例談螞蟻爬行路線問(wèn)題

1、例談“螞蟻爬行路線”問(wèn)題杭州文瀾中學(xué)章燕數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出數(shù)學(xué)探究活動(dòng)已成為貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)的重要課程。而數(shù)學(xué)變式教學(xué)能幫助學(xué)生養(yǎng)成類比推理的思維能力，利用“變式教學(xué)”和“變式訓(xùn)練”，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題多角度、多方位、多層次的討 論和思考，可以展示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及應(yīng)用的過(guò)程，有意識(shí)、有目 的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì) 中探究“變”的規(guī)律，使所有知識(shí)點(diǎn)融匯貫通，促進(jìn)學(xué)生更快地理解知識(shí) 的本質(zhì)、深層次挖掘知識(shí)要點(diǎn)。正方體A“螞蟻爬行路線”問(wèn)題是一類重要的幾何方案設(shè)計(jì)題，它經(jīng)常出現(xiàn)在學(xué) 生的練習(xí)和測(cè)試中，所以在初三復(fù)習(xí)課時(shí)有目的地系統(tǒng)的對(duì)這一類問(wèn)題歸 類復(fù)習(xí)。如

2、圖，已知立方體的棱長(zhǎng)為 1cm, 一只螞蟻從點(diǎn)沿立方體表面爬到點(diǎn)C,試求它爬行的最短距離是多少？分析：只要將1平面和3平面展開(kāi)，根據(jù)兩點(diǎn)之 間線段最短，可知從 A到B的最短路程就是線段AB ，則從A點(diǎn)到C點(diǎn)的最短路程長(zhǎng)就是線段 AC長(zhǎng)為 5 cm.二、長(zhǎng)方體(1)(2)(3)圖(1)中 AC= +3 +42 = 48 = 445cm圖(2) 中 AC = J(4+3( +52 =774cm圖(3) 中 AC = J(5+4$ +32 =V90 = 3VT0cm顯然圖(2)所示的線段AC是最短的爬行路線，長(zhǎng)為74cm三、圓錐 1、一圓錐地面半徑r=10cm,母線長(zhǎng)為30cm, 一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)

3、沿圓錐側(cè)面爬行一周所走的最短路徑是多少？解：把圓錐的側(cè)面沿母線 SA展開(kāi)，則螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬行周所走的最短路程就是線段 AA的長(zhǎng)r10ASA' 360360120一l30.線段AA ' = .3 SA =30 .3cm2、一圓錐地面半徑r=10cm,母線長(zhǎng)為30cm, 只螞蟻從 A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞行到母線的中點(diǎn) B,則它爬行的最短 路徑是多少？ 解：過(guò)點(diǎn)B作BJ SA交AS的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 由上題知 ASA' =120：，貝q. BSC =60，所以 CS=BS+ 2=7.5cm, BC二乜 BS 二理3 ,'J =15治。2 2貝S AB= . A

4、C2BC2 巳 30 7.5四、圓柱 有一個(gè)圓柱，在圓柱下底面的 A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A相對(duì)的B點(diǎn)處的食物。（1）當(dāng)圓柱的高等于12厘米，底面半徑為3厘米時(shí)，螞蟻沿圓柱表面 爬行的最短路程是多少？ （ 2）當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)=3厘米，底 面半徑不變時(shí)呢？分析：螞蟻從A點(diǎn)爬行到B處有兩條最短途徑可 以選擇，是A C B折線爬行，是從A點(diǎn)沿 圓柱側(cè)面爬行到點(diǎn)B。2JI4當(dāng)，二十2 = h 2r時(shí)，即h =:r時(shí)，路程、一樣長(zhǎng)I ，-2 _ 4- 2 4h>r時(shí),路程<路程；h<r時(shí)，路程路程.44解：(1) A'B' = J122 +(3兀 2 = J14

5、4+9兀2cm。(2) h+2r=3+2x 3=9cm。分析與詮釋:1、螞蟻爬行路線問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：通過(guò)對(duì)正方體、長(zhǎng)方體、圓錐等螞蟻爬 行問(wèn)題的分析，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，螞蟻爬行路線問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是通 過(guò)展開(kāi)幾何體，利用兩點(diǎn)之間線段最短，來(lái)求最短路線長(zhǎng)。而對(duì)于 圓柱問(wèn)題，由于受一些假象（如前面的幾個(gè)例子）或思維定勢(shì)影響, 易產(chǎn)生錯(cuò)誤判斷，可以讓學(xué)生掌握這一類問(wèn)題的基本解題方法，又 不只是讓學(xué)生生吞活剝，生搬硬套，而是抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。2、培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效益：這堂課通過(guò)一個(gè)問(wèn)題的多種不同背 景、情境的設(shè)計(jì)，暴露問(wèn)題的本質(zhì)，揭示不同知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系， 或同一知識(shí)點(diǎn)在不同情境中的變化應(yīng)用，能增加學(xué)生的新

6、奇感和參 與感，教學(xué)、學(xué)習(xí)中的興奮點(diǎn)不斷閃現(xiàn)，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心、 求知欲和創(chuàng)造力，提高學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情，比如：還 可以引導(dǎo)學(xué)生“兩點(diǎn)之間線段最短”在其他情境中的應(yīng)用的歸納， 學(xué)生不難可以找到一些平時(shí)遇到的問(wèn)題，如白馬飲水問(wèn)題等，這樣 比單純的“找題一一解題一一講題”可以使學(xué)生取得更多的教學(xué)效3、利用幾何畫(huà)板可以很直觀地呈現(xiàn)出螞蟻爬行路線在將側(cè)面展開(kāi)來(lái)以后的直線路線，也可以通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的路線的長(zhǎng)度的不停的變換更能直觀地找出圓柱這個(gè)模型中的螞蟻的兩條爬行路線的長(zhǎng) 短比較 。4、利用幾何畫(huà)板可以讓學(xué)生自己在電腦上實(shí)現(xiàn)拖動(dòng)點(diǎn)，或者展開(kāi) 側(cè)面等操作，可以把學(xué)生的思維的火花直接地迅速地

7、在課堂上呈現(xiàn) 給學(xué)生，有很好的交互性。 文瀾中學(xué) 章燕幾何畫(huà)板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)代教育理念倡導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，初中的數(shù)學(xué)課堂主要要讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的生成 過(guò)程，其實(shí)就是知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生探索和創(chuàng)新精神，而幾何畫(huà)板為現(xiàn)在教育理念 下的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供一種有效的輔助工具。幾何畫(huà)板相對(duì)于 flash 等動(dòng)畫(huà)制作工具，具有學(xué)習(xí)容易，操作簡(jiǎn)單，而且能夠滿足中學(xué)數(shù) 學(xué)的教學(xué)需求，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛。在我的日常教學(xué)工作中，我發(fā)現(xiàn)幾何畫(huà) 板有以下的應(yīng)用，使我的教學(xué)更直觀和生動(dòng)。第一、 教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)任意的三角形中或任意的其他幾何圖形中某個(gè)命題都成立， 幾何畫(huà) 板能夠制作動(dòng)

8、態(tài)的幾何圖形，并且在幾何圖形動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中能夠保持幾何圖形不 變性質(zhì)，這正是其他教學(xué)軟件所不具備的重要特征，因此可以運(yùn)用它在變化的圖形中 發(fā)現(xiàn)恒定不便的幾何規(guī)律，相對(duì)于傳統(tǒng)的黑板教學(xué)中更具有說(shuō)服力。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量 關(guān)系和空間形式的科學(xué)， 幾何畫(huà)板能很好的把數(shù)和形潛在關(guān)系及其變化動(dòng)態(tài)顯示 出來(lái)，隨時(shí)觀察到各種情況下數(shù)量關(guān)系及其變化，更加能夠找出題目中的規(guī)律或者變 量與不變量。所以幾何畫(huà)板可以使教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)更加直觀，再比如圖形的變換：軸 對(duì)稱、平移、相似以及旋轉(zhuǎn)變換，運(yùn)用幾何畫(huà)板能通過(guò)簡(jiǎn)單的操作進(jìn)行直觀地呈現(xiàn)， 還有圓的教學(xué)中的動(dòng)態(tài)變化； 運(yùn)動(dòng)類型題目的潛在變量和不變量地呈現(xiàn)都能通過(guò)幾何 畫(huà)板生

9、動(dòng)而簡(jiǎn)潔地展示給學(xué)生。第二、課堂上，學(xué)生很可能在學(xué)習(xí)過(guò)程中閃現(xiàn)出“奇思妙想”的思維火花。幾何畫(huà)板有 了交互性，就能給學(xué)生提供參與機(jī)會(huì)，可以讓學(xué)生自己操作，實(shí)現(xiàn)自我學(xué)習(xí)，使學(xué)生 想象力得到充分發(fā)揮，也成為一個(gè)真正研究者。第三、在數(shù)學(xué)科學(xué)研究中，數(shù)學(xué)家需要反復(fù)實(shí)驗(yàn)才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后才是進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯論 述和證明。一個(gè)有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程，是學(xué)生以一種積極心態(tài)，調(diào)動(dòng)原有知識(shí)，和經(jīng)驗(yàn)， 嘗試解決問(wèn)題，同化新知識(shí)并建構(gòu)新的認(rèn)構(gòu)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。所有新知識(shí)，只有通過(guò)學(xué)生 再創(chuàng)造的活動(dòng)，使其納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，才可能成為有效的，活的知識(shí)。幾何 畫(huà)板就提供了一個(gè)很好的可以經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的嘗試、實(shí)驗(yàn)操作的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，比傳