有限元 第二次作業(yè)

1、2-2 圖示懸臂板，屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，其網(wǎng)格圖及單元、節(jié)點(diǎn)編號(hào)見(jiàn)圖2-1，E=2.1×1011，u=0.28，演算其單剛陣到總剛陣的組集過(guò)程，并用MATLAB軟件計(jì)算總剛陣。圖2-1答：根據(jù)圖2-1所示列出單元節(jié)點(diǎn)列表：節(jié)點(diǎn) 單元ijk1354225332654162（1）計(jì)算單元?jiǎng)偠汝噯卧?的剛度矩陣： ，；單元2的剛度矩陣：，；單元3的剛度矩陣：，；單元4的剛度矩陣：，；總剛度矩陣：Matlab 程序語(yǔ)言的編寫：function Idexglobal gNode gElement gMaterialgNode=0.0 0.01 0.5 0.01 1.0 0.01 1.0 0.0

2、0.5 0.0 0.0 0.0 %gNode 同樣是一個(gè)矩陣，每一行表示一個(gè)結(jié)點(diǎn)，第1 列是結(jié)點(diǎn)的x 坐標(biāo)，第2 列是結(jié)點(diǎn)的y坐標(biāo)gElement=3 4 5 2 3 5 2 5 6 1 2 6 ; %gElement 是一個(gè)矩陣，每一行表示一個(gè)單元，第1 行是單元的第1 個(gè)結(jié)點(diǎn)號(hào)，第2 行是單元的第2個(gè)結(jié)點(diǎn)號(hào)。Returnfunction k=StiffnessMatrix(ie)%計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭瘮?shù)global gNode gElement k=zeros(6,6); %6x6單元?jiǎng)傟嘐=2.1*1011; %材料特性u(píng)=0.28 ; %材料特性t=0.01; %材料特性xi=gNode

3、(gElement(ie,1),1);yi=gNode(gElement(ie,1),2);xj=gNode(gElement(ie,2),1);yj=gNode(gElement(ie,2),2);xm=gNode(gElement(ie,3),1);ym=gNode(gElement(ie,3),2); %計(jì)算節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分量ai=xj*ym-xm*yj;aj=xm*yi-xi*ym;am=xi*yj-xj*yi;bi=yj-ym;bj=ym-yi;bm=yi-yj;ci=-(xj-xm);cj=-(xm-xi);cm=-(xi-xj);d=1,xi,yi;1,xj,yj;1,xm,ym;ar

4、ea=det(d); %計(jì)算單元面積B=bi 0 bj 0 bm 0 ;0 ci 0 cj 0 cm;ci bi cj bj cm bm;B=B/2/area;D=1 u 0;u 1 0;0 0 (1-u)/2;D=D*E/(1-u2);k=transpose(B)*D*B*t*abs(area); %計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嘡eturnfunction gK=AssembleStiffnessMatrix% 計(jì)算總剛陣 global gElement gK ie gK=zeros(12,12); for ie =1:1:4 %單元循環(huán) k=StiffnessMatrix(ie); for i=1:1

5、:3 %節(jié)點(diǎn)循環(huán) for j=1:1:3 %節(jié)點(diǎn)循環(huán) for p=1:1:2 %自由度循環(huán) for q=1:1:2 %自由度循環(huán) m=(i-1)*2+p; %每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)自由度，i節(jié)點(diǎn)的第p個(gè)自由度為（i-1)*2+p n=(j-1)*2+q; %每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)自由度，i節(jié)點(diǎn)的第p個(gè)自由度為（i-1)*2+p M=(gElement(ie,i)-1)*2+p; N=(gElement(ie,j)-1)*2+q; gK(M,N)=gK(M,N)+k(m,n); end end end end end Return 則單元1的剛度矩陣為>> StiffnessMatrix(1)ans

6、 = 1.0e+010 * 2.0508 0 -2.0508 0.0410 0 -0.0410 0 5.6966 0.0319 -5.6966 -0.0319 0 -2.0508 0.0319 2.0531 -0.0729 -0.0023 0.0410 0.0410 -5.6966 -0.0729 5.6974 0.0319 -0.0008 0 -0.0319 -0.0023 0.0319 0.0023 0 -0.0410 0 0.0410 -0.0008 0 0.0008單元2的剛度矩陣>> StiffnessMatrix(2)ans = 1.0e+010 * 2.0531 -0

7、.0729 -2.0508 0.0319 -0.0023 0.0410 -0.0729 5.6974 0.0410 -5.6966 0.0319 -0.0008 -2.0508 0.0410 2.0508 0 0 -0.0410 0.0319 -5.6966 0 5.6966 -0.0319 0 -0.0023 0.0319 0 -0.0319 0.0023 0 0.0410 -0.0008 -0.0410 0 0 0.0008單元3的剛度矩陣為>> StiffnessMatrix(3)ans = 1.0e+010 * 0.0023 0 -0.0023 0.0319 0 -0.03

8、19 0 0.0008 0.0410 -0.0008 -0.0410 0 -0.0023 0.0410 2.0531 -0.0729 -2.0508 0.0319 0.0319 -0.0008 -0.0729 5.6974 0.0410 -5.6966 0 -0.0410 -2.0508 0.0410 2.0508 0 -0.0319 0 0.0319 -5.6966 0 5.6966單元4的剛度矩陣>> StiffnessMatrix(4)ans = 1.0e+010 * 2.0531 -0.0729 -2.0508 0.0319 -0.0023 0.0410 -0.0729 5

9、.6974 0.0410 -5.6966 0.0319 -0.0008 -2.0508 0.0410 2.0508 0 0 -0.0410 0.0319 -5.6966 0 5.6966 -0.0319 0 -0.0023 0.0319 0 -0.0319 0.0023 0 0.0410 -0.0008 -0.0410 0 0 0.0008總剛度矩陣為ans = 1.0e+011 * Columns 1 through 8 0.2053 -0.0073 -0.0002 0.0041 0 0 0 0 -0.0073 0.5697 0.0032 -0.0001 0 0 0 0 -0.0002 0.

10、0032 0.4106 -0.0073 -0.0002 0.0041 0 0 0.0041 -0.0001 -0.0073 1.1395 0.0032 -0.0001 0 0 0 0 -0.0002 0.0032 0.2053 0 -0.2051 0.0041 0 0 0.0041 -0.0001 0 0.5697 0.0032 -0.5697 0 0 0 0 -0.2051 0.0032 0.2053 -0.0073 0 0 0 0 0.0041 -0.5697 -0.0073 0.5697 0 0 -0.4102 0.0073 0 -0.0073 -0.0002 0.0032 0 0 0.

11、0073 -1.1393 -0.0073 0 0.0041 -0.0001 -0.2051 0.0041 0 -0.0073 0 0 0 0 0.0032 -0.5697 -0.0073 0 0 0 0 0 Columns 9 through 12 0 0 -0.2051 0.0032 0 0 0.0041 -0.5697 -0.4102 0.0073 0 -0.0073 0.0073 -1.1393 -0.0073 0 0 -0.0073 0 0 -0.0073 0 0 0 -0.0002 0.0041 0 0 0.0032 -0.0001 0 0 0.4106 -0.0073 -0.000

12、2 0.0041 -0.0073 1.1395 0.0032 -0.0001 -0.0002 0.0032 0.2053 0 0.0041 -0.0001 0 0.5697 2-3 在平面問(wèn)題有限元分析中， （1）用到了哪些彈性力學(xué)中的基本方程？答：平衡微分方程、幾何方程、相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）。 （2）力的平衡條件是如何滿足的？答：根據(jù)能量守恒原理，有外力所作虛功應(yīng)該等于內(nèi)力虛功。也就是結(jié)構(gòu)在外載荷作用下處于平衡狀態(tài)則在結(jié)構(gòu)上的力在任意虛功位移上所作的虛功之和等于零。以下是用到的方程： （3）變形協(xié)調(diào)條件是如何滿足的？答：對(duì)材料進(jìn)行線彈性和各向同性的假設(shè)，用彈性力學(xué)中應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系得到變形協(xié)調(diào)條件。下面是形變協(xié)調(diào)方程。2-4 在平面三角形單元中的位移、應(yīng)變、應(yīng)力具有什么特征？位移特征：(1)必須包含單元的剛體位移；(2)必須包含單元的常應(yīng)變狀態(tài)；(3)必須保證不偏惠各坐標(biāo)軸；(4)必須保證單元內(nèi)位移連續(xù)。應(yīng)力特征：(1)三角形單元其應(yīng)力僅與單元材料和幾何尺寸有關(guān)，與節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)，而與單元內(nèi)位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)，也即這類單元內(nèi)的應(yīng)力是常量。(2)三角形單元內(nèi)應(yīng)力連續(xù)，但在公共邊界上應(yīng)力有突變，密布網(wǎng)格可以減少這種沖突的不合理性。應(yīng)變特征：由于簡(jiǎn)單三角形單元取線性位移模式，其應(yīng)變矩陣為常數(shù)矩陣，即在這樣的位移模式下，三