極化恒等式(學(xué)生版)

1、時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日課題：極化恒等式在向量問(wèn)題中的應(yīng)用之邯鄲勺丸創(chuàng)作目標(biāo) 1 通過(guò)自主學(xué)習(xí)掌握極化恒等式兩種模式，理解其幾何意義；時(shí)間：二目標(biāo) 2-1 :通過(guò)對(duì)例 1 的自主學(xué)習(xí)掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值；目標(biāo) 2-2：通過(guò)對(duì)例 2 的自主學(xué)習(xí)掌握用極化恒等式求數(shù)量積的最值、規(guī)模; 學(xué)目標(biāo) 2-3：通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)掌握極化恒等式解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問(wèn)題重點(diǎn)掌握極化恒等式，利用它解決一類(lèi)與數(shù)量積有關(guān)的向量問(wèn)題難點(diǎn)按照具體的問(wèn)題情境，靈活運(yùn)用極化恒等式閱讀以下資料 1：閱讀資料，了解極化恒等式的由來(lái)過(guò)程，掌握極化恒等式 閱讀 資料：的兩種模式，并理解

2、其幾何意義引例：平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型。你能用向量方法證明： 平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的 平方和結(jié)論： 平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍 思考 1:如果將上面 （1）（ 2）兩式相減，能得到什么結(jié)論呢？ 1 1i2-I* 2a b=-a b ab -極化恒等式4對(duì)于上述恒等式，用向量運(yùn)算顯然容易證明那么基于上面的引例，你覺(jué)得極化恒等式的幾何意義是什么？幾何意義：向量的數(shù)量積可以暗示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的和對(duì)角1線(xiàn)”與差對(duì)角線(xiàn)”平方差的丄.412 2目標(biāo)達(dá)成途徑學(xué)習(xí)自我評(píng)價(jià)等于兩條鄰邊平方和的兩倍.證明：不妨設(shè) ABa，AD b，則 ACa b,DBa b,

3、+2+2 .- 2* 2* -ACACa baa2a b2-* 2 -卡2K-DBDBa ba2ab22*ACDB2abAD2_F22 AB（1）（ 2）時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日即：a b一AC DB（平行四邊形模式）4時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日思考：在圖 1 的三角形 ABD 中（M 為 BD 的中點(diǎn)），此恒等式如何暗示呢?- 212因?yàn)锳C 2AM，所以a b |AM |-|DB|（三角形模式）目標(biāo) 2-1：掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值例 1.（2012 年浙江文 15）在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM 3,BC

4、 10,則AB AC解：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得:ABAC|AM|2*BCI=9- 100= -16【小結(jié)】在運(yùn)用極化恒等式的三角形模式時(shí)，關(guān)頭在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線(xiàn)，再寫(xiě)出極化恒等式.目標(biāo)檢測(cè)（2012 北京文 13 改編）已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1, 點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 DE DA 的值為 _ .例2.（自編）已知正三角則PA PB勺取值范圍是解：取 AB 的中點(diǎn) D,連結(jié) CD,因?yàn)槿切?ABC 為 正三角形，所以 O 為三角形 ABC 的重心，0 在 CD 上,2，所以CDAB）且OC 2OD（也可用正弦定理求 又由極化恒等式得：2PA

5、PB PD1|AB4徑數(shù)哪的最值、點(diǎn)規(guī)是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),3,AB 2 3PD因?yàn)?P 在圓 O 上，所以當(dāng) P 在點(diǎn) C 處時(shí),| PD |max當(dāng) P 在 CO 的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓 O 的交點(diǎn)處時(shí),| PD |min所以PA PB 2,6【小結(jié)】涉及數(shù)量積的規(guī)模或最值時(shí)，可以利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變成單變量,再用數(shù)形結(jié)合等辦法求出單變量的規(guī)模、最值即可目標(biāo)檢測(cè)2 2（2010 福建文 11）若點(diǎn) O 和點(diǎn) F 分別為橢圓 亍 1 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則 OP FP 的最大值為（）A.2B.3C.6D.8問(wèn)題、疑惑、錯(cuò)解匯集時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日時(shí)間：二 0 二

6、一年七月二十九日能力提升目標(biāo) 2-3 :會(huì)用極化恒等式解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問(wèn)題，1例 3.（ 2013 浙江理 7）在ABC中,P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿(mǎn)足P0B -AB,且對(duì)4于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有PB PC P）B PC則（）A.ABC 90B.BAC 90，C.AB ACD.AC BC/目標(biāo)檢測(cè)/（2008 浙江理 9）已知 a, b 是平面內(nèi) 2 個(gè)互相垂直的單位向量，若向量 c 滿(mǎn)足(a c) (b c) 0,則 c 的最大值是()A.1B.2C.J2D.也2問(wèn)題、疑惑匯集知識(shí)、辦法總結(jié)本課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？極化恒等式：平行四邊形模型：三角形模型：極化恒等式在處理與有關(guān)問(wèn)題時(shí)，

7、顯得較有優(yōu)越性.課后檢測(cè)1在ABC中，BAC 60若AB 2,BC J3,D在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng),DB DA的最小值為2已知AB是圓O的直徑，AB長(zhǎng)為 2,C是圓O上異于A, B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日時(shí)間：二 0 二一年七月二十九日一點(diǎn)則OP FP的取值規(guī)模是PA PB PC的最小值為(A.11一 B.431C.2D.13 .在ABC中，AB3,AC4,BAC60,若P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AP 2,則PB PC的最大值為4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F( 2,0)辨別是雙曲線(xiàn)2x2a2y 1(a0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)右支上任意5在Rt ABC,AC BC 2,已知點(diǎn)ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PC (PA PB)的最小6.已知A、滿(mǎn)足0C OA (1)OB(01),則CM CN的取值規(guī)模是()12,1B.1,1C.3,0D.1,047.正ABC邊長(zhǎng)等于.3 ，點(diǎn)P在其外接圓上運(yùn)動(dòng),則AP PB的取值規(guī)模是()3 3A., B.2 23 11 32,2C.2,2D.1 12,2&在銳角ABC中