原創(chuàng)高三導數(shù)壓軸題題型歸納

1、導數(shù)壓軸題題型歸納1. 高考命題回顧例1已知函數(shù)f(x)exln(xm)（2013全國新課標卷）(1)設x0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當m2時，證明f(x)0.例2已知函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y4x+2（2013全國新課標卷）（）求a，b，c，d的值（）若x2時, ，求k的取值范圍。例3已知函數(shù)滿足（2012全國新課標）(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最大值。例4已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（2011全國新課標）（）求、的值；（）如果當，且時，求的取值

2、范圍。例5設函數(shù)（2010全國新課標）(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若當時，求的取值范圍例6已知函數(shù)f(x)(x3+3x2+ax+b)ex. （2009寧夏、海南）(1)若ab3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在(,),(2,)單調(diào)增加,在(,2),(,+)單調(diào)減少,證明6.2. 在解題中常用的有關結論(1)曲線在處的切線的斜率等于，且切線方程為。(2)若可導函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立（ 不恒為0）.(5)函數(shù)（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價于在區(qū)間I上有極值，則可

3、等價轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無極值等價于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設與的定義域的交集為D，若D 恒成立，則有.(10)若對、 ，恒成立，則.若對，使得,則. 若對，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 1 xx+ 3. 題型歸納導數(shù)切線、定義、單調(diào)性、極值、最值、的直接

4、應用例7（構造函數(shù)，最值定位）設函數(shù)(其中).() 當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;() 當時,求函數(shù)在上的最大值.例8（分類討論，區(qū)間劃分）已知函數(shù),為函數(shù)的導函數(shù). (1)設函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點為A,曲線y=f(x)在A點處的切線方程是,求的值;(2)若函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例9（切線）設函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當時，曲線在點處的切線為，與軸交于點求證：.例10（極值比較）已知函數(shù)其中當時，求曲線處的切線的斜率；當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.例11（零點存在性定理應用）已知函數(shù)若函數(shù) (x) = f (x)，求函數(shù) (x)的單調(diào)區(qū)間；設直線l為函數(shù)f (x)的圖象

5、上一點A(x0，f (x0)處的切線，證明：在區(qū)間(1,+)上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g(x)相切例12（最值問題，兩邊分求）已知函數(shù).當時，討論的單調(diào)性；設當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.例13（二階導轉(zhuǎn)換）已知函數(shù)若，求的極大值；若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實數(shù)k的取值范圍.例14（綜合技巧）設函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；若有兩個極值點，記過點的直線斜率為,問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.交點與根的分布例15（切線交點）已知函數(shù)在點處的切線方程為求函數(shù)的解析式；若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值；若過點可作曲線的三條切線，

6、求實數(shù)的取值范圍例16（根的個數(shù)）已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間-1，1上的減函數(shù). （I）求的最大值； （II）若上恒成立，求t的取值范圍； （）討論關于x的方程的根的個數(shù)例17（綜合應用）已知函數(shù)求f(x)在0,1上的極值；若對任意成立，求實數(shù)a的取值范圍；若關于x的方程在0，1上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍.不等式證明例18(變形構造法)已知函數(shù)，a為正常數(shù)若，且a，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；在中當時，函數(shù)的圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明：若，且對任意的，都有，求a的取值范圍例19(高次處理證明不等式、取對數(shù)技巧)已知函數(shù).（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

7、（2）當時，設函數(shù)，若，求證例20（絕對值處理）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，且在處取得極大值（I）求實數(shù)的取值范圍；（II）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；（III）對于（II）中的函數(shù)，對任意，求證：例21（等價變形）已知函數(shù)（）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（）當且時，試比較的大小例22（前后問聯(lián)系法證明不等式）已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標為1。 （I）求直線的方程及m的值； （II）若，求函數(shù)的最大值。 （III）當時，求證：例23(整體把握，貫穿全題)已知函數(shù)（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）

8、設，求在上的最大值；（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）例24(化簡為繁，統(tǒng)一變量)設,函數(shù).（）若，求曲線在處的切線方程；（）若無零點,求實數(shù)的取值范圍；（）若有兩個相異零點,求證: .例25（導數(shù)與常見不等式綜合）已知函數(shù)，其中為正常數(shù)（）求函數(shù)在上的最大值；（）設數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項公式； （2）證明：對任意的，；（）證明：例26（利用前幾問結論證明立體不等式）已知函數(shù)f(x)=ex-ax(e為自然對數(shù)的底數(shù)). (I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)如果對任意，都有不等式f(x) x + x2成立，求實數(shù)a的取值范圍；(III)設,證明：+0時恒成立

9、，求正整數(shù)k的最大值.例36（創(chuàng)新題型）設函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的極值點,求a的值；()當 a=1時,設P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且PQ/x軸,求P、Q兩點間的最短距離；()若x0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(x)的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍例37（創(chuàng)新題型）已知函數(shù)=，.()求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（）是否存在實數(shù)，對任意給定的，在區(qū)間上都存在兩個不同的 ，使得成立.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；（）給出如下定義：對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點，如果對于

10、函數(shù)圖象上的點（其中總能使得成立，則稱函數(shù)具備性質(zhì)“”，試判斷函數(shù)是不是具備性質(zhì)“”，并說明理由.例38(圖像分析，綜合應用) 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設（）求的值；（）不等式在上恒成立，求實數(shù)的范圍；（）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的范圍導數(shù)與數(shù)列例39（創(chuàng)新型問題）設函數(shù)，是的一個極大值點若，求的取值范圍；當是給定的實常數(shù)，設是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列（其中=）依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由例40（數(shù)列求和，導數(shù)結合）給定函數(shù)(1)試求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)已知各項均為負的數(shù)列滿足,求證:;(3)設,為數(shù)列的前項

11、和,求證:.導數(shù)與曲線新題型例41（形數(shù)轉(zhuǎn)換）已知函數(shù), .(1)若, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù),求b的取值范圍;(2)在(1)的結論下,設函數(shù)的最小值;(3)設函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點R作軸的垂線分別交C1、C2于點、,問是否存在點R,使C1在處的切線與C2在處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標;若不存在,請說明理由.例42（全綜合應用）已知函數(shù).(1)是否存在點,使得函數(shù)的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由;(2)定義,其中,求;(3)在(2)的條件下,令,若不等式對且恒成立,求實數(shù)的取值范圍

12、.導數(shù)與三角函數(shù)綜合例43（換元替代，消除三角）設函數(shù)（），其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的極大值和極小值；（）當， 時，若不等式對任意的恒成立,求的值。例44（新題型，第7次晚課練習）設函數(shù).(1)討論的單調(diào)性(2)設,求的取值范圍.創(chuàng)新問題積累例45已知函數(shù). I、求的極值. II、求證的圖象是中心對稱圖形.III、設的定義域為,是否存在.當時，的取值范圍是?若存在,求實數(shù)、的值；若不存在，說明理由例46已知函數(shù)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減（1）求a的值；（2）設，若方程的解集恰好有3個元素，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)對，使

13、為偶函數(shù)？如存在，求出如不存在，說明理由導數(shù)壓軸題題型歸納 參考答案例1 (1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定義域為x|x1，f(x)ex，顯然f(x)在(1,0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增(2)證明g(x)exln(x2)，則g(x)ex(x2)h(x)g(x)ex(x2)h(x)ex0，所以h(x)是增函數(shù)，h(x)0至多只有一個實數(shù)根，又g()0，所以h(x)g(x)0的唯一實根在區(qū)間內(nèi)，設g(x)0的根為t，則有g(t)et0，所以，ett2et，當x(2，t)時，g(x)g(t)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t0，當m

14、2時，有l(wèi)n(xm)ln(x2)，所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例2（）由已知得，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分（）由（）知，設函數(shù)=（），=，有題設可得0，即，令=0得，=，=2，（1）若，則20，當時，0，當時， 0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值， 而=0，當2時，0，即恒成立，(2)若，則=，當2時，0，在(2,+)單調(diào)遞增，而=0，當2時，0，即恒成立，(3)若，則=0，當2時，不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為1,.例3（1） 令得： 得： 在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）得 當時，在上

15、單調(diào)遞增 時，與矛盾 當時， 得：當時， 令；則 當時， 當時，的最大值為例4解（） 由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以。考慮函數(shù)，則。(i)設，由知，當時，h(x)遞減。而 故當時， ，可得；當x（1，+）時，h（x）0從而當x0,且x1時，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）設0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故當x （1，+）時，h（x）0，可得 h（x）0時，若x(lna，+)，得函數(shù)在(lna，+)上是增函數(shù)；若x(-，lna)，得函數(shù)在(-，lna)上是減函數(shù)綜上所述，當a0時，函數(shù)f (

16、x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-，+)；當a0時，函數(shù)f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是(lna，+)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-，lna)5分（）由題知：不等式ex-axx+x2對任意成立，即不等式對任意成立設(x2)，于是再設，得由x2，得，即在上單調(diào)遞增， h(x)h(2)=e2-40，進而， g(x)在上單調(diào)遞增， ， ，即實數(shù)a的取值范圍是 （）由（）知，當a=1時，函數(shù)f (x)在(-，0)上單調(diào)遞減，在(0，+)上單調(diào)遞增 f (x)f (0)=1，即ex-x1，整理得1+xex令(nN*，i=1，2，n-1)，則，即，顯然， ，故不等式（nN*）成立 例27解:()又,所以,即 又因為對一切實數(shù)恒成

17、立, 即對一切實數(shù),不等式,恒成立. 顯然,當時,不符合題意. 當時,應滿足, 可得,故. 所以 ()由于, .即: . 由 所以 ()證明:因為,所以 要證不等式成立, 即證. 因為, 所以. 所以成立 例28解：（）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 函數(shù)在處取得極大值，故. （）令， 則.函數(shù)在上可導，存在，使得.，當時，單調(diào)遞增，；當時，單調(diào)遞減，；故對任意，都有. （）用數(shù)學歸納法證明.當時，且，由（）得，即，當時，結論成立. 假設當時結論成立，即當時，. 當時，設正數(shù)滿足，令， 則，且. 當時，結論也成立.綜上由，對任意，結論恒成立. 例29解：（1）當時，由

18、，由故的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為（2）即對恒成立。令，則再令在上為減函數(shù)，于是從而，于是在上為增函數(shù)故要恒成立，只要即的最小值為 （3）當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù) 單調(diào)遞減所以，函數(shù) 當時，不合題意；當時， 故 此時，當 變化時的變化情況如下：0+單調(diào)減最小值單調(diào)增對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的使得成立，當且僅當滿足下列條件 令令，得當時，函數(shù)單調(diào)遞增當時，函數(shù)單調(diào)遞減所以，對任意有即對任意恒成立。由式解得： 綜合可知，當在 使成立。例30解：（1）當用定義或?qū)?shù)證明單調(diào)性均可 （2）上恒成立.設上恒成立.可證單調(diào)增 故的取值范圍為 （3）的定義域為 當上單調(diào)增 故有兩個不相等的正

19、根m，n， 當時，可證上是減函數(shù).綜上所述，a的取值范圍為 例31解:(1) 因為為的極值點,所以 即,解得 又當時,從而為的極值點成立 (2)因為在區(qū)間上為增函數(shù), 所以在區(qū)間上恒成立 當時,在上恒成立,所以在上為增函數(shù),故符合題意 當時,由函數(shù)的定義域可知,必須有對恒成立,故只能, 所以在上恒成立 令,其對稱軸為, 因為所以,從而在上恒成立,只要即可, 因為, 解得 因為,所以. 綜上所述,的取值范圍為 (3)若時,方程可化為. 問題轉(zhuǎn)化為在上有解, 即求函數(shù)的值域 因為,令, 則, 所以當時,從而在上為增函數(shù), 當時,從而在上為減函數(shù), 因此. 而,故, 因此當時,取得最大值0 例32解

20、：當時，當，故函數(shù)在上是增函數(shù)，當，若，在上非負（僅當，x=1時，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時若，當時,；當時，此時是減函數(shù)；當時，此時是增函數(shù)故若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時不等式，可化為, 且等號不能同時取，所以，即，因而（）令（），又，當時，從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是例33解：（1）.（2）不等式 ，即，即.轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)，使對任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。設，則。設，則，因為，有。故在區(qū)間上是減函數(shù)。又故存在，使得。當時，有，當時，有。從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減。又所以當時

21、，恒有；當時，恒有；故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.例34解：（1）。函數(shù)在處與直線相切解得.當時，令得；令，得，上單調(diào)遞增，在1，e上單調(diào)遞減，. （2）當b=0時，若不等式對所有的都成立，則對所有的都成立，即對所有的都成立，令為一次函數(shù)， .上單調(diào)遞增，對所有的都成立.（注：也可令所有的都成立，分類討論得對所有的都成立，請根據(jù)過程酌情給分）例35解：（1）定義域（2）單調(diào)遞減。當，令，故在（1，0）上是減函數(shù)，即，故此時在（1，0）和（0，+）上都是減函數(shù)（3）當x0時，恒成立，令又k為正整數(shù)，k的最大值不大于3下面證明當k=3時，恒成立當x0時 恒成立 令，則，當當取得最小值當x0時，

22、 恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3例36解：()F(x)= ex+sinxax,.因為x=0是F(x)的極值點,所以. 又當a=2時,若x0, .x=0是F(x)的極小值點, a=2符合題意. () a=1, 且PQ/x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當x0時恒成立.x0,+時,h(x)的最小值為h(0)=1.|PQ|min=1. ()令則.因為當x0時恒成立, 所以函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增, S(x)S(0)=0當x0,+時恒成立; 因此函數(shù)在上單調(diào)遞增, 當x0,+時恒成立.當a2時,在0,+單調(diào)遞增,即.故a2時F(x)F(x)恒成立. 例37解：() 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

23、上單調(diào)遞減,且 的值域為 （）令，則由()可得，原問題等價于：對任意的在上總有兩個不同的實根，故在不可能是單調(diào)函數(shù) 當時, , 在區(qū)間上遞減，不合題意 當時, ,在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意當時, ,在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意當即時, 在區(qū)間上單調(diào)遞減; 在區(qū)間上單遞增，由上可得，此時必有的最小值小于等于0 而由可得，則綜上，滿足條件的不存在。（）設函數(shù)具備性質(zhì)“”，即在點處的切線斜率等于，不妨設，則，而在點處的切線斜率為，故有即，令，則上式化為，令，則由可得在上單調(diào)遞增，故，即方程無解，所以函數(shù)不具備性質(zhì)“”. 例38解:（）(1) 當時，上為增函數(shù) 故 當上為減函數(shù)故 即. .（）方程化為，

24、令， 記 （）方程化為，令， 則方程化為 （）方程有三個不同的實數(shù)解，由的圖像知，有兩個根、， 且 或 ， 記則 或 例39解： （）時，令，設是的兩個根， （1）當或時，則不是極值點，不合題意； （2）當且時，由于是的極大值點，故 ，即，()解：，令，于是，假設是的兩個實根，且由（）可知，必有，且是的三個極值點，則，假設存在及滿足題意，（1）當?shù)炔顣r，即時，則或，于是，即此時或 （2）當時，則或若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時，此時=若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時此時綜上所述，存在b滿足題意，當b=a3時，時，時，.例40 (1) 的定義域為 (此處不寫定義域,結果正確不扣分)

25、 由得或 單調(diào)減區(qū)間為和 (答案寫成(0,2)扣1分;不寫區(qū)間形式扣1分) (2)由已知可得, 當時, 兩式相減得 或 當時,若,則這與題設矛盾 于是,待證不等式即為. 為此,我們考慮證明不等式 令則, 再令, 由知 當時,單調(diào)遞增 于是 即 令, 由知 當時,單調(diào)遞增 于是 即 由.可知 所以,即 (3)由(2)可知 則 在中令n=1,2,3.2010,2011并將各式相加得 即 例41解:(1)依題意:在(0,+)上是增函數(shù), 對x(0,+)恒成立, (2)設 當t=1時,ym I n=b+1; 當t=2時,ym I n=4+2b 當?shù)淖钚≈禐?(3)設點P、Q的坐標是則點M、N的橫坐標為C1在點M處的切線斜率為 C2在點N處的切線斜率為 假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則 設 這與矛盾,假設不成立.故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行 例42 (1)假設存在點,使得函數(shù)的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上,則函數(shù)圖像的對稱中心為. 由,得, 即對恒成立,所以解得 所以存在點,使得函數(shù)的圖像上任意一點關于點M對稱的點也在函數(shù)的圖像上. (2)由(1)得. 令,則. 因為, 所以, 由+得,所以. 所以. (3)由(2)