判別式與韋達(dá)定理

1、判別式與韋達(dá)定理根的判別式和韋達(dá)定理是實(shí)系數(shù)一元二次方程的重要基礎(chǔ)知識(shí)， 利用它們可進(jìn)一步研究根的性質(zhì)， 也可以將一些表面上看不是一元二次方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)討論1判別式的應(yīng)用例1已知實(shí)數(shù)a、b、c、R、P滿足條件 PR > 1, Pc+2b+Ra=0.求證 ：一元二次方程 ax 2+2bx+c=0 必有實(shí)根 .證明 : = (2b )2-4ac. 若一元二次方程有實(shí)根，必須證AAO.由已知條件有 2b=-( Pc+Ra ),代入，得= ( Pc+Ra ) 2-4ac= ( Pc) 2+2PcRa+ ( Ra) 2-4ac= ( Pc-Ra ) 2+4ac ( PR-1 ) .

2、(Pc-Ra ) 2O,又 PR> 1 , a工0,(1 )當(dāng)ac >0時(shí)，有厶。;(2)當(dāng) acv 0 時(shí)，有 = (2b ) 2-4ac > 0.(1 )、( 2)證明了>，故方程ax2+2bx+c=0 必有實(shí)數(shù)根.例2 k是實(shí)數(shù)，0是數(shù)軸的原點(diǎn)，A是數(shù)軸上的點(diǎn)，它的坐標(biāo)是正數(shù)a.P是數(shù)軸上另一點(diǎn)坐標(biāo)是 x,x v a，且 OP 2=k PA OA.(1 ) k為何值時(shí)，x有兩個(gè)解xi , X2 (設(shè)xi v X2)；(2)若k> 1，把xi, X2, 0, a按從小到大的順序排列，并用不等號(hào)“v”連接 .解(1)由已知可得x2=k a-x ) a，即x2+k

3、ax-ka 2=0，當(dāng)判別式> 0時(shí)有兩解，這時(shí)=k2a2+4ka 2=a2k(k+4 )>0./a> 0 ,* (k+4 ) > 0，故 k v -4 或 k > 0.( 2)x1v 0v x2v a.例 3 證明不可能分解為兩個(gè)一次因式之積.分析 若視原式為關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式，則可利用判別式求解證明:將此式看作關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式，則判別式=顯然不是一個(gè)完全平方式，故原式不能分解為兩個(gè)一次因式之積例3 已知x，y，z是實(shí)數(shù)，且 x+y+z=a 2x2+y2+z2= 1a2求證：0 Wxw 2a, 0 Wy w 2a , 0 <z< 2a.33

4、3分析：將代入可消去一個(gè)字母，如消去z,然后整理成關(guān)于y的二次方程討論證明：由得z=a-x-y，代入整理得此式可看作關(guān)于 y 的實(shí)系數(shù)一元二次方程，據(jù)已知此方程有實(shí)根，故有 =16 (x-a ) 2-16 (4x2-4ax+a 2)>0同理可證：220 wy <- a , 0 wzw- a.33例5設(shè)ai, a2, a3, b是滿足不等式(ai +a 2+a 3) 2>2) +4b的實(shí)數(shù) .求證： aia2+a 2a3+a 3ai>3b.證明 : 由已知可得WO.是實(shí)數(shù)，故為，即有(ai+a2) 2 >() -2a 1a2+4b+r)-(a1+a 2)2+4b.)

5、+2b ,.aia2b.于是(ai+a2) 2>(同理有a2a3 >b, a3ai >b.三式相加即得aia2+a 2a3+a 3ai >3b.例6設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，方程組x 2與y ax bx c yx2 axbx c均無(wú)實(shí)數(shù)根求證:對(duì)于一切實(shí)數(shù)X都有ax2 bx c右證明：由已知條件可以推出a丸，因?yàn)槿鬭=0，則方程組y xy bx cxbx至少有c一個(gè)有實(shí)數(shù)解進(jìn)一步可知，方程ax2+bx+c= ±x 無(wú)實(shí)根，因此判別式 =(b m1)2-4ac v 0 ,于是(b-1 ) 2+(b+1 ) -8ac v 0.即 4ac-b 2 > 1.2bx2a

6、4ac b2> a? 121a4 a4a2ax2bx c a2 .韋達(dá)定理的應(yīng)用假設(shè)XI、X2 是方程 x2- (a+d ) x+ad-bc=O的根證明這時(shí)xi3、X23是方程證明：由已知條件得的根=a 3 +d 3 +3abc+3bcd是方程由韋達(dá)定理逆定理可知,的根 .例 8 已知兩個(gè)系數(shù)都是正數(shù)的方程aix2+b ix+c 1=0 a2x2+b 2X+C 2=0 都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：也有兩個(gè)負(fù)根（1）這兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是負(fù)值；（2） 方程 a1a2x2+b 1b2x+c 1c2=0證明：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,0. 同理> 0.又 a1、b1、c1 都是正數(shù)，V 0.由此可知方程的兩

7、根是負(fù)值 .同樣可證方程的兩根也是負(fù)值顯然aiciv 4a ici代入，得由> 0，得方程也有兩個(gè)實(shí)數(shù)根又 aia2>0, bib2>0, cc>0,V 0.0，由此可知方程的兩個(gè)根也是負(fù)值 .例9 對(duì)自然數(shù)n,作x的二次方程x2+ (2n+1 ) x+n 2=0，使它的根為a n和旳.求下式的值：解：由韋達(dá)定理得(n >3),原式例 10 首項(xiàng)不相等的兩個(gè)二次方程（ a-1 ）x2- （ a2+2 ） x+ （a2+2a ）=0及（b-1 ） x2- （b2+2 ） x+ （b2+2b ） =0其中 a，b 為正整數(shù)） 有一公共根， 求的值.解：由題得知，a,

8、b為大于1的整數(shù)，且a斗）.設(shè)xo是方程的公共根，則 xoT ,否則將 x=1 代入得 a=1 ，矛盾 .得 x0 代入原方程，并經(jīng)變形得及所以 a ，b 是關(guān)于 t 的方程相異的兩根，因此） =3.a=4b=2于是 ab- （a+b ）=2 ，即（ a-1 ）（ b-1 由 ba-11=13 或 ab-11=13 ， 解得 ba=42 或例 11 設(shè)實(shí)數(shù) a， b， c 滿足a2 -bc-8a+7=0(1)b2 +c2 +bc-6a+6=0 (2)求證:1 wa W9.證明： 由( 1 )得 bc=a 2-8a+7.1） - （ 2）得 b+c=所以實(shí)數(shù) b，c 可看成一元二次方程的兩根，則

9、有0，即>0,即(a-1 )( a-9 )WO,.1 <a <9.例12 求證：對(duì)任一矩形 A，總存在一個(gè)矩形 B，使得矩形A和矩形B的周長(zhǎng)和面積比都等于常數(shù) k( k>1 ) .分析 設(shè)矩形A及B的長(zhǎng)度分別是a，b及x, y，為證明滿足條件的矩形B存在，只須證明方程組x y k(a b xy kabk, a, b 為已知數(shù))有正整數(shù)解即可再由韋達(dá)定理,其解 x, y 可以看作是二次方程z2-k ( a+b ) z+kab=0 的兩根 .k >1，故判別式=k 2 (a+b ) 2-4kab >k2 (a+b ) 2-4k 2ab=k 2 (a-b ) 2

10、>0,上述二次方程有兩實(shí)根 Z1 , Z2.又 zi+z 2=k (a+b ) > 0 , ziZ2=kab > 0 ,從而，Z1> 0 , Z2> 0,即方程組恒有x > 0 , y > 0的解，所以矩形 B總是存在的.練習(xí)1 填空題11 n 已知方程x2-8x+15=0的兩根可以寫成 a2+b 2與a-b,其中a與b是方程x2+px+q=0的兩根，那么 |p|-q=.2.選擇題(1) 若p,q都是自然數(shù)，方程px2-qx+1985=0的兩根都是質(zhì)數(shù) 貝U 12p 2+q的值等于().(A)404(B)1998(C)414(D)1996一(1) 設(shè)方

11、程x-=1987的兩根為m ,n(m > n)，則代數(shù)式m 的值是x1n11(2) 若r和s是方程x2-px+q=0的兩非零根，則以r2+ -和s2+云為根的方程是s2r方程(1984x) 2-1983 4985X-仁0的較大根為r,x2 + 1983x-1984=0的較小根為 s,則r-s等于（）.1(A)(B)198519851984(C)198519831984（3）x 2+px+q 2=0（p工0）的兩個(gè)根為相等的實(shí)數(shù)，則x2-qx+p 2=0的兩個(gè)根必為（）（A）非實(shí)數(shù)（B）相等兩實(shí)數(shù)（C）非實(shí)數(shù)或相等兩實(shí)數(shù)（D）實(shí)數(shù)（4 ）如果關(guān)于方程 mx2-2 （ m+2 ）x+m+5=

12、0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于 x的方程（m-5）x2-2 （ m+2）x+m=0 的實(shí)根個(gè)數(shù)為(A)2(B)1(C)0（D）不確定3 .設(shè)a1丸，方程a1x2+b 2x+c 仁0 的兩個(gè)根是 1-a 1 和 1+a 1 ； a1x2+b 1x+c 2=0 的兩個(gè)2根是一-1和1-a1 2;a1x2+b 1x+c 1=0 的兩根相等，求 a1, b 1, C1, b2, C2 的值.a14. 常數(shù)a是滿足1 <a <50的自然數(shù).若關(guān)于x的二次方程（x-2） 2+（x-a） 2=x 2的兩根都是自然 數(shù)試求a的值.5. 設(shè)X2、X2為正系數(shù)方程 ax2+bx+c=0的兩根，X1+X2=m

13、, X1 X2=n2，且 m , n.求證：（1）如果m v n,那么方程有不等的實(shí)數(shù)根;（2）如果m > n ,那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.6 .求作一個(gè)以兩正數(shù)a,3為根的二次方程，并設(shè)a,3滿足) =0 有實(shí)根？的判別式的值7 當(dāng) a， b 為何值時(shí)，方程 x2+ (1+a )x+ ( 3a 2 +4ab+4b 2+28. 試證： 1986 不能等于任何一個(gè)整系數(shù)二次方程ax2+bx+c=09. 方程 x2+ax+1=b 的根是自然數(shù)，證明 a2+b 2是合數(shù) . 標(biāo)準(zhǔn)文檔10 不用輔助工具解答：1）證滿足的根在和 197.99494949間;2 ）同（ 1 ）證V 1.41421356.練習(xí)答案 :1.(1)(2)(3) 3.2. C B A.3.4.x=a+2 ±由于 x 為自然數(shù)， 可知 a 為完全平方數(shù)即 a=1 ，4，9，1