垃圾問題的數(shù)學(xué)建模

1、河南城建學(xué)院第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書 我仔細閱讀了河南城建學(xué)院第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽須知。我完全明白，在競賽開始后參賽者不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與任何人研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我將受到嚴肅處理。我們選擇的題號為： C題 姓 名 趙津霄 姓 名 吳金濤 姓 名 張森 （以下內(nèi)容參賽同學(xué)不需填寫，由競賽組委會統(tǒng)一

2、編碼） 評閱編號： 題目：垃圾焚燒廠的經(jīng)濟補償問題摘要“垃圾圍城”問題在中國已日益嚴重，垃圾焚燒處理方法的推廣、垃圾焚燒廠的建立卻遭遇重重阻撓。本文就深圳市計劃建立一個中型的垃圾廠的背景下，開展相關(guān)研究。本文先調(diào)查了該垃圾焚燒廠的周邊環(huán)境，獲取了地形、風(fēng)速、風(fēng)向等數(shù)據(jù)，并進行了預(yù)處理。隨后，本文建立了基于湍流擴散基本理論的高斯煙羽模型，考慮了煙囪高度，風(fēng)力風(fēng)速等因素對污染物擴散分布的影響，利用MATLAB和excle對高斯煙雨模型的污染物濃度以及污染系數(shù)進行了相關(guān)分析和求解，使用層次分析法對賠償方案進行了初步確定，應(yīng)用公平偏好效用函數(shù)對賠償方案做了進一步的修改，獲得了該模型下相應(yīng)的污染物濃度分

3、布圖。還考慮了主設(shè)備多重機器故障發(fā)生的隨機性，因而能更加客觀真實的反映出不同距離的空氣污染水平。同時充分考慮了三項代表污染物對整體空氣質(zhì)量的影響，避免了通常情況下只考慮單一污染物而忽視其他污染物的缺點。并基于該模型對深圳市政府該如何制定補償方案進行了探討。最后，本文評價了模型的優(yōu)缺點，進一步闡述了模型的指導(dǎo)意義，和推廣前景。關(guān)鍵詞：高斯煙羽模型、MATLAB、層次分析法、FS模型、多重故障分析一、問題重述“垃圾圍城”是世界性難題，在今天的中國顯得尤為突出。2012年全國城市生活垃圾清運量達到1.71億噸，比2010年增長了1300萬噸。數(shù)據(jù)顯示，目前全國三分之二以上的城市面臨“垃圾圍城”問題，

4、垃圾堆放累計侵占土地75萬畝。因此，垃圾焚燒正逐步成為中國垃圾處理的主要手段之一。城市垃圾經(jīng)過分類處理，剔除可回收垃圾和有害垃圾后將剩余垃圾在焚燒爐中焚燒處理，既可避免垃圾填埋侵占大量的土地，又可利用垃圾焚燒產(chǎn)生的能量進行發(fā)電等獲得可觀的經(jīng)濟效益。然而，由于政府監(jiān)管不力、投資者目光短淺等多方面的原因，致使前些年各地建設(shè)的垃圾焚燒電廠在運營中出現(xiàn)了環(huán)境污染問題，給垃圾焚燒技術(shù)在我國的推廣造成了很大阻力，許多城市的新建垃圾焚燒廠選址都出現(xiàn)因居民反對而難以落地的局面。事實上垃圾焚燒廠對環(huán)境的污染風(fēng)險與建設(shè)投資規(guī)模、運行監(jiān)管力度有直接關(guān)系。小型垃圾焚燒廠由于沒有規(guī)模效應(yīng)，在污染治理方面的投入也會受到影

5、響，致使其污染物排放比較嚴重，難以達到國家新的排放標準，對環(huán)境的危害較大。尤其是目前建廠選址尤為困難，所以國內(nèi)各大城市目前均傾向于采用新型大型焚燒爐的焚燒廠取代分散的小型焚燒爐的舉措。然而大型焚燒廠又存在需要考慮垃圾運輸成本與道路建設(shè)成本等問題，因此對于不同城市來說，究竟該把大型焚燒廠的建設(shè)規(guī)模控制在什么水平，這是一個值得研究的課題。在垃圾焚燒廠運行監(jiān)管方面，目前主要是在垃圾焚燒廠內(nèi)進行測量監(jiān)控，缺少從周邊環(huán)境視角出發(fā)的外圍動態(tài)監(jiān)控，因而難以形成為民眾所信服的全方位垃圾焚燒廠環(huán)境監(jiān)控體系。深圳市某地點計劃建立一個中型的垃圾焚燒廠，計劃處理垃圾量1950噸/天（設(shè)置三臺可處理垃圾650噸/天的焚

6、燒爐，排煙口高度80米，每天24小時運轉(zhuǎn)）。從構(gòu)建環(huán)境動態(tài)監(jiān)控體系、并根據(jù)潛在污染風(fēng)險對周圍居民進行合理經(jīng)濟補償?shù)男枨蟪霭l(fā)，有關(guān)部門希望能綜合考慮垃圾焚燒廠對周圍帶來環(huán)境污染以及其他危害的多種因素（例如，焚燒爐的污染物排放量、居住點離開垃圾焚燒廠的距離、風(fēng)力和風(fēng)向及降雨等氣象條件、地形地貌以及建筑物的遮擋程度等等），在進行科學(xué)定量分析的基礎(chǔ)上，確立一套可行的垃圾焚燒廠環(huán)境影響動態(tài)監(jiān)控評估方法，并針對潛在環(huán)境風(fēng)險制定出合理的經(jīng)濟補償方案。請你在收集相關(guān)資料的基礎(chǔ)上考慮以下問題：(1) 假定焚燒爐的排放符合國家新的污染物排放標準（參見附件1），根據(jù)垃圾焚燒廠周邊環(huán)境設(shè)計一種環(huán)境指標監(jiān)測方法，實現(xiàn)對

7、垃圾焚燒廠煙氣排放及相關(guān)環(huán)境影響狀況的動態(tài)監(jiān)控。以你設(shè)計的環(huán)境動態(tài)監(jiān)控體系實際監(jiān)控結(jié)果為依據(jù)，設(shè)計合理的周圍居民風(fēng)險承擔(dān)經(jīng)濟補償方案。(2) 由于各種因素焚燒爐的除塵裝置（如袋式除塵器）損壞或出現(xiàn)其他故障導(dǎo)致污染物的排放增加，致使相關(guān)各項指標將嚴重超標（如：煙塵濃度、二氧化硫、氮氧化物、一氧化碳、二惡英類及重金屬等排放超標，附件2給出了一臺可處理垃圾350噸/天的焚燒爐正常運作時的在線排放監(jiān)測記錄）。請在考慮故障發(fā)生概率的情況下修正你設(shè)計的監(jiān)測方法和補償方案。二、模型假設(shè)(1)污染物的濃度在y、z軸上的分布是高斯分布（正態(tài)分布）的；(2)污染源的源強是連續(xù)且均勻的，初始時刻云團內(nèi)部的濃度、溫度

8、呈均勻分布；(3)擴散過程中不考慮云團內(nèi)部溫度的變化，忽略熱傳遞、熱對流及熱輻射；(4)煙囪排放氣體是理想氣體，遵守理想氣體狀態(tài)方程；(5)在水平方向，大氣擴散系數(shù)呈各向同性；(6)取x軸為平均風(fēng)速方向，整個擴散過程中風(fēng)速的大小、方向保持不變，不隨地點、時間變化而變化；(7)地面對煙囪排放氣體起全反射作用，不發(fā)生吸收或吸附作用；在本模型中，將煙塵（煙氣中含有固體顆粒）的擴散與污染氣體的擴散做類似處理。(8)假設(shè)將焚燒爐視為高架點源，三臺焚燒爐對環(huán)境的影響相互獨立，其對環(huán)境的影響可進行疊加；(9)假設(shè)垃圾焚燒廠周圍居民風(fēng)險承擔(dān)經(jīng)濟補償只與綜合污染程度有關(guān)。 三、符號說明1、X（x,y,z）為下風(fēng)

9、向x米、橫向y米、地面上方z米的擴散的氣體濃度，單位為kg/ ；2、Q為源強（即源釋放速率），單位為kg/s；3、u為平均風(fēng)速，單位為m/s；4、為水平擴散參數(shù)，單位為m；5、為垂直擴散參數(shù)，單位為 m；6、t為泄漏后是時間，單位為s；7、H為泄漏源有效高度，單位為m；8、y為橫向距離，單位為m；9、z為垂直方向距離，單位為m四、問題一4.1問題分析我們根據(jù)垃圾焚燒廠周圍的風(fēng)向及風(fēng)速、居民區(qū)與焚燒廠的距離，通過兩種不同的系數(shù)確定污染程度，從而進行相關(guān)賠償。首先，根據(jù)附件4的一年的風(fēng)速與風(fēng)向的關(guān)系，算出污染系數(shù) K。其次，根據(jù)高斯煙羽模型算出各個區(qū)域的污染物的濃度，最后兩者結(jié)合設(shè)計了環(huán)境指標監(jiān)測

10、方法，實現(xiàn)對垃圾焚燒廠煙氣排放及相關(guān)環(huán)境影響狀況的動態(tài)監(jiān)控。進而，根據(jù)污染程度的不同，分成幾個污染等級，從而進行經(jīng)濟補償。4.2建立模型4.2.1條件分析1、通常風(fēng)速越大越有利于空氣中污染物質(zhì)的稀釋擴散。而長時間的微風(fēng)或靜風(fēng)則會抑制污染物質(zhì)的擴散，使近地面層的污染物質(zhì)成倍地增加。當人口聚集區(qū)處于垃圾焚燒廠煙氣排放下風(fēng)方向時會出現(xiàn)較重的污染；當人口聚集區(qū)其上風(fēng)方向時就不會受到其污染。2、根據(jù)谷歌地圖，通過垃圾焚燒廠周圍等高線的分布情況，得出垃圾場周圍3km的地形高度低于煙囪的海拔高度，定義垃圾場周圍地形為簡單地形。即可認為垃圾場周圍地形高度為0m。查閱資料得知，垃圾場周圍新田鄉(xiāng)的建筑物高度不高于

11、100m，所以，在此模型中忽略地形地貌以及建筑物的遮擋程度對污染物傳播的影響。4.2.2污染系數(shù)1、根據(jù)污染物危害的程度和受污染的時間及濃度有關(guān)，確定焚燒廠和居民點的相對位置時要考慮風(fēng)向、風(fēng)速兩個因素。 污染系數(shù)=×100%； 污染系數(shù)與風(fēng)向頻率成正比，即某一方向頻率越大，其下風(fēng)向受污染的機會越多,頻率越小，污染機會也會越小。污染系數(shù)與該風(fēng)向的平均風(fēng)速成正比，即某一方向風(fēng)速越大，則下方向的污染越少。利用excle制作如下所示表格：可以得出：一年中西風(fēng)和西南風(fēng)的天數(shù)最多，所以焚燒廠東面和東北面受到的污染較為嚴重。2、從而構(gòu)造風(fēng)向玫瑰圖以及餅狀圖說明問題綜上所述進：可以明顯看出該地區(qū)主要

12、風(fēng)向為西南風(fēng)、西風(fēng)。所以應(yīng)該在其下風(fēng)口各布置一個監(jiān)測點等等4.2.3污染物濃度1、建立坐標系高斯擴散模式適用于均一的大氣條件，以及地面開闊平坦的地區(qū)，點源的擴散模式。排放大量污染物的煙囪、放散管、通風(fēng)口等，雖然其大小不一，但是只要不是討論煙囪底部很近距離的污染問題，均可視其為點源。高斯模式的坐標系如圖所示，其原點為排放點（無界點源或地面源）或高架源排放點在地面的投影點，x軸正向為平均風(fēng)向，y軸在水平面上垂直于x軸，正向在x軸的左側(cè)，z軸垂直于水平面xoy，向上為正向，即為右手坐標系在實際中，由于地面的存在，煙羽的擴散是有界的。根據(jù)假設(shè)可以把地面看做一鏡面，對泄漏氣體起全反射作用，并采用像源法處

13、理，原理如圖2.2所示。可以把任一點p處的濃度看做兩部分的貢獻之和：一部分是不存在地面時所造成的煙囪排放物濃度；一部分是由于地面反射作用增加的煙囪排放物濃度。該處的煙囪排放物濃度即相當于不存在地面時由位于（0,0,H）的實源和位于（0,0,-H）的像源在P點處所造成的煙囪排放物濃度之和。其中，實源的貢獻為： 其中，像源的貢獻為： 則該處的實際濃度為： 由以上條件可得到高架連續(xù)點源擴散的高斯煙羽模型公式為： 令y=z=0，即可得到地面軸線氣體濃度計算公式： 其中，X（x,0,0）為下風(fēng)向x米的地面擴散氣體濃度，單位為kg/m2、擴散系數(shù)的選取擴散系數(shù)的大小與大氣湍流結(jié)構(gòu)、離地高度、地面粗糙度、泄

14、漏持續(xù)時間、抽樣時間間隔、風(fēng)速以及離開泄漏源的距離等因素有關(guān)。大氣的湍流結(jié)構(gòu)和風(fēng)速在大氣穩(wěn)定度中考慮。大氣穩(wěn)定度由10米高度以上的風(fēng)速、白天的太陽輻射或夜間的云量等參數(shù)決定。按照Pasquill的分類方法，隨著氣象條件穩(wěn)定性的增加，大氣穩(wěn)定度可以分為A、B、C、D、E、F六類。其中A、B、C三類表示氣象條件不穩(wěn)定，E、F兩類表示氣象條件穩(wěn)定，D類表示中性氣象條件，也就是說氣象條件的穩(wěn)定性在穩(wěn)定和不穩(wěn)定之間。A、B、C三種類型的穩(wěn)定度中，A類表示氣象條件極其不穩(wěn)定，B類表示氣象條件中等程度不穩(wěn)定，C類表示氣象條件弱不穩(wěn)定。E和F兩種類型的穩(wěn)定度中，E類表示氣象條件弱穩(wěn)定，F(xiàn)類表示氣象條件中等程度

15、穩(wěn)定。大氣穩(wěn)定度具體分類方法見下表1、表3。根據(jù)風(fēng)速確定大氣穩(wěn)定度B,擴散系數(shù)分別為0.16x*(1+0.0001x)(-1/2)和0.12x3、首先利用MATLAB對污染物濃度進行了求解，然后利用excle對數(shù)據(jù)進行分析如下觀察圖形發(fā)現(xiàn)其污染物濃度的變化趨勢和污染系數(shù)的變化出奇的相似，因此可以中和兩個因素進行賠償?shù)拇_定4.2.4層次分析確定賠償方案由焚燒廠的地理位置及周邊環(huán)境可知，居住在東北方向的人們頗多，然后東、北、南、東南、西南方向次之，西、西北方向居住的人最少，并給出分布權(quán)重。將距焚燒廠周圍500m的污染物濃度作為主要的因素之一（其他距離相對而言較小），然后將污染系數(shù)K也可作為一個主要

16、因素，此時我們可簡單的建立一個層次分析法來合理的計算出相應(yīng)的衡量的結(jié)果，并以此來設(shè)計經(jīng)濟賠償方案。衡量指標：經(jīng)濟賠償?shù)燃墸旱燃墸ǎ┑燃墸ǎ┑燃墸ǎ┑燃墸ǎ╋L(fēng)向北東北東東南南西南西西北污染系數(shù)K11.57912.7787.3338.758.38709743.44826.33310.385污染物濃度（1*10(-8)）C5.020234.143374.133173.65943.08063.81543.427832.62397居民分布權(quán)重W0.060.490.150.10.010.110.050.03指標3.48775525.942554.546283.2019750.25837318.234864

17、.5132520.817498表 6 各因素共同決定的衡量指標由表6 所計算的衡量指標與劃分好的等級可確定：東北風(fēng)向的居民賠償?shù)燃壸罡?，為等級，其次是西南方向的居民，為等級，較次之為東，西方向的居民，最后為東南、西北、北、南方向居民賠償?shù)燃墶?.2.5賠償方案的改進1、建立FS模型公平偏好的效用函數(shù),i,j1,2,xi為物質(zhì)收益直接效用;i為i的嫉妒偏好強度;i為i的同情偏好強度2、模型求解建立垃圾焚燒廠會對周邊環(huán)境造成影響，政府應(yīng)拿出S 對周邊居民進行補償如果垃圾焚燒廠建設(shè)的補償方案不被居民接受則雙方都將遭受損失。設(shè)該垃圾焚燒所帶來的社會總經(jīng)濟效益為1，補償方案提議補償給居民S,政府獲得經(jīng)濟

18、效益為1-S，如果該補償方案得到通過，則政府和居民分別所得為 一般認為,01，, ,否則. 首先討論居民的最優(yōu)反應(yīng)，對已給定的S如果不接受，則，；如果接受，即，.若S>(給出的補償遠遠超出合理的補償范圍)，所以居民的最優(yōu)反應(yīng)是接受。 若S<，僅當，居民的最優(yōu)反應(yīng)才是接受，否則當?shù)鼐用癫粫邮苎a償方案。由此不難看出政府要想讓居民在s<,即合理的補償方案下讓居民接受，政府需要了解居民的博弈增強因素。應(yīng)用前述的污染物擴散模型擬合了在復(fù)雜情況下十萬組包含污染物濃度的四維數(shù)據(jù)，根據(jù)圖再結(jié)合google 地圖得到各區(qū)域居民的。五、問題二一般重要的主設(shè)備都有安全保護系統(tǒng)用來起到保護作用,

19、當主設(shè)備出現(xiàn)故障時, 安全保護系統(tǒng)采取相應(yīng)的安全保護措施。5.5.1 安全系統(tǒng)的定期功能檢測主設(shè)備承受故障沖擊, 發(fā)生故障, 此時安全系統(tǒng)正好也已發(fā)生故障, 兩個故障發(fā)生, 將產(chǎn)生多重故障的嚴重故障后果, 例如, 汽車出現(xiàn)交通事故, 此時安全氣囊正好故障, 就會產(chǎn)生毀人亡的嚴重后果。因此, 主設(shè)備多重故障發(fā)生概率分析, 需要考慮兩方面因素, 一是安全系統(tǒng)自身故障發(fā)生的統(tǒng)計規(guī)律, 另一個是主設(shè)備故障沖擊因素的統(tǒng)計分布規(guī)律。安全系統(tǒng)的故障, 對于主設(shè)備使用者來講是不明顯的, 即安全系統(tǒng)的故障是隱蔽功能故障如果主設(shè)備出現(xiàn)運行偏差時, 安全系統(tǒng)不能完成規(guī)定的安全保護功能, 稱為危險故障, 可分為以下

20、2種: 不 能 檢 測 的 危 險 故 障 ( Dangerous undetected-DU): 只有在定期功能檢測或運行偏差出現(xiàn)時, 才能發(fā)現(xiàn)的危險故障。 簡稱為 DU 故障。 能檢測的危險故障 ( Dangerous detected-DD): 只要發(fā)生, 就能立即檢測到的危險故障, 例如,自檢測診斷能夠發(fā)現(xiàn)的危險故障。安全系統(tǒng)自檢測診斷只能覆蓋部分故障, 自檢測診斷不能檢測的故障, 采用定期功能檢測的方法,即定期功能檢測主要是針對 DU 故障。5.5.2 多重故障發(fā)生概率計算多重故障發(fā)生概率, 可采用精確計算方法,也可采用近似計算方法, 精確計算方法計算精度高,近似計算方法便于工程中近

21、似估計。5.5.2. 1 精確計算方法設(shè)主設(shè)備壽命密度函數(shù)為 f ( t), 安全系統(tǒng) DU故障的分布函數(shù)為FDU (t), 安全系統(tǒng)定期功能檢測的 間隔期為 f, 每次功能檢測后狀態(tài)恢復(fù)為完好如新。主設(shè)備在任意時刻 t的無限小區(qū)間 d t內(nèi), 發(fā)生故障概率為 f ( t)dt。 安全系統(tǒng)在每個功能檢測間隔期 nf, (n+ 1)f內(nèi) (n= 0, 1, 2, ), 不發(fā)生故障的概率為 1- FDU ( t- nf), 主設(shè)備故障時, 安全系統(tǒng)不發(fā)生故障, 就不會發(fā)生多重故障, 不發(fā)生多重故障的概率為5.5.2. 2 近似計算方法由于主設(shè)備壽命分布類型不同, 以及安全系統(tǒng)DU 故障類型不同,

22、有時式 ( 1)或式 ( 2)計算會比較繁瑣, 可采用簡單的近似計算方法。安全系統(tǒng)在每個功能檢測間隔期 nf, (n+ 1)f內(nèi) (n= 0, 1, 2, ), 故 障的 概 率 FDU ( t)值, 在FDU ( 0)= 0和 FDU (f)之間變化, 多重故障發(fā)生概率近似為即近似計算時, 以安全系統(tǒng) DU 故障概率 FDU(f), 作為多重故障發(fā)生概率的近似值, 是偏保守的估計方法。所以發(fā)生故障的概率P= = P故障概率f ( t)主設(shè)備壽命密度函數(shù)安全系統(tǒng)DU 故障概率n安全系統(tǒng)第n次功能檢測功能檢測間隔天數(shù)以上數(shù)據(jù)均可通過機械安全使用手冊查到下面我們給出回轉(zhuǎn)窯凈化系統(tǒng)出故障的故障樹假設(shè)

23、最底層的故障包括急冷塔供電系統(tǒng)故障的概率為P1 ，布水系統(tǒng)故障的概率為P2 ，引風(fēng)機供電系統(tǒng)故障的概率為P3 ，引風(fēng)機發(fā)生機械故障的概率為P4 ，濾袋破損的概率為P5 ，則頂事件回轉(zhuǎn)窯凈化系統(tǒng)故障的概率為 P1=。故障率P= = P1=根據(jù)我國現(xiàn)行環(huán)境污染等級，對該地區(qū)污染超標后進行綜合評價分析。六、模型的分析6.1模型的優(yōu)點分析該模型考慮了煙囪高度，風(fēng)力風(fēng)速，降雨等因素對污染物擴散分布的影響，利用MATLAB和excle對高斯煙雨模型的污染物濃度以及污染系數(shù)進行了相關(guān)分析和求解，使用層次分析法對賠償方案進行了初步確定，應(yīng)用公平偏好效用函數(shù)對賠償方案做了進一步的修改，該辦法操作簡便,可保障項目建設(shè)進程和平穩(wěn)運營,有利于和諧穩(wěn)定。我們的模型依靠計算機強大的處理計算能力，處理了大量的數(shù)據(jù)，得到的數(shù)據(jù)和結(jié)果較為合理可靠。模型引入了博弈論里最后通牒博弈概念，而且還考慮了主設(shè)備多重機器故障發(fā)生的隨機性，因而能更加客觀真實的反映出不同距離的空氣污染水平。同時充分考慮了三項代表污染物對整體空氣質(zhì)量的影響，避免了通常情況下只考慮單一污染物而忽視其他污染物的缺點。具有很好的現(xiàn)實指導(dǎo)意