是得本征值和本征函數(shù)分別為代入(2)，并解得 于是及時(shí)，若，則濃度將隨時(shí)間而增長(zhǎng)，便可能產(chǎn)生爆破； 若，則濃度將隨時(shí)

12、間而減小，反應(yīng)堆可能熄火；若, 即時(shí)，濃度將不隨時(shí)間而變化，這時(shí)就是臨界密度.例13矩形區(qū)域，上，電位滿足，并滿足邊界條件：，。解：定解問(wèn)題為 （1）令使得和分別滿足 (2) (3)先解（2），令, 則有,即 （4） （5）（4）得通解為 （6）由得，代入（6）得，因此得本征值和本征函數(shù)從而 由得 ，即 （7）由得 將展開成Fourier正弦級(jí)數(shù)，可以得到 （8）由(7)(8)可得再解（3），令, 則有,即可以求得由得 （9）又由得 將展開成Fourier正弦級(jí)數(shù)，可以得到當(dāng)時(shí)有當(dāng)時(shí)有由(9)及以上兩式得當(dāng)時(shí)，.最后例14在帶形區(qū)域（，）上求解Laplace方程，使, ，。解：定解問(wèn)題為 （1

13、）令，代入原方程得 （2） （3）由（1）的第二式得 （4）解本征值問(wèn)題（2）（4），得解關(guān)于的方程（3）得從而有 （4）將（4）代入邊界條件（1）的第三式，得 （5） （6）由（6）得代入（5）得由此得 習(xí)題1 就下列初始條件及邊界條件解弦振動(dòng)方程 2 兩端固定的弦的長(zhǎng)度為，用細(xì)棒敲擊弦上點(diǎn)，即在施加沖力，設(shè)其沖量為，求解弦的振動(dòng)。即求解定解問(wèn)題3 長(zhǎng)為的桿，一段固定，另一端因受力而伸長(zhǎng)，其定解問(wèn)題為 （1）4 長(zhǎng)為的理想傳輸線遠(yuǎn)端開路，先把傳輸線充電到電位差，然后把近端短路。求解線上的電壓，其定解問(wèn)題為 （1） 5 設(shè)弦的兩端固定于及，弦的初始位移如圖所示，初速度為零，又沒有外力作用，求弦

14、作橫向振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)。 圖3-3（第5題圖）6 試求適合于下列初始條件及邊界條件的一維熱傳導(dǎo)方程的解 7 求解一維熱傳導(dǎo)方程，其初始條件及邊界條件為8 在圓形區(qū)域內(nèi)求解，使?jié)M足邊界條件(1) , (2) 。9 求下列定解問(wèn)題 （1）10 求滿足下列定解條件的一維熱傳導(dǎo)方程的解11 試確定下列定解問(wèn)題解的一般形式。12 .在矩形域內(nèi)求拉普拉斯方程的解，使?jié)M足邊界條件 13求半帶形區(qū)域內(nèi)的靜電勢(shì)，已知邊界和上的電勢(shì)都是零，而邊界上的電勢(shì)為（常數(shù)）。14 求解薄膜的恒定表面濃度擴(kuò)散問(wèn)題。薄膜厚度為，雜質(zhì)從兩面進(jìn)入薄膜，由于薄膜周圍氣體中含有充分的雜質(zhì)，薄膜表面上的雜質(zhì)濃度得以保持為恒定的，其定解問(wèn)

15、題為 求解。解答與提示 1解 定解問(wèn)題如下： 設(shè)，代入上述方程得到 由條件，得到 令，此時(shí)的通解為： 因此得本征值和本征函數(shù)分別為將本征值代入，得 解之得 令，有利用疊加原理得代入初始條件，得到 及由，得 于是得 ， 將其代入得到： 2 解：令，代入原方程及邊界條件得 （1） （2）解(2)第一式可得由（2）的第二式得，將代入（1）得于是由初始條件得所以從而 3 解：令，代入原方程和邊界條件得 （2） （3）下面求解本征值問(wèn)題（3）1) 若，則由邊界條件（3）的第二式得，從而，故。2） 若，則由邊界條件（3）的第二式得解之得，從而，所以不能有。3） 若，令 (為實(shí)數(shù)），則由邊界條件（3）的第二

16、式得所以，將本征值代入（2）式，解之得從而代入初始條件得故有于是得 4解：本題與第2題類似，具有第一類和第二類邊界條件，從而可得其一般解由初始條件得所以 5解：弦固定于及兩端，初速度為零，即定解問(wèn)題為 設(shè)，得到其滿足邊界條件代入得到有 ，經(jīng)討論知當(dāng)或時(shí)，問(wèn)題沒有非零解。 在時(shí)令，得 因此有本征值和本征函數(shù)分別為將本征值代入，得解之得 令，有利用疊加原理得代入初始條件得 將其代入得到： 6 解 定解問(wèn)題為設(shè)，代入上述方程得到 由條件，得到 （3）令，此時(shí)的通解為： 由此得本征值和本征函數(shù)依次為將本征值代入，得其通解為故有式中 疊加得到由，得 于是得將其代入得到：7 解 由題意即求定解問(wèn)題設(shè)，并取

17、得到 解方程得到 由邊界條件得 ，代入上式得 及 又 解方程得到 于是根據(jù)初始條件由得到， 故得原定解問(wèn)題的解為 8 解 采用極坐標(biāo)，即令, 則泛定方程為令代入上式并分離變量可得即 （1） （2）由（1）可得 由自然邊界條件得將代入(2)得作歐拉變換將其化為常系數(shù)線性微分方程，可求得其通解為所以，本征解為對(duì)于略去和得（1）由有，故因此(2) 由有，因此.9 解 將u及非齊次項(xiàng)A按固有函數(shù)系展開，注意是第一類齊次邊界條件 ，故有 及 代入中的方程有 故有即 上述方程相應(yīng)齊次方程的通解，即 特解為 于是有 又由于 ，得到故 ，可得 或 10 解 定解問(wèn)題為設(shè) ，并取，從而v滿足 令，由分離變量法解得于是一般解為級(jí)數(shù)形式由 初始條件有 ，所以有于是最后 11解 定解問(wèn)題為 設(shè) 代入得到故為使的方程和邊界條件均為齊次，應(yīng)選使之滿足 將式對(duì)積分兩次得代入邊界條件中得 由此得 故有 此時(shí)，求解的問(wèn)題，可化為