利用極坐標解圓錐曲線題

1、（焦點）的距離和一F作相應準線的垂線，若允許p< 0,方程利用極坐標解題知識點精析：橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個定點條定直線（準線）的距離的比等于常數(shù) e的點的軌跡.以橢圓的左焦點（雙曲線的右焦點、拋物線的焦點 ）為極點，過點 垂足為K,以FK的反向延長線為極軸建立極坐標系.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標方程為：1 ecos其中 p是定點 F到定直線的距離，p> 0.當0v ev 1時，方程表示橢圓；當e> 1時，方程表示雙曲線，若p> 0,方程只表示雙曲線右支, 就表示整個雙曲線；當e=1時，方程表示開口向右的拋物線引論（1） 若1+ecos則0v e

2、v 1當時，方程表示極點在右焦點上的橢圓當e=1時時，方程表示開口向左的拋物線當e>1方程表示極點在左焦點上的雙曲線（2 ）若eP1-esi n當0 v ev1時，方程表示極點在下焦點的橢圓當e=1時，方程表示開口向上的拋物線當e > 1時!方程表示極點在上焦點的雙曲線(3) 亠1 / 11當0 v ev1時，方程表示極點在上焦點的橢圓 當e=1時，方程表示開口向下的拋物線當e > 1時!方程表示極點在下焦點的雙曲線 例題選編(1)二次曲線基本量之間的互求310解法一：2531 3cos1 3cos例1.(復旦自招)確定方程55表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。5 3cos1

3、03c3325acaa558b21051015a ccc333825 215 2（6）（6）方程表示橢圓的離心率 e解法二：轉化為直角坐標(2)圓錐曲線弦長問題 若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過焦點F,5，焦距了 長軸長T '短軸長51、橢圓中,2 ,2abccc,MNep1 ecos2ep2ab1 ecos（ ） a2 c2 cos24 +嶺=1(戊若橢圓方程為 "''半焦距為|:.，焦點氣1廠,設過的直線2的傾斜角為偽'交橢圓于A B兩點，求弦長祖型圖1解：連結耳4耳"設厲衛(wèi)匸"1尸/4戸，由橢圓定義得|JSji|= 2a-x, F2B=

4、2a-y，由余弦定理得 F+（2 巧】_ 2十 2c-c陰”=（勿 _ x尸同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為2ab2瓦-2a -c sin 1 a（a為長半軸,b為短半軸,x = y 整理可得a-cesa，同理可求得總+匸 曲©，則弦長|AS|= k + 丁 =-tb1 +-I - C COS Ct ii +c cos a a2-d cos2 ac為半焦距） 結論：橢圓過焦點弦長公式:AB= *、n :焦點掃軸上） a c cos 皿浮2 （焦點杞軸上）& - c sin a2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若M、N在雙曲線同一支上，MNe

5、pep2ab21 ecos1 ecos( 2 2 2 ；)a c cos若M、N在雙曲線不同支上，MNepep2ab21 ecos1 ecos2 2 2 c cosa設雙曲線4-4=i<a>0j屮b2其中兩焦點坐標為匸 -;門，過.；的直線IJ的傾斜角為廠，交雙曲線于 A B兩點，求弦長|AB| 。bbarctan <a <庚一arctan 解：(1)當儒洛時，(如圖2)直線/與雙曲線的兩個交點A、B在同一交點上，連-，設' 'I 1，由雙曲線定義可得|耳川三靳+島|耳國二鮎+卩，由余弦定理可得只+ (2疔-2工2-皿口=(加+訐孟 y三整理可得 h +

6、 gcx空，同理 a -c-cosa，則可求得弦長|A9|=掘 + y =2abc cos a囲20 < or < arctan bjz arc tan <£< n:a或(2 )當時，如圖3,直線I與雙曲線交點a -tc cos a a-c- comet在兩支上，連禺A 驢，設|恥|即7，則迓胡2僅+工，|再召|(zhì)一力由余弦定理可得 I、' '、- ，j? +(2ff)a -2y 2c cos( - oj) = (y- Zdf圖3整理可得| JS|= -j +二C CC-5£K-d! a -C C05G /因此焦點在x軸的焦點弦長為2c

7、?3»2 y bh(arctan < a u 丸一arctan )a cJ cos ctaa2a/22 COS ql a(0 < o < arctan 丄 或龍-arctan < c < 5r)aa同理可得焦點在 y軸上的焦點弦長公式|=<r ”、* f0 er < arctan - arctan < g < jt)宀八血匕bb2asm £x a(arctan < c& <5r arctan )bb其中a為實半軸，b為虛半軸，c為半焦距，匚為AB的傾斜角。3、拋物線中,MNP1 cosp2p2-1 c

8、os( ) sin若拋物線p "聲心 0）與過焦點E '的直線/相交于A、B兩點，若/的傾斜角為 川，求弦長|AB| ?（圖4）解：過A、B兩點分別向x軸作垂線心1、左耳，廣禺|為垂足，設1站1二春,IF£p+ 7 - COS£g則點A的橫坐標為- -y- cos a點B橫坐標為2由拋物線定義可得pppp+ JCOSC? + = X! - V - COS £3+ =222 z21 - cos a1 -hcos a1 - cosct1 + cos ar 1 - cos asin a同理X =即兀的焦點弦長為sin aa_3AB=-x _ 切的焦點弦

9、長為cos a，所以拋物線的焦點弦長為sin1 空焦點在辭由上）（焦點在弭由上）例2.已知拋物線y2=2px （p>0），過其焦點且斜率為k的直線交拋物線于 A , B兩點,求AB長.2 2練習1:.過雙曲線 -1的右焦點，引傾斜角為 一的直線，交雙曲線與 A、B兩點,453求 | AB |解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點為極點的極坐標系即得52 3cosAB | i52 3COS1I3)807附錄直角坐標系中的焦半徑公式設P（ x,y）是圓錐曲線上的點,1、若F“ F2分別是橢圓的左、右焦點，則PF1a ex， PF2|a ex ；2、若F2分別是雙曲線的左、右焦點，當點P在雙曲線右支

10、上時,PRex a， PF2ex a ；當點P在雙曲線左支上時，PFja ex， PF2 a ex；3、若F是拋物線的焦點，|PF x -P .利用弦長求面積2 2例3.設過橢圓丄 1的右焦點的弦 AB=8，求三角形AOB的面積。2516y缶中。泊直線畫斜角2ab _160t7； c cos &2 5 9 cos 2 曰cos' & =而點O在占好上的肓七度73 0尸y tl &豆出它?3x-=23所 Soff=2xg 2 = 82練習2. （08年海南卷）過橢圓 乞52J 1的焦點F作一條斜率為2的直線與橢圓交于4A , B兩點，O為坐標原點，求AOB的面積.

11、簡解：首先極坐標方程中的焦點弦長公式IAB |2°卩2求弦長，然后利用公式1 e cos1 . 亠S AOB -|AB|OF |sin AFO直接得出答案。2練習3. （2005年全國高考理科）已知點F為橢圓y2 1的左焦點.過點F的直線h與橢2圓交于P、Q兩點，過F且與h垂直的直線J交橢圓于M、N兩點，求四邊形PMQN面 積的最小值和最大值解析：以點F為極點，建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為:1cos2|PQ|1 21 cos2，| MN |1 2cos290°)1 Isi n22設直線l1的傾斜角，則直線12的傾斜角為90°，由極坐標系中焦點弦長公式知:用他

12、們來表示四邊形的面積S 2|PQ|MN|1 1 . 2 sin2 42cos1 丄 si n222 16的最大值與最小值由三角知識易知：當 si n21時，面積取得最小值 16 ；當sin2 0時，面積取得最大9利用弦長公式解決常量問題2x2例4.過橢圓ab21(ab 0)的左焦點F，作傾斜角為60的直線l交橢圓于A、B兩點，若FA2FB，求橢圓的離心率簡解：建立極坐標系，然后利用等量關系,可很快求出離心率。設橢圓的極坐標方程為ecosFA1 ecos60°,fb0 ?ecos240，解得e練習4.求過橢圓3 cos的左焦點,且傾斜角為一的弦長4AB和左焦點到左準線的距離。解：先將方

13、程化為標準形式:31 cos則離心率e2ep 3，所以左焦點到左準線的距為設 A( 1,4), B(AB(3)定值問題例5.拋物線解：以焦點 F5一2,)，代入極坐標方程, 423 cos42-5"3 cos4則弦長24171 12 px( p 0)的一條焦點弦被焦點分為a,b的兩段，證明：定值。a b軸為極軸建立極坐標系，則拋物線的極坐標方程為為極點，以 FX匚，設 A(a, ),B(b,1 cos將A,B兩點代入極坐標方程，得p1 cosp cos(則丄a11 cosb點睛:推論:1 cos(2=-(定值)p引申到橢圓和雙曲線也是成立的。若圓錐曲線的弦 MN經(jīng)過焦點F，則有1MF

14、1NFep例6.經(jīng)過橢圓的的焦點作兩條相互垂直的弦AB和弦CD,求證1AB1CD為定值。證明：以橢圓的左焦點建立極坐標系，此時橢圓的極坐標方程為，又設1 ecos,C3+3,2,D則代入可得2ep |AB| rv店，| AB| 學畤則1 e sin1AB1 =2-e2CD 2ep注釋。此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣1若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點為極點建立 極坐標方程。推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。2y271,點F是其左焦點，在橢圓上任證明:1FP11FP21FP3為定值，并求此定值.解析：以點F為極點建立極坐標系，則橢圓的

15、極坐標方程為:的極角為 ，則點P2與R對應的極角分別為1200、，設點P1對應2 cos1200 , P1、P2與P3的極徑就分別是| FP1192 cosIFP2I92 cos( 1200)與 |FP3|X2例7. （2007重慶理改編）中心在原點O的橢圓一36取三個不同點 P1,P2,P3使/ P1FP2 / F2FP3 / RFP, 1200 .92 cos(1200)1112 cosFP1FP2 FP392 cos(120°)92 cos(1200)9而在三角函數(shù)的學習中，我們知道cos cos（1200) cos( 1200)0,因此1FP11_FP21FP3I為定值點睛：極坐標分別表示I FP1 I、I FP2 |與|FP31，這樣一個角度對應一個極徑.就不會象解析幾何那樣，一個傾斜角，對應兩個點，同時對應兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標表示圓錐曲線的優(yōu)點.推廣：若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？例8 . （2006全國聯(lián)賽江蘇）2X橢圓2521的右焦點為F , P1 , P2,，P24為24個依16逆時針順序排