例談螞蟻爬行路線問題

1、例談“螞蟻爬行路線”問題杭州文瀾中學(xué)章燕數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出數(shù)學(xué)探究活動已成為貫穿整個初中數(shù)學(xué)的重要課程。而數(shù)學(xué)變式教學(xué)能幫助學(xué)生養(yǎng)成類比推理的思維能力，利用“變式教學(xué)”和“變式訓(xùn)練”，通過對數(shù)學(xué)問題多角度、多方位、多層次的討 論和思考，可以展示數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展以及應(yīng)用的過程，有意識、有目 的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì) 中探究“變”的規(guī)律，使所有知識點(diǎn)融匯貫通，促進(jìn)學(xué)生更快地理解知識 的本質(zhì)、深層次挖掘知識要點(diǎn)。正方體A“螞蟻爬行路線”問題是一類重要的幾何方案設(shè)計(jì)題，它經(jīng)常出現(xiàn)在學(xué) 生的練習(xí)和測試中，所以在初三復(fù)習(xí)課時有目的地系統(tǒng)的對這一類問題歸 類復(fù)習(xí)。如

2、圖，已知立方體的棱長為 1cm, 一只螞蟻從點(diǎn)沿立方體表面爬到點(diǎn)C,試求它爬行的最短距離是多少？分析：只要將1平面和3平面展開，根據(jù)兩點(diǎn)之 間線段最短，可知從 A到B的最短路程就是線段AB ，則從A點(diǎn)到C點(diǎn)的最短路程長就是線段 AC長為 5 cm.二、長方體(1)(2)(3)圖(1)中 AC= +3 +42 = 48 = 445cm圖(2) 中 AC = J(4+3( +52 =774cm圖(3) 中 AC = J(5+4$ +32 =V90 = 3VT0cm顯然圖(2)所示的線段AC是最短的爬行路線，長為74cm三、圓錐 1、一圓錐地面半徑r=10cm,母線長為30cm, 一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)

3、沿圓錐側(cè)面爬行一周所走的最短路徑是多少？解：把圓錐的側(cè)面沿母線 SA展開，則螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬行周所走的最短路程就是線段 AA的長r10ASA' 360360120一l30.線段AA ' = .3 SA =30 .3cm2、一圓錐地面半徑r=10cm,母線長為30cm, 只螞蟻從 A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞行到母線的中點(diǎn) B,則它爬行的最短 路徑是多少？ 解：過點(diǎn)B作BJ SA交AS的延長線于點(diǎn) G 由上題知 ASA' =120：，貝q. BSC =60，所以 CS=BS+ 2=7.5cm, BC二乜 BS 二理3 ,'J =15治。2 2貝S AB= . A

4、C2BC2 巳 30 7.5四、圓柱 有一個圓柱，在圓柱下底面的 A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A相對的B點(diǎn)處的食物。（1）當(dāng)圓柱的高等于12厘米，底面半徑為3厘米時，螞蟻沿圓柱表面 爬行的最短路程是多少？ （ 2）當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)=3厘米，底 面半徑不變時呢？分析：螞蟻從A點(diǎn)爬行到B處有兩條最短途徑可 以選擇，是A C B折線爬行，是從A點(diǎn)沿 圓柱側(cè)面爬行到點(diǎn)B。2JI4當(dāng)，二十2 = h 2r時，即h =:r時，路程、一樣長I ，-2 _ 4- 2 4h>r時,路程<路程；h<r時，路程路程.44解：(1) A'B' = J122 +(3兀 2 = J14

5、4+9兀2cm。(2) h+2r=3+2x 3=9cm。分析與詮釋:1、螞蟻爬行路線問題的實(shí)質(zhì)：通過對正方體、長方體、圓錐等螞蟻爬 行問題的分析，可以讓學(xué)生認(rèn)識到，螞蟻爬行路線問題的實(shí)質(zhì)是通 過展開幾何體，利用兩點(diǎn)之間線段最短，來求最短路線長。而對于 圓柱問題，由于受一些假象（如前面的幾個例子）或思維定勢影響, 易產(chǎn)生錯誤判斷，可以讓學(xué)生掌握這一類問題的基本解題方法，又 不只是讓學(xué)生生吞活剝，生搬硬套，而是抓住問題的實(shí)質(zhì)。2、培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效益：這堂課通過一個問題的多種不同背 景、情境的設(shè)計(jì)，暴露問題的本質(zhì)，揭示不同知識點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系， 或同一知識點(diǎn)在不同情境中的變化應(yīng)用，能增加學(xué)生的新

6、奇感和參 與感，教學(xué)、學(xué)習(xí)中的興奮點(diǎn)不斷閃現(xiàn)，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心、 求知欲和創(chuàng)造力，提高學(xué)生參與教學(xué)活動的興趣和熱情，比如：還 可以引導(dǎo)學(xué)生“兩點(diǎn)之間線段最短”在其他情境中的應(yīng)用的歸納， 學(xué)生不難可以找到一些平時遇到的問題，如白馬飲水問題等，這樣 比單純的“找題一一解題一一講題”可以使學(xué)生取得更多的教學(xué)效3、利用幾何畫板可以很直觀地呈現(xiàn)出螞蟻爬行路線在將側(cè)面展開來以后的直線路線，也可以通過移動點(diǎn)相對應(yīng)的路線的長度的不停的變換更能直觀地找出圓柱這個模型中的螞蟻的兩條爬行路線的長 短比較 。4、利用幾何畫板可以讓學(xué)生自己在電腦上實(shí)現(xiàn)拖動點(diǎn)，或者展開 側(cè)面等操作，可以把學(xué)生的思維的火花直接地迅速地

7、在課堂上呈現(xiàn) 給學(xué)生，有很好的交互性。 文瀾中學(xué) 章燕幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)代教育理念倡導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，初中的數(shù)學(xué)課堂主要要讓學(xué)生體驗(yàn)知識的生成 過程，其實(shí)就是知識的再發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生探索和創(chuàng)新精神，而幾何畫板為現(xiàn)在教育理念 下的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供一種有效的輔助工具。幾何畫板相對于 flash 等動畫制作工具，具有學(xué)習(xí)容易，操作簡單，而且能夠滿足中學(xué)數(shù) 學(xué)的教學(xué)需求，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛。在我的日常教學(xué)工作中，我發(fā)現(xiàn)幾何畫 板有以下的應(yīng)用，使我的教學(xué)更直觀和生動。第一、 教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)任意的三角形中或任意的其他幾何圖形中某個命題都成立， 幾何畫 板能夠制作動

8、態(tài)的幾何圖形，并且在幾何圖形動態(tài)變化過程中能夠保持幾何圖形不 變性質(zhì)，這正是其他教學(xué)軟件所不具備的重要特征，因此可以運(yùn)用它在變化的圖形中 發(fā)現(xiàn)恒定不便的幾何規(guī)律，相對于傳統(tǒng)的黑板教學(xué)中更具有說服力。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量 關(guān)系和空間形式的科學(xué)， 幾何畫板能很好的把數(shù)和形潛在關(guān)系及其變化動態(tài)顯示 出來，隨時觀察到各種情況下數(shù)量關(guān)系及其變化，更加能夠找出題目中的規(guī)律或者變 量與不變量。所以幾何畫板可以使教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)更加直觀，再比如圖形的變換：軸 對稱、平移、相似以及旋轉(zhuǎn)變換，運(yùn)用幾何畫板能通過簡單的操作進(jìn)行直觀地呈現(xiàn)， 還有圓的教學(xué)中的動態(tài)變化； 運(yùn)動類型題目的潛在變量和不變量地呈現(xiàn)都能通過幾何 畫板生

9、動而簡潔地展示給學(xué)生。第二、課堂上，學(xué)生很可能在學(xué)習(xí)過程中閃現(xiàn)出“奇思妙想”的思維火花。幾何畫板有 了交互性，就能給學(xué)生提供參與機(jī)會，可以讓學(xué)生自己操作，實(shí)現(xiàn)自我學(xué)習(xí)，使學(xué)生 想象力得到充分發(fā)揮，也成為一個真正研究者。第三、在數(shù)學(xué)科學(xué)研究中，數(shù)學(xué)家需要反復(fù)實(shí)驗(yàn)才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后才是進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯論 述和證明。一個有意義的學(xué)習(xí)過程，是學(xué)生以一種積極心態(tài)，調(diào)動原有知識，和經(jīng)驗(yàn)， 嘗試解決問題，同化新知識并建構(gòu)新的認(rèn)構(gòu)結(jié)構(gòu)的過程。所有新知識，只有通過學(xué)生 再創(chuàng)造的活動，使其納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，才可能成為有效的，活的知識。幾何 畫板就提供了一個很好的可以經(jīng)過無數(shù)次的嘗試、實(shí)驗(yàn)操作的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，比傳